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变用等比数列 速解高考试题


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数 学 通 讯 

2 0 0 7年 第 2 。 4期 

变 用等 比数 列   速 解 高 考试题 
程国柱  
( 上 蔡 一高 , 河南 4 6 3 8 O O )  

我们知 道 , 解 题的 关键在 于寻 求思 路 , 特 别 是 

即a  + 2  一 ( 口 1+ 2 )?4   =4   ,  


高 考 题 中 的最 后 两 题 , 综 合性 强 , 能 力要求 高 , 这 就 
要 求 我 们 在众 多信 息 中 探 究 思 路 。 在 常 用 方 法 技 能  中选 择 思 路 . 对定 义要 深入 理解 . 对 公 式 要 灵 活 应 

n  一 4  一 2   ( n一 1。 2 , 3 . …) .  

探究策 略 2 - 看到递推关系 a   一4 口   +2   。 就 

用。 本文就 2 0 0 6 年 全 国 高考 卷 I 第 2 2题 的思 路 寻  求谈 谈 等 比数 列 公 式 的 变 用 。 供 同学 们 欣 赏 和借 鉴 .  
题目   设数列{ a . }的前 , z 项和S  满 足 

想 到 等 式 两 边 同 除 以2   . 变 为 鲁=  


+ 1 , 即 鲁  

2 ? 鲁 三 } + 1 。 令  一石 a n , 得b   =2  + 1 , 即b   +  
所以数列 {   +1 } 是首项为 b   + 1一   a l + 1— 

1— 2 (   1 + 1 ) 。  

s .  争. 一 号 × z   t +  c   一   , 2  …   .  
( I ) 求首项 a l 与通项 a   ;   ( I I )设 L 一  。 , z 一1 . 2 , 3 …。 证 明:  

2 。 公 比为 2的 等 比数 列 , 则b   + 1— 2?2   。  
’ . .

6 _一 2  一 1 , 即 
‘^  

一 2  一 1 ,  



∑ L<   3 .  


. .

a  一 2  ( 2  一 r )一 4  一 2   .  

第 ( I ) 问 思 路 探 . 究 1  由 S   一 ÷ a n 一 了 1 × 2   1  
+÷ . ( , z 一1 。 2 , 3 …)及 S l ; m, 不难 求得 口 l ; 欲求 
o 
. 

探究策 略3   看到 递 推 关 系 a   一4 口   +2 。 , 解  题 的难 度 就 是 2  是 一 个 变 数 。 我们 不妨 先 把 2  去  掉, 再观察等式特征 。 分析变换 , 寻求求解思路.  
由a  一 4 口  1 +2   . 得 口  1 — 4 a . +2   。  

. .

通项 a   。 需将 S _ 与a  的 递 推 关 系 转 化 为 a  与 n   的 

口 叶1 —2 a   一4 a   一8 口 卜 l 。 即口 计 1 —2 a   一4 ( 口  

递推关系 . 就此 关 系进 行 观察 分析  寻求解题途径.  
? .



2 口  1 ) , 所 以 数列 { 口  1 —2 口   } 是首项 为 a 2 —2 a l ,   公 比为 4的 等 比数列 。   -  

‘ S t — n   。m 一 了 4   m 一 了 1 × 2   +   + 号 。 解 出   ( 1 )   ( 2 )  

因为 a l 一2 , a 2 =4 a 1 +2 。 =1 2 , . ’ . a 2 —2 a 1=  
8 。 故 口  1 —2 a  一 8?4   一 2? 4   .  

al = 2?  



 

由 S   一 了 4 口   一 了 1 × 2  + 号   得 S   t 一 了 4 J   n   t 一 号 J    + 号 J    

又口  l一 4 a   +2   , 两 式 联 立 消去 口  1 , 得:  
2 a  一 2? 4  一 2   , 即a 。 一 4   2   .  

第( I ) 问思路探究 2   欲求 通项 a   , 可把 口  一  

( 1 ) 一( 2 ) 。 得 s . 一s   l = ÷( 口  一 口  ) 一  
÷( 2   一2   ) 。 ( n一 2 , 3 …) 。  
整理得 : a .一 4 口  l +2   ( , z 一 2 , 3 …) .  

S 。 一S   代 入 已知 条 件 式 。 把S   与a  的 递 推 关 系 转  化为 S  与 S   的递推 关系 。 就 此 关 系 进 行 观 察 分 
析。 寻求解题途径.  

把a  = S   一S 0 代入 已 知 条 件 化 简得  探 究策略 1   看到这一递推关系, 就 猜 想 它 能 

s   一 号 J   ( s . 一 S   ) 一 号× 3  2  + 号 3   。  
即 S  一 4 S  1 +Z 州 一2 , ( , z 一 2 , 3 。 …) .  

否变为 { a   +  ? 2   } . 的等 比数列.  
设a . +  ? 2  一 4 ( 口  l +  ? 2  ) , 化简得 a  一   4 口  l +  ? 2 。 。 令  ? 2  一 2  得  一 1 。 这 说 明 此 路 可 

探究策 略 4   由S   一4 S   +2 一 一2 。 就 猜 想 
是否能化为形如 { S   +  ? 2   + m} 的等 比数 列 。 不 妨 


行. 由此 得 到 如 下 解 法 :  
因a  一 4 口  1 +2   ( , z 一2 . 3. …) , 所 以a  +2  一 

试.  

设 S   +  ? 2   +m 一 4 ( S 卜 1 +  ? 2   +, , 1 ) . 展 

4 ( 口   +2   ) . 因而 数 列 { a   +2   } 是首项为 a 1 +2—  

开化简得 S  一 4 S  l +  ? 2  + 3 m.   令  ? 2  + 3 m一 2 州 一2 。 比较 可 得 :  一 2 。  

4 ? 公比为 鲁 的等比数列.  

.  

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2 0 0 7年第 2 , 4 期 
Z  

数 学 通 讯 -  

7  

一一 了 ‘  

运 用常用的数 学 思 想 和 数 学 方 法 , 解 决 此 题 并 不 
困难 .  


{ s   + 2?2   一了 2) 是首项为 s   +4


号=  


第( Ⅱ) 小题思路探 究 1   由第 ( I)题 求 得 通 



公 比 为 4的 等数 列.  
- . . S  

‘  
6 1

- . -一  I - 2   ? 2   ‘


.2 - 一 2


3— 3 。。 . 4 —1 一 , 即 


项 n   , 代 人 已 知 递 推 关 系 式 s   一 ÷ n   一 ÷ × 2 计   +   3 , 不 难 求 得 s   一 号 ( 2 一 . 一 1 ) ( 2 一 _ 1 ) , 进 而 求 得  
一  

2   一 

3   。   (  

2  

s 。 = ÷  一 2 州 + 号 .  
. . 

‘ 

当, z ≥2 时, 口 。 =s 。 一S  1  

. 4 - 一2 计1  

’ ( 两
^ 

一  :  

) ’  

+ 号 一 [ 了 4 ? 4   一 2   + 了 2 ] 一 4 ‘ 一 2 ‘ .  
又口  : 2 也符合此通项式 , ^  一 4 - 一2 - .  

由此 看 出可 用 裂 项 求 和 的方 法 加 以证 明 ‘  

∑  一丁 】 +丁 2 +   +…+丁 _  


探究策略 5   我们看 到递推关 系 S l=4 S   + 
2 州 一 2中 , 既 有 常数 一 2 , 又有 变 数 2 。 , 因 为 我 们 不  能同时消去常数和变数 , 我们 就设 法消 去一个 常数 
( 或 者 消 去 一 个 变数 ) , 不妨设法消去常数 一2 ;   由S 一= 4 S  1 +2 计   一2 得 
S  1= 4 S 。 +2 计。一 2,  

詈 『 (   一 南) + ( 南 一   )  
+ . .   + (   一 南
3广 1   1   ]  

)  
一  

一   l  


一  : r =  I  

两式 相减得 S   一S 。 一4 ( S   一S  i ) - I - 2   , 即 
S  1一 S 。 - I -2 计 = 4( S  一 S  1+ 2 ‘ ) .  
S 2 一 S l +2 。一 4 S 1 +2 。 一 2一 S 1 +2 。一 1 6 ,  
? 

号 (   一 南 ) < 睾 .  
,   是正数 , 不 能直 接 用数学 归 

第( Ⅱ ) 小 题 思 量 l } 探究2   由丁 _ 一   :   3.  
= _  

- . ? S  1一 S + 2   一 1 6?4   一4 计  .   又 S  1— 4 S 。+ 2 计i一 2


消 去 

1 , 得 3 S  

纳法证明待证不等式 , 应把 待证 不等式 右边 调整为  含有正整数 , z 的不等式 , 所 以把 待证不等式转 化为 


4 计 一 3?2 计 + 2 , 即 

s   一 ÷  一 2 州 + 号 .  
以下同探究策略 4 .  

丁】 +. 丁2 +  + … + 丁 卜1 + 丁_  

<号一 、2    ( 2   =  一 1   ) ( 2 计 : 广   二 一  ( 1   ) …一 , z 一1   , 2 , ’ 3 , ’   … ) ?  
对这一不等式的证明 , 可 以用 数 学 归 纳 法 , 详 细  过 程 留给 读 者 完 成 .   点评 .   此小题较难 , 从 分 析思 路 来 看 , 裂 项 相  消起 了关 键 作 用 , 而 用 数 学 归 纳 法 把 右 边 舔 加 一个  含, z 的式 子 , 这个 式 子 的 寻 求 不 易 , 其 要 求 之 高 是 前 
所未 有 的 .   、  

探究策 略 6   接探究策 略 5 , 不 妨 设 法 消 去 变 
数2   .   由S  = 4 S  1 +2 计   一2 得S  1 —4 S . +2   一 
2, . - . S 计1— 2 S 一= 4 ( S 一 一 2 S 一¨ + 2 , 即 


2 S 。 + 詈 = 4 ( s   一 2 S   + 号 ) ,  
所以数列{   一2 S 。 +÷ ) 是首项为 S : 一2 S  
o 

从 以 上分 析 求 解 来 看 , 此 题命 制 新颖 , 叙 述 精  练, 缩 短 了试 题 长 度 , 降 低 了入 口难 度 , 它注重基础 ,   体现 素质 , 综 合 考 察 了 常 用 数 学 思 想 和 方 法 的 灵 活  应用 , 特 别 是 化 归 转 化 和 联 想 类 比 的 能 力 考 查 要 求  更为突出 , 这 就 要 求 我 们 在 乎 常 的 学 习 中 不要 死 记  硬背 , 更不要猜题型搞 套路 , 关键是 要活 学活 用、 理  解概念法则 、 熟练基 本知识 、 掌握 常规方 法 , 学 会 多  角度全方位 分 析 问题 和解 决 问题 , 提 高 综 合 解题 
能 力.  

+ 詈 一 警 , 公 比 为 4 的 等 比 数 列 ,   - . . s 计   -2 S   +了 2   3 了 2 ? 4   1 一 号 ? 4 计   . ’  
又S  1 —4 S   +2 计。 一2 , 联 立 可 得 

s 。 一 ÷   一 2 州 + 号 .  
以下同探究策略 4 .   点 评  这 一 题 考查 的既 有 基 础 知 识 又 有 综 合 

能力 . 只要理 解前  项 和 的概念 , 合 理 使 用递 推关 
系, 认 真分析 , 注重转 化, 善 于联想 。 巧 于类 比 , 灵 活 

( 收 稿 日期 : 2 0 0 6 —0 7 —1 1 )  


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