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湖北省武汉市汉铁高中2014-2015学年高二(下)3月月考数学试卷(文科)


湖北省武汉市汉铁高中 2014-2015 学年高二(下)3 月月考数学试 卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x﹣6>x ,则¬p 是¬q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也

不必要条件 考点:充要条件;四种命题. 专题:计算题. 分析:根据所给的两个命题,解不等式解出两个命题的 x 的值,从 x 的值的范围大小上判断 出两个命题之间的关系,从而看出两个非命题之间的关系. 解答: 解:∵p:|x+1|>2, ∴x>1 或 x<﹣3 ∵q:5x﹣6>x , ∴2<x<3, ∴q?p, ∴﹣p?﹣q ∴﹣p 是﹣q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评:本题考查两个条件之间的关系,是一个基础题,这种题目经常出现在高考卷中,注意 利用变量的范围判断条件之间的关系. 2.命题“对任意 x∈R 都有 x ≥1”的否定是( A. 2 x∈R,使得 x <1 C. 2 得 x0 <1
2 2 2

) 2 对任意 x∈R,都有 x <1
2

B. 不存在

存在 x0∈R,使得 x0 ≥1 D. 存在 x0∈R,使

考点:全称命题;命题的否定. 专题:规律型. 分析:利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“对任意 x∈R 都有 x ≥1”的否定是:存在 x0∈R,使得
2



故选:D. 点评:本题考查全称命题的否定,注意量词以及形式的改变,基本知识的考查. 3.有下列四个命题: ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;

③命题“若 m>1,则 x ﹣2x+m=0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中是真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C.

2

3

D. 4

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: ①②写出相应的命题,再加以判断; ③④利用原命题与逆否命题有相同的真假性. 解答: 解:根据倒数的定义,可得“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题:“若 x、y 互为倒 数,则 xy=1”是真命题,①正确; “面积相等的三角形全等”的否命题:“面积不相等的三角形不全等”是真命题,②正确; 原命题与逆否命题有相同的真假性, ∵方程 x ﹣2x+m=0 有实根?△ =4﹣4m≥0?m≤1, ∴原命 2 题“若 m>1,则 x ﹣2x+m=0 有实根”是假命题,∴③错误; 原命题与逆否命题有相同的真假性,∵命题“若 A∩B=B,则 A?B”为假命题,∴④错误. ∴真命题的个数是 2, 故选:B. 点评:本题给出几个命题,要我们找出其中真命题的个数.着重考查了倒数的定义、全等三 角形的性质、 一元二次方程根的判别式和集合的运算性质等知识, 考查了四种命题及其相互关 系,属于中档题. 4.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为( ) A. B. 1 C. D.
2 2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于 到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 解答: 解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点, F( )准线方程 x= ,
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= ∴|AF|+|BF|= 解得 , =3 ,|BF|= ,

∴线段 AB 的中点横坐标为 , ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .

故选 C. 点评:本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转 化为到准线的距离.

5.已知双曲线

与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线 ) C. x±2y=0 D.

2

的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( A. 2x±y=0 B.

考点:圆锥曲线的共同特征;双曲线的简单性质. 专题:计算题;压轴题. 2 分析:由抛物线 y =8x 得出其焦点坐标,由|PF|=5 结合抛物线的定义得出点 P 的坐标,从而得 到双曲线 的关于 a,b 的方程,求出 a,b 的值,进而求出双曲

线的渐近线方程. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 得出其焦点坐标(2,0) 故双曲线的 c=2, 又|PF|=5,设 P(m,n) ,则|PF|=m+2 ∴m+2=5,m=3, ∴点 P 的坐标(3, )



解得: 则双曲线的渐近线方程为 故选 B. 点评:本题主要考查了抛物线的简单性质,双曲线的简单性质,抛物线的定义等.解答的关 键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度. 6.若坐标原点到抛物线 y=mx 的准线距离为 2,则 m=( A. 8 B. ±8 C.
2

) D. ±

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得抛物线 y=mx 即 x = 准线方程为 y=﹣
2 2

, 再由点到直线的距离公式即可求得 m.

解答: 解:抛物线 y=mx 即 x = 准线方程为 y=﹣ 由题意可得| 解得 m=± . |=2,

2

2



故选:D. 点评:本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程的求法和运用,属于基础 题. 7.如图所示点 F 是抛物线 y =8x 的焦点,点 A、B 分别在抛物线 y =8x 及圆(x﹣2) +y =16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则△ FAB 的周长的取值范围是( )
2 2 2 2

A.

(6,10)

B.(8,12)

C.

D.

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由抛物线定义可得|AF|=xA+2,从而△ FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA) +4=6+xB,确定 B 点横坐标的范围,即可得到结论. 解答: 解:抛物线的准线 l:x=﹣2,焦点 F(2,0) , 由抛物线定义可得|AF|=xA+2, 2 2 圆(x﹣2) +y =16 的圆心为(2,0) ,半径为 4, ∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB, 2 2 2 由抛物线 y =8x 及圆(x﹣2) +y =16 可得交点的横坐标为 2, ∴xB∈(2,6) ∴6+xB∈(8,12) 故选 B.

点评:本题考查抛物线的定义,考查抛物线与圆的位置关系,确定 B 点横坐标的范围是关键.

8. 已知动点 P (x, y) 满足 A. 椭圆 两条相交直线 B.抛物线

, 则点 P 的轨迹是 ( C. 双曲线 D.



考点:轨迹方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:分别令 f(x)= ,g(x)= ,他们的几何意义

分别是点到定点和定直线的距离相等,利用抛物线的定义推断出答案. 解答: 解:令 f(x)= 的距离, 令 g(x)= ,其几何意义为(x,y)点到直线 y=3x+4y+12 的距离, ,则其几何意义为点(x,y)到(1,2)

依题意二者相等,即点到点(1,2)的距离与到定直线的距离相等,进而可推断出 P 的轨迹 为抛物线. 故选 B 点评:本题主要考查了抛物线的定义,点的轨迹方程问题.关键是对方程的几何意义的灵活 应用. 9.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的 左焦点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

考点:圆与圆锥曲线的综合. 专题:计算题. 分析: 根据题意思可得:点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2.所以∠PF1F2=30°,所以 .根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a﹣c.进而得到答案. 解答: 解:设 F2 为椭圆的右焦点 由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线, 所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2. 又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a﹣c. 所以 2a﹣c= ,所以 e= . 故选 D. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义. .

10.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 中 O 为坐标原点) ,则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是( A. B. C. )

2

?

=2(其

D.

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用 韦达定理及 ? =2 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

解答: 解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴 的交点为 M(m,0) , 2 2 x=ty+m 代入 y =x,可得 y ﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, ∵ ? =2,∴x1?x2+y1?y2=2,从而(y1?y2) +y1?y2﹣2=0,
2

∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣2,故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F( ,0) , ∴S△ BFO+S△ AFO= ? ?y1+ ? ?|y2 = (y1+ )

≥ ?2 = 当且仅当 y1= ,即 y1= 时,取“=”号,

∴△BFO 与△ AFO 面积之和的最小值是



故选:B. 点评: 求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元, 这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 二、填空题(每题 5 分,满分 35 分,将答案填在答题纸上)

11. 椭圆

+

=1 的焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆上, 若 PF1=4, 则∠F1PF2 的大小为



考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:通过过点 P 作 x 轴垂线交于 D,利用椭圆的定义及勾股定理可得 F1D、F2D 的值,在 △ F1PF2 中利用余弦定理计算即得结论. 解答: 解:过点 P 作 x 轴垂线交于 D, 设 F1D=x,则 F2D=2 ﹣x, ∵PF1=4,∴PF2=6﹣4=2, 则
2


2 2

=PD =

2

﹣ ,



即 4 ﹣x =2 ﹣ 解得:x= ,

由余弦定理可知:cos∠F1PF2= = =﹣ ,

∴∠F1PF2= π, 故答案为: .

点评:本题以椭圆为载体,考查求角的大小,涉及勾股定理、余弦定理等基础知识,注意解 题方法的积累,属于中档题. 12.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) ,且在点 A 处的切线方程 2x﹣y+a=0, 则 a+b+c= 0 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
3 2

专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:由函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) ,推导出 8+4a+2b+c=1,由 f(x)在 点 A 处的切线方程 2x﹣y+a=0,推导出 f′(2)=3×4+2a×2+b=2,a=﹣3,由此能求出 a+b+c 的 值. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象过点 A(2,1) , ∴8+4a+2b+c=1, 且 f′(x)=3x +2ax+b, ∵f(x)在点 A 处的切线方程 2x﹣y+a=0, ∴f′(2)=3×4+2a×2+b=12+4a+b=2, f(x)在点 A 处的切线方程为 y﹣1=2(x﹣2) ,即 2x﹣y﹣3=0,
2 3 2





解得 a=﹣3,b=2,c=1, ∴a+b+c=﹣3+2+1=0. 故答案为:0. 点评:本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用,解题时要认真审题, 注意等价转化思想的合理运用.

13.若函数

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析:根据题意,先求函数 的定义域,进而求得其导数,即 y′=x﹣ = ,

令其导数小于等于 0,可得 解答: 解:对于函数

≤0,结合函数的定义域,解可得答案. ,易得其定义域为{x|x>0},

y′=x﹣ =





≤0,

又由 x>0,则 解可得 0<x≤1,

≤0?x ﹣1≤0,且 x>0;

2

即函数

的单调递减区间为(0,1],

故答案为(0,1] 点评:本题考查利用导数求函数的单调区间,注意首先应求函数的定义域. 15. (2013?渭滨区校级模拟)设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处 的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 4 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的加法与减法法则. 专题:计算题. 分析:先根据曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 y=2x+1,可得 g′(1)=2,再 利用函数 f(x)=g(x)+x ,可知 f′(x)=g′(x)+2x,从而可求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处切线的斜率. 解答: 解:由题意,∵曲线 y=g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 y=2x+1 ∴g′(1)=2 2 ∵函数 f(x)=g(x)+x , ∴f′(x)=g′(x)+2x ∴f′(1)=g′(1)+2 ∴f′(1)=2+2=4 ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 4 故答案为:4 点评:本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率,解题的关键是利用导数的几何意义.
2 2

16.已知抛物线 y= x 与双曲线

2

﹣x =1(a>0)有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P 在 x

2

轴上方且在双曲线上,则

?

的最小值为 3﹣2





考点:双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出抛物线的焦点可得双曲线的方程,设 P(m,n) ,由向量的数量积的坐标表示,化 简整理成关于 n 的二次函数,由二次函数的知识可得. 解答: 解:∵抛物线 y= x 的焦点 F 为(0,2) ,
2 2 2

∴双曲线

﹣x =1(a>0)的 c=2,可得 a =3,

∴双曲线方程为 设 P(m,n) , (n≥ ∴ ?

﹣x =1, ) ,则 n ﹣3m =3,
2 2 2 2

2

=(m,n)?(m,n﹣2)=m +n ﹣2n

=

﹣1+n ﹣2n=

2

﹣2n﹣1= (n﹣ ) ﹣ ,

2

由于区间上单调递增, ∴当 x=8 时,△ OPQ 的面积取到最大值 30. 点评:本题主要考查了抛物线的应用,点到直线的距离公式.考查了对解析几何基础知识的 灵活运用. 21.已知函数 f(x)=ax ﹣3ax,g(x)=bx +clnx,且 g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程 为 2y﹣1=0. (1)求 g(x)的解析式; (2)求函数 F(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函 数的单调性. 专题:分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)求 g(x)的导数 g′(x) ,由 g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 2y﹣1=0, 得切线斜率 k=g′(1)=0,g(1)= ;从而求得 b、c 的值; (2)由 f(x) ,g(x)得 F(x)的解析式与定义域,求导函数 F′(x) ,求出 F′(x)>0 时 x 的取值范围即 F(x)的单调递增区间. 解答: 解: (1)∵g(x)=bx +clnx, ∴g′(x)=2bx+ ; 由 g(x)在点(1,g(1) )处的切线方程为 2y﹣1=0,
2 3 2



,即



∴b= ,c=﹣1, ∴g(x)= x ﹣lnx. (2)∵f(x)=ax ﹣3ax,g(x)= x ﹣lnx; ∴F(x)=f(x)+g(x)=ax ﹣3ax+ x ﹣lnx,定义域为(0,+∞) , ∴F′(x)=3ax ﹣3a+x﹣ =
2 3 2 3 2 2



令 F′(x)>0,得(x﹣1) (3ax+1)>0(*) ①若 a≥0,则 x>1 时,F′(x)>0,即 F(x)的单调递增区间为(1,+∞) ; ②若 a<0, (*)式等价于(x﹣1) (﹣3ax﹣1)<0, 当 a=﹣ ,则(x﹣1) <0 无解,F′(x)>0 不成立,即 F(x)无单调增区间;
2

当 a<﹣ ,则﹣

<x<1 时,F′(x)>0,即 F(x)的单调递增区间为(﹣

,1) ; ) .

当﹣ <a<0,则 1<x<﹣

时,F′(x)>0,即 F(x)的单调递增区间为(1,﹣

点评:本题考查了应用导数求函数图象的切线斜率以及应用导数判定函数的单调性问题,是 易错题. 22. (2014 春?忻州期中)已知曲线 C:f(x)=x ﹣x (Ⅰ)试求曲线 C 在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式写出直线方程; (Ⅱ)设出切点,求出切线的斜率,由两直线平行的条件得,切点的坐标,应用点斜式方程写 出切线方程,并化为一般式方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=x ﹣x,∴f(1)=0, 2 求导数得:f'(x)=3x ﹣1, ∴切线的斜率为 k=f'(1)=2. ∴所求切线方程为 y=2(x﹣1) ,即:2x﹣y﹣2=0. (Ⅱ)设与直线 y=5x+3 平行的切线的切点为(x0,y0) , 则切线的斜率为 又∵所求切线与直线 y=5x+3 平行,∴ 解得: ,
3 3 3

, .

代入曲线方程 f(x)=x ﹣x 得:切点为 或 , ∴所求切线方程为: 或 即: 或 . 点评:本题主要考查导数的概念及应用:求切线方程,同时考查两直线平行的条件,是一道 基础题.

23.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点 C(﹣1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存 在点 M,使 恒为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题.

分析: (I)椭圆的焦点在 x 轴上,且 a=

,e=

,故 c、b 可求,所以椭圆 E 的方程可

以写出来. (II)假设存在点 M 符合题意,设 AB 为 y=k(x+1) ,代入方程 E 可得关于 x 的一元二次方程 (*) ; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) ,由方程(*)根与系数的关系可得,x1+x2,x1x2; 计算 M. 解答: 解: (I)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,且 a= b= = = + ,
2 2

?

得关于 m、k 的代数式,要使这个代数式与 k 无关,可以得到 m 的值;从而得点

,c=e?a=

×

=

,故

所以,椭圆 E 的方程为

=1,即 x +3y =5.

(II)假设存在点 M 符合题意,设 AB:y=k(x+1) , 代入方程 E:x +3y =5,得(3k +1)x +6k x+3k ﹣5=0; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2= ;
2 2 2 2 2 2



=(x1﹣m,y1)=(x1﹣m,k(x1+1) ) , =(x2﹣m,y2)=(x2﹣m,k(x2+1) ) ;


2

?

=(k +1)x1x2+(k ﹣m) (x1+x2)+k +m ,

2

2

2

2

=m +2m﹣ ﹣

要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0,解得 m=﹣ ; ∴存在点 M(﹣ ,0)满足题意. 点评:本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,也考查了椭圆的标准方程及其几何性质, 考查了一定的计算能力. 24.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:y =2px(p>0) ,在此抛物线上一点 M(2, m)到焦点的距离是 3. (1)求此抛物线的方程; (2)抛物线 C 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两 点.是否存在这样的 k,使得抛物线 C 上总存在点 Q(x0,y0)满足 QA⊥QB,若存在,求 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知条件推导出 ,由此能求出抛物线的方程.
2

(2)设 Q(x0,y0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2)由

,得 ky ﹣4y+4k=0,从而得



,由此能求出 k 的取值范围.

解答: (本题满分 14 分) 2 解: (1)∵抛物线 C:y =2px(p>0) , 在此抛物线上一点 M(2,m)到焦点的距离是 3. ∴抛物线准线方程是 ,…(1 分)

,解得 p=2…(3 分) ∴抛物线的方程是 y =4x.…(4 分) (2)设 Q(x0,y0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 ,得 ky ﹣4y+4k=0,…(6 分)
2 2



,得﹣1<k<1 且 k≠0…(8 分)

,y1y2=4…(9 分)



同理



由 QA⊥QB,得



即: ∴ ,…(12 分) ,得 由﹣1<k<1 且 k≠0,得 k 的取值范围为

,…(11 分)

且 k≠0, .…(14 分)

点评:本题考查抛物线方程的求法,考查斜率的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意 抛物线的简单性质的合理运用.


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湖北省武汉市汉铁高中2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷(新疆班)
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