2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学（文科）试卷

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．在等比数列{an}中，a1 =8，a4 =64 则公比 q 为 A．2 B．3 C．4 D．8

2．设全集 U={a，b，c，d}，A={a，

c}，B={b}，则 A∩（CuB）= A． ? B．{a} C．{c} D．{a，c}

3．垂直于同一平面的两条直线 A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面

4． （2x－1）6 展开式中 x2 的系数为 A．15 B．60 C．120 D．240

5． “－1<x<1”是“x2<1”的 A．充分必要条件 C．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列各式中，值为

3 的是 2
B．cos215°－sin215° D．sin215°+cos215°

A．2sin15°cos15° C．2sin215°－1

7．从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张票至少有 2 张价 格相同的概率为 A．

1 4

B．

79 120

C．

3 4

D．

23 24

8．若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点，且∠POQ=120°（其中 O 为原点） ，则 k 的值为 A． ? 3 或 3 B． 3 C． ? 2 或 2 D． 2

9．已知向量 OA ? (4,6) ， OB ? (3,5) ，且 OC ? OA, AC ∥ OB ，则向量 OC =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

A． ? ?

? 3 2? , ? ? 7 7?

B． ? ? ,

? 2 4? ? ? 7 21 ?

C． ?

? 3 2? ,? ? ?7 7?

D． ? , ?

?2 ?7

4? ? 21 ?

10．设 P（3，1）为二次函数 f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）的图象与其反函数 y=f 1（x）的图象的一个交 点，则
－

A． a ?

1 5 ,b ? 2 2 1 5 ,b ? 2 2

B． a ?

1 5 ,b ? ? 2 2 1 5 ,b ? ? 2 2

C． a ? ?

D． a ? ?

11．设 3b 是 1－a 和 1+a 的等比中项，则 a+3b 的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知以 F1（－2，0） 、F2（2，0）为焦点的椭圆与直线 x+ 3 y+4=0 有且仅有一个交点，则椭圆的 长轴长为 A． 3 2 B． 2 6 C． 2 7 D． 4 2

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 13．在Δ ABC 中，AB=1，BC=2，B=60°，则 AC=______________。

?2 x ? 3 y ? 6 ? 14．已知 ? x ? y ? 0 ，则 z=3x+y 的最大值为____________。 ? y?0 ?
15．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表，要求数学课排 在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为____________。 （以数字作答） 16．函数的 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2

x 2 ?5 x ? 4

最小值为____________。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 13 分。 （I）小问 5 分。 （II）小问 8 分。 ） 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 ，且各次射击相互独立。 4 5

（I）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （II）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率。

18． （本小题满分 13 分， （I）小问 4 分， （II）小问 9 分。 ）

2 cos(2 x ? ) 4 。 已知函数 f（x）= ? sin( x ? ) 2

?

（I）求 y=f（x）的定义域； （II）若角α 在第一象限且 cosα =

3 ，求 f（α ） 。 5

19． （本小题满分 12 分，第（I）小问 6 分， （II）小问 6 分。 ） 如题（19）图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ABC=90°，AB=1，BC= BB1 上，BD=

3 ，AA1=2；点 D 在棱 2

1 BB1；B1E⊥A1D，垂足为 E。求： 3

（I）异面直线 A1D 与 B1C1 的距离； （II）四棱锥 C—ABDE 的体积。

20．用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的 长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

21． （本小题满分 12 分， （I）小问 4 分， （II）小问 8 分。 ） 如题（21）图，倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F，且与抛物线交与 A、B 两点。 （I）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程； （II）若 α 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|－|FP|cos2α 为定值，并求 此定值。

22． （本小题满分 12 分，其中（I）小问 5 分， （II）小问 7 分。 ） 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S1>1，且 6Sn=（an+1） （an+2） ，n∈N* （I）求{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足 an (2bn ?1) =1，并记 Tn 为{bn}的前 n 项和，求证： 3Tn+1>log2（an+3） ，n∈N*

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学（文科）试卷

参考答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分。 1．A 2．D 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．C

二、填空题：每小题 4 分，满分 16 分。 13． 3 14．9 15．288 16．1+2 2

三、解答题：满分 74 分 17． （本小题 13 分）

3 4 解： （Ⅰ）设 A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则 A、B 相互独立，且 P（A）＝ , P( B) ? ， 4 5 从而甲命中但乙未命中目标的概率为

P( AB) ? P( A) P( B ) ?

3 ? 4? 3 ? ?1 ? ? ? . 4 ? 5 ? 20

（Ⅱ）设 A1 表示甲在两次射击中恰好命中 k 次，B1 表示乙有两次射击中恰好命中 1 次。 依题意有
k?3? ?1? P( A1 ) ? C 2 ? ? ? ? ?4? ?4? l ? 4? ?1? P( B1 ) ? C 2 ? ? ? ? ? 5? ?5? l k 2? k

, k ? 0,1,2. , l ? 0,1,2.

2 ?l

由独立性知两人命中次数相等的概率为

P( A0 B0 ) ? P ( A1 B1 ) ? P ( A2 B2 ) ? P( A0 ) P( B0 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 ) ? P ( B2 ) 4 1 ? 1? ?1? 1 3 1 2 ? 3? 2 ?4? C32 · · ? C2 · ? ? · ? ? ? C2 · · · ? ? C2 · ? ? 4 4 5 5 ? 4? ? 5? ? 4? ?5? 1 1 3 4 9 16 193 ＝ ? ? ? ? ? ＝ ＝0.4825. 16 25 4 25 16 25 400
2 2 2 2

18． （本小题 13 分）

?? ? ? ? 解： （Ⅰ）由 sin? x ? ? ? 0得x ? ? k? , 即x ? k? ? (k ? Z), 2 2 2 ? ?
? ? ? 故 f（x）的定义域为 ? x ? R | x ? k? ? , k ? Z?. 2 ? ?
4 ? 3? （Ⅱ）由已知条件得 sin a ? 1 ? cos 2 a ? 1 ? ? ? ? . 5 5 ? ?
1 ? 2 cos(2a ? sin(a ?
2

?
4

从而 f (a) ?

)

?
2

)

? ?? ? 1 ? 2 ? cos a cos ? sin 2a sin ? 4 4? ? ＝ cos a
＝
1 ? cos 2a ? sin a 2 cos 2 a ? 2 sin a cos a ? cos a cos a

＝ 2(cos a ? sin a) ?

14 . 5

19． （本小题 12 分） 解法一： （Ⅰ）由直三棱柱的定义知 B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此 B1C1⊥A1B1，从而 B1C1 ⊥平面 A1B1D，得 B1C1⊥B1E。又 B1E⊥A1D，

故 B1E 是异面直线 B1C1 与 A1D 的公垂线 由 BD ?

1 4 BB1 知 B1 D ? , 3 3
5 ? 4? ? B1 D ? 1 ? ? ? ? . 3 ? 3?
2 2

在 Rt△A1B1D 中，A2D＝

A1 B12

又因 S △ A1B1D ?

1 1 A1 B1·B1 D ? A1 D·B1 E. 2 2

4 1· A1 B1·B1 D 4 故 B1E= ? 3 ? . 5 A1 D 5 3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 B1C1⊥平面 A1B1D，又 BC∥B1C1，故 BC⊥平面 ABDE，即 BC 为四棱锥 C-ABDE 的高。从而所求四棱锥的体积 V 为

1 V＝VC-ABDE＝ ? BC， 3
其中 S 为四边形 ABDE 的面积。如答（19）图 1，过 E 作 EF⊥BD，垂足为 F。

答（19）图 1

16 ? 4? ?4? 在 Rt△B1ED 中，ED= B1 D ? B1 E ? ? ? ? ? ? ? , 15 ? 3? ?5?
2 2

2

2

又因 S△B1ED=

1 1 B1 E·DE ? B1 D·EF, 2 2

故 EF=

B1 E·DE 16 ? . B1 D 25

因△A1AE 的边 A1A 上的高 h ? A1 B1 ? EF ? 1 ? S△A1AE＝

16 9 ? ,故 25 25

1 1 9 9 A1 A·h ? ·2· ? . 2 2 25 25

又因为 S△A1BD＝

1 1 4 2 A1 B1·B1 D ? ·2· ? , 从而 2 2 3 3 9 2 73 ? ? . 25 3 75

S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-

1 1 73 3 73 所以 V ? ·S·BC ? · · ? . 3 3 75 2 150
解法二： （Ⅱ）如答（19）图 2，以 B 点为坐标原点 O 建立空间直角坐标系 O-xyz，则

答（19）图 2 A（0，1，0） ，A1（0，1，2） ，B（0，0，0） B1（0，0，2） ，C1（ 因此

3 2 ，0，2） ，D（0，0， ） 2 3

AA1 ? (0,0,2), AB ? (0,?1,0), 2 4 B 2 C1 ? ( ,0,0), A1 D ? (0,?1,? ). 3 3
设 E（

3 ，y0，z0） ，则 B1 E ? ( y 0 , z 0 ,?2) ， 2

因此 B1 E·B1C1 ? 0, 从而B1C1 ? B1 E. 又由题设 B1E⊥A1D，故 B1E 是异面直线 B1C1 与 A1D 的公垂线。 下面求点 E 的坐标。 因 B1E⊥A1D，即 B1 E·A1 D ? 0, 从而

y0 ?

4 ( z 0 ? 2) ? 0, ??(1) 3

又 A1 E ? (0, y0 ? 1, z 0 ? 2), 且 A1 E∥A1D, 得

y0 ? 1 z0 ? 2 ? , ?? (2) 4 1 3

联立（1） 、 （2） ，解得 y 0 ?

38 16 ? 16 38 ? ? 16 12 ? , ? ， B1 E ? ? 0, ,? ? 。 ， z0 ? ，即 E ? ? 0, 25 25 ? 25 25 ? ? 25 25 ?
2

4 ? 16 ? ? 12 ? 所以 | B1 E |? ? ? ? ? ? ? . 5 ? 25 ? ? 25 ?
（Ⅱ）由 BC⊥AB，BC⊥DB，故 BC⊥面 ABDE.即 BC 为四棱锥 C-ABDE 的高. 下面求四边形 ABDE 的面积。 因为 SABCD＝SABE+ SADE， | AB |? 1, | BD |?

2

2 3

而 SABE＝

1 1 38 19 | AB | z 0 ? · 1 · ＝ . 2 2 25 25

SBDE＝

1 1 2 16 16 | BD | y 0 ? · · ＝ . 2 2 3 25 75
19 16 73 ? ? . 25 75 75

故 SABCD＝

| BC |? · 所以 VCABCD ? ·S ABDE ·

1 3

1 73 3 73 · ? . 3 75 2 150

20． （本小题 12 分） 解：设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x（m） ，高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0＜x＜ ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0＜x＜ ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′（x）＝0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 当 0＜x＜1 时，V′（x）＞0；当 1＜x＜

2 时，V′（x）＜0， 3

故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。 从而最大体积 V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3） ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。

21． （本小题 12 分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ，则 2 p ? 8 ，从而 p ? 4.

p 因此焦点 F ( ,0) 的坐标为（2，0）. 2
又准线方程的一般式为 x ? ?

p 。 2

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 。

答（21）图 （Ⅱ）解法一：如图（21）图作 AC⊥l，BD⊥l，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|，|FB|=|BD| 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz，则 |FA|＝|AC|＝ x x ?

p p p 4 ， ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 解得 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a
4 。 1 ? cos a

类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ，解得 | FB |? 记直线 m 与 AB 的交点为 E，则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ?

| FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a

所 以

| FP |?

| FE | 4 。 ? cos a sin2 a

故 | FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

4·2 sin 2 a sin 2 a

?8。

解法二：设 A( x A , y A ) ， B( x B , y B ) ，直线 AB 的斜率为 k ? tan a ，则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 。

将此式代入 y ? 8 x ，得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 ，故 x A ? x B ?
2

2 2

2

2

k (k 2 ? 2) k2

。

记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E ,

y E ) ，则

xE ?

x A ? x B 2(k 2 ? 2) ? ， 2 k2

yE ? k ( xE ? 2) ?

4 ， k
4 1? 2k 2 ? 4 ? ? ?? ? x ? 2 ? k k? k ? ?

故直线 m 的方程为 y ?

令 y=0，得 P 的横坐标 x P ?

2k 2 ? 4 k2

? 4故

| FP |? x P ? 2 ?

4(k 2 ? 1) k2

?

4 sin 2 a

。

从而 | FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

4·2 sin 2 a sin 2 a

? 8 为定值。

22． （本小题 12 分） （I）解：由 a1=S1=

1 （a1+1） （a1+2） ，解得 a1=1 或 a1=2。由假设 a1=S1>1，因此 a1=2。 6 1 1 （a n+1+1） （a n+1+2）－ （a n+1） （a n+2） 6 6

又由 an+1=S n+1－ S n =

得 an+1－ an－3＝0 或 an+1＝－an 因 an＞0，故 an+1＝－an 不成立，舍去。 因此 an+1－ an=3。从而｛an｝是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故｛an｝的通项为 an＝3n－1。 （Ⅱ）证法一：由 an (2 n ?1) ? 1 可解得
b

? 1? 3n ； bn ? log 2 ?1 ? ? ? log 2 3n ? 1 ? an ?
从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ?

3n ? ?3 6 ? ?? ? ?。 3n ? 1 ? ?2 5
3

3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3) ? log 2 ? ? ??? 。 ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5
令 f (n) ? ?

3n ? 2 ?3 6 ，则 ? ?? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

3

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 。 ? ·? ? ? f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2
因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7＞ 0 ，故
f (n ? 1)＞f (n)

3

特别地 f (n) ? f (1) ?

27 ＞ 1 。从而 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) ? log 2 f (n)＞0 ， 20

即 3Tn ? 1 ＞log2 (a n ? 3) 。 证法二：同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c＞0 时，不等式 (1 ? c) 3＞ 1 ? 3c 成立。 由此不等式有
? 3Tn ? 1 ? log2 2?1 ? ?
3 ?? ? ＞log2 2?1 ? ??1 ? 2 ?? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? ?1 ? ? ??1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ?
3? ? 3 ? ? ? ?1 ? ? 5? ? 3n ? 1 ?

3

3

3

＝ log 2 2 ?

5 8 3n ? 2 ? ?? ? ? log 2 (3n ? 2) ? log 2 ( an ? 3) 。 2 4 3n ? 1

证法三：同证法一求得 bn 及 Tn。 令 A n＝ 因

3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? ?? ? ，Bn＝ ? · ?· ，Cn＝ ? ?? ? 。 2 5 3n 3 6 3n 4 7 3n ? 1

3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 3 ，因此 An 。 ＞ ＞ ＞An Bn Cn ? 3n ? 1 3n 3n ? 1 2

从而

3n ? ?2 6 3 3Tn ? 1 ? log 2 2 ? ? ??? ? ? log 2 2 An 3n ? 1 ? ?3 5
＞ log2 2 An Bn C n ? log2 (3n ? 2) ? log2 (a n ? 3) 。 证法四：同证法一求得 bn 及 Tn。 下面用数学归纳法证明 3Tn+1>log2（an+3） 当 n=1 时，3T1+1=log2

3

27 ，log2（a1+3）=log25 4

因此 3T1+1> log2（a1+3） ，结论成立。 假设结论当 n=k 时成立，即 3Tk+1> log2（ak+3）

则当 n=k+1 时， 3Tk+1+1－ log2（ak+1+3）=3T1+1+3bk+1－log2（ak+1+3）> log2（a1+3）－ log2（ak+3）+3bk+1 = log 2

(3k ? 3)3 (3k ? 5)(3k ? 2)2 (3k ? 3)3 >0 (3k ? 5)(3k ? 2)2

因（3k+3）3－（3k+5） （3k+2）2=9k+7>0，所以 log 2

从而 3Tk+1+1> log2（ak+1+3） ，这就是说当 n=k+1 时结论也成立。 综上 3Tn+1>log2（an+3）对 n∈N*任何成立。