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4.21 陈迪 抛物线


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龙文教育个性化辅导授课
教师:杨剑星 学生:陈迪时间:19-21 2012_年 4 月 21 日

内容(课题) 抛物线 教学目的(以新课标的二维目标三个层次写)

>1 抛物线的定义与圆锥曲线的联系 2 抛物线的性质 3 抛物线的应用

重难点( 考点)分析 抛物线的应用

教学过程(上次作业答疑—本次考点分析、方法点拨—典例—精练—小结) 抛物线方程. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

图形



y



y



y



y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1

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焦半径

PF ?

p ? x1 2
4a

PF ?
2

p ? x1 2

PF ?

p ? y1 2

PF ?

p ? y1 2

注:① ay2 ?by ? c ? x 顶点 ( 4ac ?b

?

b ). 2a
2 y? P 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? x ? 2 pt (或 ?
2

.

?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

? y ? 2 pt

) t 为参数). (

圆锥曲线的统一定义.. 1、 圆锥曲线的统一定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ? c ,当 c ? 0, a ? b 时).
a

2、 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交 点是关于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 1.不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈;抛物线的焦点位置取 决于哪个变量是一次的及其系数的正负;抛物线标准方程中的“ p ”表示焦准距。 [举例 1] 抛物线 y ? ax2 的准线方程为 y ? 2 ,则 a 的值为 (A)
1 8

(B) ?

1 8

(C) 8

(D) ? 8

解析:抛物线的标准方程为: x 2 ? [举例 2]若椭圆 x2
a
2

1 1 1 y ,其准线方程为:y= ,∴a= ? ,故选 B。 4a a 8

?

y2 右焦点分别为 F1、 2, F 线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx ? 1 (a>b>0)的左、 2 b

的焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为 : (A) 16
17

(B)

4 17 17

(C) 4
5

(D)

2 5 5

[来源:Zxxk.Com]

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解析:抛物线 y2=2bx 的焦点为 F( ,0) ,∵F 将线段 F1F2 分成 5∶3 的两段, ∴( +c)(c - )=5∶3 ?c=2b ?e= 2 :
b 2 b 2
5 5

b 2

,选 D。 )

[巩固 1]点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离等于 6,那么抛物线的方程是( (A)y=12x2
1 1 (B)y= x2 或 y=- x2 12 36

(C)y=-36x2 (D)y=12x2 或 y=-36x2[来源:Zxxk.Com]
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2

[巩固 2] 若抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

C. ?4

D. 4

2.涉及到抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题常用定义;有时,抛物线上的点到 与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。
x2 [举例 1]已知 A(3,1) ,抛物线 y ? 上一点 P(x,y) ,则|PA|+y 的最小值为 。 4 x2 解析:抛物线 y ? 的准线为:y= -1,焦点 F(0,1) ,记 P 在直线 y= -1 上的射影为 4

Q, 则 y=|PQ|-1=|PF|-1,|PA|+y=|PA|+|PF|-1,问题转化为:求|PA|+|PF|的最小值,易见: |PA|+|PF|≥|AF|=3,当且既当 F、P、A 共线时等号成立,故:|PA|+y 的最小值为 2。 [举例 2]已知椭圆 E 的离心率为 e,两焦点 抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,P 为两 Q
| PF1 | 公共点,若 =e,则 e 的值为: | PF2 |
M F1 P O F2 y

为 F1,F2, 曲线的一个
x

A.

3 3

B.

3 2

C.

2 2

D.

6 3

解析:记抛物线的准线 l 交 x 轴于 M,P 在 l 上的射影 为 Q,则|F1M|=|F1F2|=2c,即 l 的方程为 x= -3c,|PF2|=|PQ|,又[来源:学|科|网]

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| PF1 | | PF | =e,即 1 =e,∵F1 是椭圆的左焦点,∴|PQ|为 P 到椭圆左准线的距离,即 | PQ | | PF2 |
l 为椭圆的左准线,于是有:-3c= -

a2 3 ,选 A。 ?e= c 3

[巩固 1] 一动圆圆心在抛物线 x 2 ? 4 y 上,过点(0 , 1)且与定直线 l 相切,则 l 的方程为 ( ) A. x ? 1 B. x ?
1 16

C. y ? ?1

D. y ? ?

1 源:Z§xx§k 16

[举例 2] 给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.设 l 的斜率为 1,则 OA 与 OB 夹角为 ;

解析:抛物线的焦点为 F(1,0),直线 l 的方程为:x=y+1;将其代入抛物线方程得: y2-4y-4=0[来源:Zxxk.Com] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y1+y2=4,y1y2= -4,又 x1= y12, x2= y22,∴x1 x2=
OA? OB =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.[来源:Zxxk.Com]
2 2 | OA | ? | OB |? x12 ? y12 ? x2 ? y 2 ? ( x1 x2 ) 2 ? ( y1 y 2 ) 2 ?

1 4

1 4

1 (y1 y2)2=1. 16

1 ( y1 y 2 ) 2 [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] 16

= 41 ,∴cos< OA, OB >=

OA ? OB | OA | ? | OB |

??

3 41 . 故 OA 与 OB 夹角为 ? 41

-a rccos 3

41 41

. )

[巩固 1]AB 是抛物线 y 2 ? 2x 的一条焦点弦, |AB|=4, AB 中点 C 的横坐标是 则 ( A.2 B. 1
2

C. 3
2

D. 5
2

[巩固 2]过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的直线 x ? my ? m ? 0 与抛物线交于 A、B 两点, 且⊿OAB(O 为坐标原点)的面积为 2 2 ,则 m6+m4=
1.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐 标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4 C.y2=4x )

B.y2=± 8x D.y2=8x

2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
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A.2 11 C. 5

B.3 37 D.16

3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分 相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 C.4 3 B.3 3 D.8 ) )

4.若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F、M(4,4)且与 l 相切的圆共有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.4 个

??? ??? ??? ? ? ? 5.设 F 为抛物线 y2 =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则
??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB | ? | FC | 等于(

)

A.9 C.4

B.6 D.3

6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线 的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 4 A.5 4 C.7 2 B.3 1 D.2 S△BCF 等于( S△ACF )

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 1 7.已知抛物线型拱的顶点距离水面 2 米时,测量水面宽为 8 米,当水面上升2米后,水面的宽 度是________.
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2 8.点 P 到 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:y=x 的距离等于 2 ,则这样的 点 P 的个数为________. 9.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点.设|FA|>|FB|, 则|FA|与|FB|的比值等于________.

11.A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB. (1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线 AB 过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程;
(4)求△AOB 面积的最小值

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意

○ 满意

○ 一般

○ 差 学生签字:________

教学总结: (1、学生的学习习惯、态度;2、学生本次课收获了什么;3、本人的教学得失)

主任审核批复 教导主任签字:________ 龙文教育教务处制 作业: (必须用红笔批改) 第 6 页 (共 6 页)


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