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河北省衡水中学2016届高三上学期二调数学试题(文科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)二调数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U={1,3,5,6,8},A={1,6},B={5,6,8},则(?UA)∩B=( A.{6} B.{5,8} C.{6,8} D.{3,5,6,8} 2.已知数列{an}中,a1=a2=1,且 an+2﹣an=1,则数列{an}的前 100 项和为( A.2550 B.2600 C.2651 D.2652 3.设 0≤x<2π,且 A.0≤x≤π B. ≤x ≤ =sinx﹣cosx,则( C. ≤ x≤ D. ) ≤x≤ ) )

4.已知 A,B 是非空集合,命题甲:A∪B=B,命题乙:A?B,那么( A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 5.下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( A.y=lgx B.y=cosx C.y=|x| D.y=sinx )



6. , 是两个向量,| |=1,| |=2,且( + )⊥ ,则 与 的夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 7.已知 tanθ=2,则 sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ=( A.﹣ B. C.﹣ D.
2 2





8.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为( A.30 B.27 C.24 D.21



9.已知 M 是△ ABC 内的一点,且

=2

,∠BAC=30°,若△ MBC,△ MCA 和△ MAB )

的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( A.20 B.18 C.16
2

D.9 )

10.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为(

A.1

B.
2

C.

D.

11.f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,若对任意的 x1∈[﹣1,2],存在 x0∈[﹣1,2],使 g (x1)=f(x0) ,则 a 的取值范围是( ) A. B. C.[3,+∞) D. (0,3]

12.已知点 P 为△ ABC 所在平面内一点,且满足 直线 AP 必经过△ ABC 的( ) A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心

=λ(

+

) (λ∈R) ,则

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知函数 f(x)=2015sinx+x 值为 .
x 2015

+2015tanx+2015,且 f(﹣2015)=2016,则 f(2015)的

14.不等式 e ≥kx 对任意实数 x 恒成立,则实数 k 的最大值为 15.函数 y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx 的最大值为 16.已知△ ABC 的三边 a,b,c 满足 + = .



,则角 B=



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (2014?河北区一模)已知 A,B,C 分别为△ ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向 量 (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且 ,求边 c 的长. , ,且 .

18. (12 分) (2011?广东三模)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,| ﹣ |= (1)求 cos(α﹣β)的值; (2)若 0<α< ,﹣ <β<0,且 sinβ=﹣ ,求 sinα 的值.
2



19. (12 分) (2015 秋?衡水校级月考) 已知函数 f (x) =ax +bx (a≠0) 的导函数 f′ (x) =﹣2x+7, * 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求 Sn 的最大值. 20. (12 分) (2014?泉州模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 差为 d(d≠0)的等差数列,且 b1,b3,b9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 cn=
* n+1

﹣2,数列{bn}是首项为 a1,公

(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

21. (12 分) (2013?泗县模拟)已知 (Ⅰ) 求 a,b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)=x ﹣2mx+m,若对任意的 g(x1)≥f(x2)﹣lnx2,求实数 m 的取值范围. 22. (12 分) (2012?宜春模拟)已知函数
2

在 x=1 与

处都取得极值.

,总存在

,使得



(Ⅰ)当 0<a≤1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a,使 f(x)≤x 恒成立,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,说 明理由.

2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)二调数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U={1,3,5,6,8},A={1,6},B={5,6,8},则(?UA)∩B=( ) A.{6} B.{5,8} C.{6,8} D.{3,5,6,8} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据补集和交集的意义直接求解即可. 【解答】解:由于 U={1,3,5,6,8},A={1,6},∴CUA={3,5,8},∵B={5,6,8},∴ (CUA)∩B={5,8}, 故选 B. 【点评】本题考查集合的交集及补集运算,较简单. 2.已知数列{an}中,a1=a2=1,且 an+2﹣an=1,则数列{an}的前 100 项和为( A.2550 B.2600 C.2651 D.2652 【考点】等差数列的前 n 项和. )

【专题】等差数列与等比数列. 【分析】a1=a2=1,且 an+2﹣an=1,可得数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列,公差与首项 都为 1.利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵a1=a2=1,且 an+2﹣an=1, ∴数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列,公差与首项都为 1. ∴数列{an}的前 100 项和=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) = =2550. 故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 3.设 0≤x<2π,且 A.0≤x≤π B. ≤x ≤ =sinx﹣cosx,则( C. ≤ x≤ D. ) ≤x≤

【考点】二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】 先对 进行化简, 即 =|sinx﹣cosx|, 再由 =sinx﹣cosx

确定 sinx>cosx,从而确定 x 的范围,得到答案. 【解答】解:∵ ∴sinx≥cosx.∵x∈[0,2π) ,∴ . ,

故选 B. 【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系.属基础题.三角 函数这一部分的公式比较多,一定要强化公式的记忆. 4.已知 A,B 是非空集合,命题甲:A∪B=B,命题乙:A?B,那么( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】常规题型. 【分析】已知 A,B 是非空集合,命题甲:A∪B=B,可以推出 A?B,从而进行判断; 【解答】解:∵已知 A,B 是非空集合,A∪B=B, ∴A?B 或 A=B, ∵命题乙:A?B, ∴甲是乙既不充分也不必要条件 故选 D. 【点评】此题以集合为载体,考查了必要条件和充分条件的定义及其判断,是一道基础题.

5.下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( ) A.y=lgx B.y=cosx C.y=|x| D.y=sinx 【考点】奇偶函数图象的对称性. 【专题】计算题. 【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,要找图象 关于原点对称,即在 4 个选项中找出奇函数即可,结合选项利用排除法. 【解答】解:根据函数的性质可得奇函数关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称, A:y=lgx 是非奇非偶函数,错误 B:y=cosx 为偶函数,图象关于 y 轴对称,错误 C:y=|x|为偶函数,图象关于 y 轴对称,错误 D:y=sinx 为奇函数,图象关于原点对称,正确 故选 D 【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称,偶函数的图象关 于 y 轴对称,奇偶函数的判断,注意:再判断函数的奇偶性时,不但要检验 f(﹣x)与 f(x) 的关系,更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验.

6. , 是两个向量,| |=1,| |=2,且( + )⊥ ,则 与 的夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】设 , 的夹角为 θ,0°≤θ≤180°,则由题意可得( 得 θ 的值. 【解答】解:设 , 的夹角为 θ,0°≤θ≤180°,则由题意可得( 即 + =1+1×2×cosθ=0,解得 cosθ=﹣ ,∴θ=120°, )? =0,



)? =0,解得 cosθ=﹣ ,可

故选 C. 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,根据三角函数的值求角,属于中档题. 7.已知 tanθ=2,则 sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ=( A.﹣ B. C.﹣ D.
2 2



【考点】三角函数中的恒等变换应用;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题. 2 2 2 2 【分析】利用 sin θ+cos θ=1,令原式除以 sin θ+cos θ,从而把原式转化成关于 tanθ 的式子, 把 tanθ=2 代入即可. 2 2 【解答】解:sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ =

=

=

= .

故选 D. 2 2 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用.本题利用了 sin θ+cos θ=1 巧妙的完成弦 切互化. 8.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为( A.30 B.27 C.24 D.21 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的定义,求出数列的公差,从而可求 a3+a6+a9 的值. 【解答】解:设等差数列的公差为 d,则 ∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33, ∴两式相减可得 3d=﹣6 ∴d=﹣2 ∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=a2+a5+a8﹣6=33﹣6=27 故选 B. 【点评】本题考查等差数列的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. )

9.已知 M 是△ ABC 内的一点,且

=2

,∠BAC=30°,若△ MBC,△ MCA 和△ MAB )

的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是(

A.20 B.18 C.16 D.9 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;向量在几何中的应用. 【专题】计算题. 【分析】利用向量的数量积的运算求得 bc 的值,利用三角形的面积公式求得 x+y 的值,进而 把 + 转化成 2( + )×(x+y) ,利用基本不等式求得 + 的最小值. 【解答】解:由已知得 =bccos∠BAC=2 ?bc=4,

故 S△ ABC=x+y+ = bcsinA=1?x+y= , 而 + =2( + )×(x+y) =2(5+ + )≥2(5+2 )=18,

故选 B. 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运算.要注意灵 活利用 y=ax+ 的形式.
2

10.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为(



A.1

B.

C.

D.

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再 求点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离. 【解答】解:过点 P 作 y=x﹣2 的平行直线,且与曲线 y=x ﹣lnx 相切, 2 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有 k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣ .
2

=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= = .

故选 B. 【点评】本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题. 11.f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,若对任意的 x1∈[﹣1,2],存在 x0∈[﹣1,2],使 g (x1)=f(x0) ,则 a 的取值范围是( ) A. B. C.[3,+∞) D. (0,3]
2

【考点】函数的值域;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先求出两个函数在[﹣1,2]上的值域分别为 A、B,再根据对任意的 x1∈[﹣1,2],存 在 x0∈[﹣1,2],使 g(x1)=f(x0) ,集合 B 是集合 A 的子集,并列出不等式,解此不等式组 即可求得实数 a 的取值范围,注意条件 a>0. 2 【解答】解:设 f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,在[﹣1,2]上的值域分别为 A、B, 由题意可知:A=[﹣1,3],B=[﹣a+2,2a+2] ∴ ∴a≤ 又∵a>0, ∴0<a≤ 故选:A 【点评】 此题是个中档题. 考查函数的值域, 难点是题意的理解与转化, 体现了转化的思想. 同 时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,

12.已知点 P 为△ ABC 所在平面内一点,且满足 直线 AP 必经过△ ABC 的( ) A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心 【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】两边同乘以向量 【解答】解:∵ =λ(

=λ(

+

) (λ∈R) ,则

,利用向量的数量积运算可求得 + ) ,

?

=0,从而得到结论.

两边同乘以向量

, 得

?

=λ (

+

) ?

=λ (

+



=λ(

+

)=λ(﹣|

|+|

|)=0.







即点 P 在在 BC 边的高线上, ∴P 的轨迹过△ ABC 的垂心. 故选:C 【点评】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义,属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 2015 13.已知函数 f(x)=2015sinx+x +2015tanx+2015,且 f(﹣2015)=2016,则 f(2015)的 值为 2014 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据 f(x)解析式可以看出函数 f(x)﹣2015 为奇函数,从而便有 f(﹣2015)﹣ 2015=﹣[f(2015)﹣2015],这样即可根据 f(﹣2015)的值解出 f(2015) . 2015 【解答】解:f(x)﹣2015=2015sinx+x +2015tanx,∴f(x)﹣2015 为奇函数; ∴f(﹣2015)﹣2015=﹣[f(2015)﹣2015],f(﹣2015)=2016; ∴f(2015)=2014. 故答案为:2014. 【点评】考查奇函数的概念,将函数变成奇函数解决问题的方法,不要直接按 f(x)为奇函 数求. 14.不等式 e ≥kx 对任意实数 x 恒成立,则实数 k 的最大值为 e . 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 【分析】由题意可得 f(x)=e ﹣kx≥0 恒成立,即有 f(x)min≥0,求出 f(x)的导数,求得 单调区间,讨论 k,可得最小值,解不等式可得 k 的最大值.
x

【解答】解:不等式 e ≥kx 对任意实数 x 恒成立,即为 x f(x)=e ﹣kx≥0 恒成立, 即有 f(x)min≥0, x 由 f(x)的导数为 f′(x)=e ﹣k, x 当 k≤0,e >0,可得 f′(x)>0 恒成立,f(x)递增,无最大值; 当 k>0 时,x>lnk 时 f′(x)>0,f(x)递增;x<lnk 时 f′(x)<0,f(x)递减. 即有 x=lnk 处取得最小值,且为 k﹣klnk, 由 k﹣klnk≥0,解得 k≤e, 即 k 的最大值为 e, 故答案为:e. 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用构造函数求最值,考查运算能力,属 于中档题.

x

15.函数 y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx 的最大值为 【考点】三角函数的最值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】令 sinx﹣cosx=t∈[﹣ 它的最大值. 【解答】解:令 sinx﹣cosx=t∈[﹣ 函数 y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx=t﹣ 故当 t= , ,

+



],可得 y= (t+1) ﹣1,再利用二次函数的性质求得
2

2

],则 t =1﹣2sinxcosx, = t +t﹣ = (t+1) ﹣1, ,
2 2

时,函数 y 取得最大值为 t= + .

故答案为: +

【点评】本题主要考查二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基础题. 16.已知△ ABC 的三边 a,b,c 满足 【考点】余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】化简所给的条件求得 b =a +c ﹣ac,利用余弦定理求得 cosB= 得 B 的值. 【解答】解:△ ABC 的三边 a,b,c 满足 ∴ + =3,∴ + + = ,
2 2 2

+

=

,则角 B=



的值,可

=1,∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b) (b+c) ,

即 b =a +c ﹣ac,∴cosB=

2

2

2

= ,

∴B=

, .

故答案为:

【点评】本题主要考查余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,式子的变形是解题的难点, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (2014?河北区一模)已知 A,B,C 分别为△ ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向 量 (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且 ,求边 c 的长. , ,且 .

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,求出 cosC 的值, 即可确定出 C 的度数; (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式 2sinC=sinA+sinB,利 用正弦定理化简得到 2c=a+b,已知等式利用平面向量的数量积运算化简,将 cosC 的值代入求 出 ab 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a+b 与 ab 的值代入即可 求出 c 的值. 【解答】解: (1)∵ =(sinA,sinB) , =(cosB,cosA) , ∴ ? =sin2C,即 sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C=2sinCcosC, ∵sinC≠0, ∴cosC= , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(2)∵sinA,sinC,sinB 成等差数列, ∴2sinC=sinA+sinB, 利用正弦定理化简得:2c=a+b, ∵ ? =18,

∴abcosC= ab=18,即 ab=36, 由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=(a+b) ﹣3ab, 2 2 2 将 a+b=2c,ab=36 代入得:c =4c ﹣108,即 c =36, 解得:c=6. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及等差数列的性质,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键.
2 2 2 2 2 2

18. (12 分) (2011?广东三模)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,| ﹣ |= (1)求 cos(α﹣β)的值; (2)若 0<α< ,﹣ <β<0,且 sinβ=﹣ ,求 sinα 的值.



【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)通过| ﹣ |= (2)通过 0<α< ,﹣ .求出向量的模,化简即可求出 cos(α﹣β)的值; <β<0,且 sinβ=﹣ ,求出 cosβ 的值,sin(α﹣β)的值,利用

sinα=sin(α﹣β+β) ,然后求 sinα 的值. 【解答】解: (1)因为向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,| ﹣ |= = = ,所以 2

﹣2cos(α﹣β)= , 所以 cos(α﹣β)= ; (2)若 0<α< = 且 sinβ=﹣ ,cosβ= , = ,﹣ <β<0,所以 0<α﹣β<π,因为 cos(α﹣β)= ,所以 sin(α﹣β)

所以,sinα=sin(α﹣β+β)=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ=

【点评】本题是中档题,考查三角函数的恒等变换以及化简求值,平面向量的数量积的应用, 注意角的变换的技巧 α=α﹣β+β,是简化解题过程的依据,注意角的范围的确定,是解题的关 键,同时注意:3,4,5;5,12,13.这些特殊数字组成的直角三角形的三角函数值的应用. 19. (12 分) (2015 秋?衡水校级月考) 已知函数 f (x) =ax +bx (a≠0) 的导函数 f′ (x) =﹣2x+7, * 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn 的最大值. 【考点】数列的求和;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;函数思想;综合法;等差数列与等比数列. 2 * 【分析】 (1)由导数性质求出 f(x)=﹣x +7x,由点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x) 的图象上,求出 ,由此能求出数列{an}的通项公式.
2

(2)令 an=﹣2n+8≥0,得 n≤4,由此能求出 Sn 的最大值. 2 【解答】解: (1)∵f(x)=ax +bx(a≠0) ,∴f′(x)=2ax+b,

∵函数 f(x)=ax +bx(a≠0)的导函数 f′(x)=﹣2x+7, ∴a=﹣1,b=7, ∴f(x)=﹣x +7x, * 又∵点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上, ∴ ,
2

2

当 n=1 时,a1=S1=6, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+8, * ∴an=﹣2n+8,n∈N . (2)令 an=﹣2n+8≥0,得 n≤4, ∴当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 =12.

【点评】本题考查数列的通项公式和数列前 n 项和的最大值的求法,是中档题,解题时要认 真审题,注意导数性质的合理运用. 20. (12 分) (2014?泉州模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2 差为 d(d≠0)的等差数列,且 b1,b3,b9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 cn=
* n+1

﹣2,数列{bn}是首项为 a1,公

(n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)利用公式 ,能求出数列{an}的通项公式;利用等差数

列的通项公式和等比数列的性质能求出数列{bn}的通项公式. (Ⅱ)由 cn=
n+1

,利用裂项求和法能求出数列{cn}的前 n 项和.

【解答】解: (Ⅰ)因为 Sn=2 ﹣2, 1+1 1 所以,当 n=1 时,a1=S1=2 ﹣2=2=2 , 当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 , (2 分) 1+1 1 又 a1=S1=2 ﹣2=2=2 ,也满足上式, 所以数列{an}的通项公式为 . (3 分)
n+1 n n

b1=a1=2,设公差为 d,则由 b1,b3,b9 成等比数列, 2 得(2+2d) =2×(2+8d) , (4 分) 解得 d=0(舍去)或 d=2, (5 分) 所以数列{bn}的通项公式为 bn=2n. (6 分) (Ⅱ)cn= (8 分)

数列{cn}的前 n 项和: Tn= =1﹣ =1﹣ = (10 分) . (12 分)

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列前 n 项和的求法,是中档题,解题时要 注意裂项求和法的合理运用.

21. (12 分) (2013?泗县模拟)已知 (Ⅰ) 求 a,b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)=x ﹣2mx+m,若对任意的
2

在 x=1 与

处都取得极值.

,总存在

,使得

g(x1)≥f(x2)﹣lnx2,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ) 求导数 f( ′ x) , 由f (x) 在 x=1 与 得关于 a,b 的方程组,解出 a,b,然后检验; (Ⅱ)对任意的 ,总存在 ,使得 g(x1)≥f(x2)﹣lnx2,等价于 处都取得极值, 得 f' (1) =0, ,

g(x)min≥[f(x)﹣lnx]min,利用函数单调性易求[f(x)﹣lnx]min,按照对称轴在区间[ ,2] 的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得 g(x)min,然后解不等式 g(x)min≥[f(x)﹣ lnx]min 可得答案; 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∵ ∴f'(1)=0, 在 x=1 与 ,∴ 处都取得极值, ,解得 , ,



时, 处都取得极值.



所以函数 f(x)在 x=1 与 ∴ ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 ∴[f(x)﹣g(x)]min=﹣
2

在 + =﹣ ,

上递减,

又函数 g(x)=x ﹣2mx+m 图象的对称轴是 x=m,

(1)当 (2)当 ∴ 又∵

时: 时:

,依题意有 ,
2

成立,∴



,即 6m ﹣6m﹣7≤0,解得: ,∴ ;



(3)当 m>2 时,g(x)min=g(2)=4﹣3m,∴ 又 m>2,∴m∈?; 综上: , .

,解得



所以,实数 m 的取值范围为

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值,考查恒成立问题的解决, 考查分类讨论思想、转化思想.

22. (12 分) (2012?宜春模拟)已知函数



(Ⅰ)当 0<a≤1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a,使 f(x)≤x 恒成立,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,说 明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)确定函数 f(x)的定义域,求导函数,分类讨论,利用导数的正负确定取得函 数的单调区间; (Ⅱ)f(x)≤x 恒成立可转化为 a+(a+1)xlnx≥0 恒成立,构造函数 φ(x)=a+(a+1)xlnx, 则只需 φ(x)≥0 在 x∈(0,+∞)恒成立即可,求导函数,分类讨论,即可求出实数 a 的取值 范围. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , …(2 分) (1)当 0<a<1 时,由 f′(x)>0 得,0<x<a 或 1<x<+∞,由 f′(x)<0 得,a<x<1 故函数 f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞) ,单调减区间为(a,1)…(4 分) (2)当 a=1 时,f′(x)≥0,f(x)的单调增区间为(0,+∞)…(5 分) (Ⅱ)f(x)≤x 恒成立可转化为 a+(a+1)xlnx≥0 恒成立, 令 φ(x)=a+(a+1)xlnx,则只需 φ(x)≥0 在 x∈(0,+∞)恒成立即可,…(6 分) 求导函数可得:φ′(x)=(a+1) (1+lnx) 当 a+1>0 时,在 ∴φ(x)的最小值为 时,φ′(x)<0,在 ,由 得 , 时,φ′(x)>0

故当

时 f(x)≤x 恒成立,…(9 分)

当 a+1=0 时,φ(x)=﹣1,φ(x)≥0 在 x∈(0,+∞)不能恒成立,…(11 分) 当 a+1<0 时,取 x=1,有 φ(1)=a<﹣1,φ(x)≥0 在 x∈(0,+∞)不能恒成立,…(13 分) 综上所述当 时,使 f(x)≤x 恒成立.…(14 分)

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,考查恒 成立问题,同时考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.


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