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2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(文科)试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.在等比数列{an}中,a1 =8,a4 =64 则公比 q 为 A.2 B.3 C.4 D.8

2.设全集 U={a,b,c,d},A={a,

c},B={b},则 A∩(CuB)= A. ? B.{a} C.{c} D.{a,c}

3.垂直于同一平面的两条直线 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面

4. (2x-1)6 展开式中 x2 的系数为 A.15 B.60 C.120 D.240

5. “-1<x<1”是“x2<1”的 A.充分必要条件 C.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.下列各式中,值为

3 的是 2
B.cos215°-sin215° D.sin215°+cos215°

A.2sin15°cos15° C.2sin215°-1

7.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张票至少有 2 张价 格相同的概率为 A.

1 4

B.

79 120

C.

3 4

D.

23 24

8.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点) ,则 k 的值为 A. ? 3 或 3 B. 3 C. ? 2 或 2 D. 2

9.已知向量 OA ? (4,6) , OB ? (3,5) ,且 OC ? OA, AC ∥ OB ,则向量 OC =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

A. ? ?

? 3 2? , ? ? 7 7?

B. ? ? ,

? 2 4? ? ? 7 21 ?

C. ?

? 3 2? ,? ? ?7 7?

D. ? , ?

?2 ?7

4? ? 21 ?

10.设 P(3,1)为二次函数 f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的图象与其反函数 y=f 1(x)的图象的一个交 点,则


A. a ?

1 5 ,b ? 2 2 1 5 ,b ? 2 2

B. a ?

1 5 ,b ? ? 2 2 1 5 ,b ? ? 2 2

C. a ? ?

D. a ? ?

11.设 3b 是 1-a 和 1+a 的等比中项,则 a+3b 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4

12.已知以 F1(-2,0) 、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3 y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的 长轴长为 A. 3 2 B. 2 6 C. 2 7 D. 4 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 13.在Δ ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC=______________。

?2 x ? 3 y ? 6 ? 14.已知 ? x ? y ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为____________。 ? y?0 ?
15.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表,要求数学课排 在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为____________。 (以数字作答) 16.函数的 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2

x 2 ?5 x ? 4

最小值为____________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分。 (I)小问 5 分。 (II)小问 8 分。 ) 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 ,且各次射击相互独立。 4 5

(I)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (II)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率。

18. (本小题满分 13 分, (I)小问 4 分, (II)小问 9 分。 )

2 cos(2 x ? ) 4 。 已知函数 f(x)= ? sin( x ? ) 2

?

(I)求 y=f(x)的定义域; (II)若角α 在第一象限且 cosα =

3 ,求 f(α ) 。 5

19. (本小题满分 12 分,第(I)小问 6 分, (II)小问 6 分。 ) 如题(19)图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=1,BC= BB1 上,BD=

3 ,AA1=2;点 D 在棱 2

1 BB1;B1E⊥A1D,垂足为 E。求: 3

(I)异面直线 A1D 与 B1C1 的距离; (II)四棱锥 C—ABDE 的体积。

20.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

21. (本小题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分。 ) 如题(21)图,倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F,且与抛物线交与 A、B 两点。 (I)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (II)若 α 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2α 为定值,并求 此定值。

22. (本小题满分 12 分,其中(I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S1>1,且 6Sn=(an+1) (an+2) ,n∈N* (I)求{an}的通项公式; (II)设数列{bn}满足 an (2bn ?1) =1,并记 Tn 为{bn}的前 n 项和,求证: 3Tn+1>log2(an+3) ,n∈N*

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(文科)试卷

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分。 1.A 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C

二、填空题:每小题 4 分,满分 16 分。 13. 3 14.9 15.288 16.1+2 2

三、解答题:满分 74 分 17. (本小题 13 分)

3 4 解: (Ⅰ)设 A 表示甲命中目标,B 表示乙命中目标,则 A、B 相互独立,且 P(A)= , P( B) ? , 4 5 从而甲命中但乙未命中目标的概率为

P( AB) ? P( A) P( B ) ?

3 ? 4? 3 ? ?1 ? ? ? . 4 ? 5 ? 20

(Ⅱ)设 A1 表示甲在两次射击中恰好命中 k 次,B1 表示乙有两次射击中恰好命中 1 次。 依题意有
k?3? ?1? P( A1 ) ? C 2 ? ? ? ? ?4? ?4? l ? 4? ?1? P( B1 ) ? C 2 ? ? ? ? ? 5? ?5? l k 2? k

, k ? 0,1,2. , l ? 0,1,2.

2 ?l

由独立性知两人命中次数相等的概率为

P( A0 B0 ) ? P ( A1 B1 ) ? P ( A2 B2 ) ? P( A0 ) P( B0 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 ) ? P ( B2 ) 4 1 ? 1? ?1? 1 3 1 2 ? 3? 2 ?4? C32 · · ? C2 · ? ? · ? ? ? C2 · · · ? ? C2 · ? ? 4 4 5 5 ? 4? ? 5? ? 4? ?5? 1 1 3 4 9 16 193 = ? ? ? ? ? = =0.4825. 16 25 4 25 16 25 400
2 2 2 2

18. (本小题 13 分)

?? ? ? ? 解: (Ⅰ)由 sin? x ? ? ? 0得x ? ? k? , 即x ? k? ? (k ? Z), 2 2 2 ? ?
? ? ? 故 f(x)的定义域为 ? x ? R | x ? k? ? , k ? Z?. 2 ? ?
4 ? 3? (Ⅱ)由已知条件得 sin a ? 1 ? cos 2 a ? 1 ? ? ? ? . 5 5 ? ?
1 ? 2 cos(2a ? sin(a ?
2

?
4

从而 f (a) ?

)

?
2

)

? ?? ? 1 ? 2 ? cos a cos ? sin 2a sin ? 4 4? ? = cos a

1 ? cos 2a ? sin a 2 cos 2 a ? 2 sin a cos a ? cos a cos a

= 2(cos a ? sin a) ?

14 . 5

19. (本小题 12 分) 解法一: (Ⅰ)由直三棱柱的定义知 B1C1⊥B1D,又因为∠ABC=90°,因此 B1C1⊥A1B1,从而 B1C1 ⊥平面 A1B1D,得 B1C1⊥B1E。又 B1E⊥A1D,

故 B1E 是异面直线 B1C1 与 A1D 的公垂线 由 BD ?

1 4 BB1 知 B1 D ? , 3 3
5 ? 4? ? B1 D ? 1 ? ? ? ? . 3 ? 3?
2 2

在 Rt△A1B1D 中,A2D=

A1 B12

又因 S △ A1B1D ?

1 1 A1 B1·B1 D ? A1 D·B1 E. 2 2

4 1· A1 B1·B1 D 4 故 B1E= ? 3 ? . 5 A1 D 5 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1C1⊥平面 A1B1D,又 BC∥B1C1,故 BC⊥平面 ABDE,即 BC 为四棱锥 C-ABDE 的高。从而所求四棱锥的体积 V 为

1 V=VC-ABDE= ? BC, 3
其中 S 为四边形 ABDE 的面积。如答(19)图 1,过 E 作 EF⊥BD,垂足为 F。

答(19)图 1

16 ? 4? ?4? 在 Rt△B1ED 中,ED= B1 D ? B1 E ? ? ? ? ? ? ? , 15 ? 3? ?5?
2 2

2

2

又因 S△B1ED=

1 1 B1 E·DE ? B1 D·EF, 2 2

故 EF=

B1 E·DE 16 ? . B1 D 25

因△A1AE 的边 A1A 上的高 h ? A1 B1 ? EF ? 1 ? S△A1AE=

16 9 ? ,故 25 25

1 1 9 9 A1 A·h ? ·2· ? . 2 2 25 25

又因为 S△A1BD=

1 1 4 2 A1 B1·B1 D ? ·2· ? , 从而 2 2 3 3 9 2 73 ? ? . 25 3 75

S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D=2-

1 1 73 3 73 所以 V ? ·S·BC ? · · ? . 3 3 75 2 150
解法二: (Ⅱ)如答(19)图 2,以 B 点为坐标原点 O 建立空间直角坐标系 O-xyz,则

答(19)图 2 A(0,1,0) ,A1(0,1,2) ,B(0,0,0) B1(0,0,2) ,C1( 因此

3 2 ,0,2) ,D(0,0, ) 2 3

AA1 ? (0,0,2), AB ? (0,?1,0), 2 4 B 2 C1 ? ( ,0,0), A1 D ? (0,?1,? ). 3 3
设 E(

3 ,y0,z0) ,则 B1 E ? ( y 0 , z 0 ,?2) , 2

因此 B1 E·B1C1 ? 0, 从而B1C1 ? B1 E. 又由题设 B1E⊥A1D,故 B1E 是异面直线 B1C1 与 A1D 的公垂线。 下面求点 E 的坐标。 因 B1E⊥A1D,即 B1 E·A1 D ? 0, 从而

y0 ?

4 ( z 0 ? 2) ? 0, ??(1) 3

又 A1 E ? (0, y0 ? 1, z 0 ? 2), 且 A1 E∥A1D, 得

y0 ? 1 z0 ? 2 ? , ?? (2) 4 1 3

联立(1) 、 (2) ,解得 y 0 ?

38 16 ? 16 38 ? ? 16 12 ? , ? , B1 E ? ? 0, ,? ? 。 , z0 ? ,即 E ? ? 0, 25 25 ? 25 25 ? ? 25 25 ?
2

4 ? 16 ? ? 12 ? 所以 | B1 E |? ? ? ? ? ? ? . 5 ? 25 ? ? 25 ?
(Ⅱ)由 BC⊥AB,BC⊥DB,故 BC⊥面 ABDE.即 BC 为四棱锥 C-ABDE 的高. 下面求四边形 ABDE 的面积。 因为 SABCD=SABE+ SADE, | AB |? 1, | BD |?

2

2 3

而 SABE=

1 1 38 19 | AB | z 0 ? · 1 · = . 2 2 25 25

SBDE=

1 1 2 16 16 | BD | y 0 ? · · = . 2 2 3 25 75
19 16 73 ? ? . 25 75 75

故 SABCD=

| BC |? · 所以 VCABCD ? ·S ABDE ·

1 3

1 73 3 73 · ? . 3 75 2 150

20. (本小题 12 分) 解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m) ,高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。

21. (本小题 12 分)

(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4.

p 因此焦点 F ( ,0) 的坐标为(2,0). 2
又准线方程的一般式为 x ? ?

p 。 2

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 。

答(21)图 (Ⅱ)解法一:如图(21)图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD| 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则 |FA|=|AC|= x x ?

p p p 4 , ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 解得 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a
4 。 1 ? cos a

类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 | FB |? 记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ?

| FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a

所 以

| FP |?

| FE | 4 。 ? cos a sin2 a

故 | FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

4·2 sin 2 a sin 2 a

?8。

解法二:设 A( x A , y A ) , B( x B , y B ) ,直线 AB 的斜率为 k ? tan a ,则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 。

将此式代入 y ? 8 x ,得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 ,故 x A ? x B ?
2

2 2

2

2

k (k 2 ? 2) k2



记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E ,

y E ) ,则

xE ?

x A ? x B 2(k 2 ? 2) ? , 2 k2

yE ? k ( xE ? 2) ?

4 , k
4 1? 2k 2 ? 4 ? ? ?? ? x ? 2 ? k k? k ? ?

故直线 m 的方程为 y ?

令 y=0,得 P 的横坐标 x P ?

2k 2 ? 4 k2

? 4故

| FP |? x P ? 2 ?

4(k 2 ? 1) k2

?

4 sin 2 a



从而 | FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

4·2 sin 2 a sin 2 a

? 8 为定值。

22. (本小题 12 分) (I)解:由 a1=S1=

1 (a1+1) (a1+2) ,解得 a1=1 或 a1=2。由假设 a1=S1>1,因此 a1=2。 6 1 1 (a n+1+1) (a n+1+2)- (a n+1) (a n+2) 6 6

又由 an+1=S n+1- S n =

得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an=3。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an=3n-1。 (Ⅱ)证法一:由 an (2 n ?1) ? 1 可解得
b

? 1? 3n ; bn ? log 2 ?1 ? ? ? log 2 3n ? 1 ? an ?
从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ?

3n ? ?3 6 ? ?? ? ?。 3n ? 1 ? ?2 5
3

3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3) ? log 2 ? ? ??? 。 ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5
令 f (n) ? ?

3n ? 2 ?3 6 ,则 ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

3

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 。 ? ·? ? ? f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2
因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7> 0 ,故
f (n ? 1)>f (n)

3

特别地 f (n) ? f (1) ?

27 > 1 。从而 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) ? log 2 f (n)>0 , 20

即 3Tn ? 1 >log2 (a n ? 3) 。 证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c>0 时,不等式 (1 ? c) 3> 1 ? 3c 成立。 由此不等式有
? 3Tn ? 1 ? log2 2?1 ? ?
3 ?? ? >log2 2?1 ? ??1 ? 2 ?? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? ?1 ? ? ??1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ?
3? ? 3 ? ? ? ?1 ? ? 5? ? 3n ? 1 ?

3

3

3

= log 2 2 ?

5 8 3n ? 2 ? ?? ? ? log 2 (3n ? 2) ? log 2 ( an ? 3) 。 2 4 3n ? 1

证法三:同证法一求得 bn 及 Tn。 令 A n= 因

3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? ?? ? ,Bn= ? · ?· ,Cn= ? ?? ? 。 2 5 3n 3 6 3n 4 7 3n ? 1

3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 3 ,因此 An 。 > > >An Bn Cn ? 3n ? 1 3n 3n ? 1 2

从而

3n ? ?2 6 3 3Tn ? 1 ? log 2 2 ? ? ??? ? ? log 2 2 An 3n ? 1 ? ?3 5
> log2 2 An Bn C n ? log2 (3n ? 2) ? log2 (a n ? 3) 。 证法四:同证法一求得 bn 及 Tn。 下面用数学归纳法证明 3Tn+1>log2(an+3) 当 n=1 时,3T1+1=log2

3

27 ,log2(a1+3)=log25 4

因此 3T1+1> log2(a1+3) ,结论成立。 假设结论当 n=k 时成立,即 3Tk+1> log2(ak+3)

则当 n=k+1 时, 3Tk+1+1- log2(ak+1+3)=3T1+1+3bk+1-log2(ak+1+3)> log2(a1+3)- log2(ak+3)+3bk+1 = log 2

(3k ? 3)3 (3k ? 5)(3k ? 2)2 (3k ? 3)3 >0 (3k ? 5)(3k ? 2)2

因(3k+3)3-(3k+5) (3k+2)2=9k+7>0,所以 log 2

从而 3Tk+1+1> log2(ak+1+3) ,这就是说当 n=k+1 时结论也成立。 综上 3Tn+1>log2(an+3)对 n∈N*任何成立。


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