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黑龙江省哈尔滨六中2015-2016学年高一上学期11月月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨六中高一(上)11 月月考数学试 卷
一、选择题: (每题 5 分,共 12 题) 1. (中三角函数的奇偶性及周期)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A.y=tan2x B.y=|sinx| C. D.



2.已知函数 f(x)=

,则下列结论正

确的是(



A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞) 3.下列函数中值域是(0,+∞)的函数是( A. B. C. ) D.

4.已知函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数,g(x)=﹣f(|x|) ,若 g(lgx)<g(1) ,则 x 的 取值范围是( ) A. C. (10,+∞) B. (0,10) D.

5.

化简的结果是



) C.0 D.

A.﹣1 B.1

6.若锐角 α 终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3) ,则 α 的值为( A.π﹣3 B.3 C. D.



7.已知

,且﹣180°<α<﹣90°,则 cos(30°﹣α)的值为(



A.

B.

C.

D.

8.函数 f(x)= A.1 B.0

(x≠0)是奇函数,则实数 k 等于( C.1 或﹣1 D.0 或 1



9.已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω>0)的图象关于直线 x= 最小值为( ) A.2 B.4 C.6 10.函数 A. B.[﹣1,1] C. D.

对称,f(

)=0,则 ω 的

D.8 的值域是( )

11.已知函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f 2 (x)=x ﹣x+a,若函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有两个,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<0 B.a≤0 C.a≤1 D.a≤0 或 a=1

12.已知函数 f(x)=

,其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方程 f(f(x) )

=0 有且只有一个实数解,则 a 实数的取值范围是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,0)∪(0,1) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)

二、填空题: (每题 5 分) 13.函数 是 .
2 2

在[﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围

14.若 tanα=3,则 sin α+2cos α= 15.设函数 是 .

. 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围

16.函数 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣

在区间[﹣π,π]上的零点分别是



三、解答题: 17.设函数 ,

(1)求 f(x)的周期; (2)当 x∈[﹣π,π]时,求 f(x)单调递增区间; (3)当 x∈[0,2π]时,求 f(x)的最大值和最小值. 18.已知集合 ,集合 B={x||x﹣m|≤2},若 A∩B≠?,求 m 的取值范围.

19.已知 (1)求 sinθcosθ 的值. 3 3 (2)求 sin θ﹣cos θ 的值. (3)当﹣π<θ<0 时,求 tanθ 的值. 20.已知函数 f(x)=4 ﹣a?2 ﹣6,x∈[0,1], (1)若函数有零点,求 a 的取值范围; (2)若不等式 f(x)+3a+6≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 21.已知 a>0,函数 f(x)=﹣2asin(2x+ (1)求常数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f(x+ )且 lg[g(x)]>0,求 g(x)的单调区间. )+2a+b,当 x∈[0, ]时,﹣5≤f(x)≤1.
x x+1

22. 已知函数 求 a.

在 x∈[2, 8]时取得最大值 2, 最小值



2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨六中高一(上)11 月月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 5 分,共 12 题) 1. (中三角函数的奇偶性及周期)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A.y=tan2x B.y=|sinx| C. D.



【考点】三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题. 【分析】先判断函数的奇偶性,再求函数的周期,然后确定选项. 【解答】解:四个选项中为奇函数的是 A 和 D,其中 y=tan2x 的最小正周期为 而 y=|sin2x|的最小正周期是 π 是偶函数, 数, 而 ,最小正周期 .

的最小正周期是 π 是偶函

为 π, 故选 D. 【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的判断,考查计算能力,是基础 题.

2.已知函数 f(x)=

,则下列结论正确的是(



A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞) 【考点】余弦函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可. 【解答】解:由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C, 对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确. 故选:D 【点评】本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题.
2

3.下列函数中值域是(0,+∞)的函数是( A. B. C.

) D.

【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用基本函数的值域即可求出各函数的值域,从而可求得答案. 【解答】解:∵ ≠0,∴ y=
x

≠1,

的值域为(0,1)∪(1,+∞) ,故排除 A;

的值域为[0,+∞) ,故排除 B;
x

∵2 >0,∴2 +1>1,所以 =2
x﹣2

的值域为(1,+∞) ,故排除 C;

,其值域为(0,+∞) ,

故选 D. 【点评】本题考查的是函数值域的求解问题.在解答的过程当中充分考查了各类函数的性质 特征.值得同学们体会和反思. 4.已知函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数,g(x)=﹣f(|x|) ,若 g(lgx)<g(1) ,则 x 的 取值范围是( ) A. C. (10,+∞) B. (0,10) D.

【考点】奇偶性与单调性的综合;其他不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】据题意知 g(x)=﹣f(|x|)为偶函数且在为(0,+∞)单调递增,结合条件 g(lgx) <g(1) ,由偶函数的性质可得|lgx|<1,解不等式可求. 【解答】解:根据题意知 g(x)=﹣f(|x|)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增, 又因为 g(lgx)<g(1) , 所以|lgx|<1, ∴﹣1<lgx<1, 解得 <x<10.

故选 A. 【点评】本题主要考查了偶函数单调性性质的应用,熟记一些常用的结论可以简化基本运算.

5.

化简的结果是





A.﹣1 B.1

C.0

D.

【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题;规律型;函数思想;三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式化简求解即可.

【解答】解:

= = =1. 故选:B. 【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. 6.若锐角 α 终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3) ,则 α 的值为( A.π﹣3 B.3 C. D. )

【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题. 【分析】 由任意角的三角函数的定义可得 tanα= =tan ( 3﹣ ) , 又 ∈ (0, ) ,

可得 α 的值. 【解答】解:∵锐角 α 终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3) , 由任意角的三角函数的定义可得 tanα= 又 ∈(0, ) ,∴α= . =﹣cot3=tan( 3﹣ ) ,

故选 C. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式的应用,根据三角函数的值求角, 属于中档题.

7.已知 A. B. C.

,且﹣180°<α<﹣90°,则 cos(30°﹣α)的值为( D.



【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题;整体思想;三角函数的求值. 【分析】由 cos(60°+α)的值及 α 的范围,判断出 sin(60°+α)的正负,进而求出 sin(60°+α) 的值,原式变形后利用诱导公式化简即可求出值. 【解答】解:∵cos(60°+α)= ,﹣180°<α<﹣90°,即﹣120°<α+60°<﹣30°,

∴sin(60°+α)<0,即 sin(60°+α)=﹣ 则原式=cos[90°﹣(60°+α)]=sin(60°+α)=﹣ ,

=﹣



故选:A. 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱 导公式及基本关系是解本题的关键.

8.函数 f(x)=

(x≠0)是奇函数,则实数 k 等于(



A.1 B.0 C.1 或﹣1 D.0 或 1 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】根据奇函数的定义可知 f(﹣x)+f(x)=0,建立等量关系后,通过化简整理即可求 得 k. 【解答】解:∵函数 f(x)在定义上为奇函数 ∴( f ﹣x) +f (x) =0, 即( f ﹣x) +f (x) = + = =0,

即(1﹣k ) (2 +2 )=0 解得 k=±1, 故选 C. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用,提高学生分析、解决问题的能力,属于基础题.

2

x

﹣x

9.已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω>0)的图象关于直线 x=

对称,f(

)=0,则 ω 的

最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;余弦函数的对称性. 【专题】计算题. 【分析】直接利用函数的对称轴方程,结合 f( 小值. 【解答】解:由题设函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω>0)的图象关于直线 x= 所以 f( 于是 )=0,可得 , ,k1∈Z ,k2∈Z, 对称 )=0,求出 ω 的表达式,然后求出 ω 的最

当 k2﹣k1=0 时,ω 最小可以取 2.

故选 A. 【点评】本题考查三角函数的对称性,三角函数值的求法,考查函数解析式的求法,计算能 力.

10.函数 A. B.[﹣1,1] C. D.

的值域是(



【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据余弦函数的定义域和值域求得 函数的值域. 【解答】解:函数 ﹣( = cosx﹣ sinx) ) . , ],∴cos(x+ )∈[﹣1, ], =2( cosx﹣ sinx)

cosx﹣ sinx=cos(x+ ∈[

由 x∈[0,π],求得 x+

故选:A. 【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的定义域和值域,属于基础题. 11.已知函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f (x)=x ﹣x+a,若函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有两个,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<0 B.a≤0 C.a≤1 D.a≤0 或 a=1 【考点】函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】要使函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有两个,则根据函数是奇函数,则只需要当 x >0 时,函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有一个即可. 【解答】解:因为 f(x)是奇函数,所以 g(x)=f(x)﹣x 也是奇函数, 所以要使函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有两个, 则只需要当 x>0 时,函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点恰有一个即可. 2 2 由 g(x)=f(x)﹣x=0 得,g(x)=x ﹣x+a﹣x=x ﹣2x+a=0, 若△=0,即 4﹣4a=0,解得 a=1. 若△>0,要使当 x>0 时,函数 g(x)只有一个零点,则 g(0)=a≤0, 所以此时 ,解得 a≤0.
2

综上 a≤0 或 a=1. 故选 D. 【点评】本题主要考查函数零点的应用,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键.

12.已知函数 f(x)=

,其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方程 f(f(x) )

=0 有且只有一个实数解,则 a 实数的取值范围是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,0)∪(0,1) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞) 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】若 a=0 则方程 f(f(x) )=0 有无数个实根,不满足条件,若 a≠0,若 f(f(x) )=0, x 可得当 x≤0 时,a?e =1 无解,进而得到实数 a 的取值范围. 【解答】解:若 a=0 则方程 f(f(x) )=0 有无数个实根,不满足条件, 若 a≠0,若 f(f(x) )=0, 则 f(x)=1, ∵x>0 时,f( )=1, 关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且只有一个实数解, x 故当 x≤0 时,a?e =1 无解, 即 故 在 x≤0 时无解, ,

故 a∈(﹣∞,0)∪(0,1) , 故选:B 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中分析出当 x≤0 时,a?e =1 无 解,是解答的关键. 二、填空题: (每题 5 分) 13.函数 在[﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (﹣
x

8,﹣6] . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 ,解此不等式组求得实数 a 的取值范围.

【解答】解:∵函数

在[﹣1,+∞)上是减函数,



,解得﹣8<a≤﹣6,

故实数 a 的取值范围是(﹣8,﹣6], 故答案为 (﹣8,﹣6].

【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数函数的定义域,二次函数的性质, 属于中档题.
2 2

14.若 tanα=3,则 sin α+2cos α=



【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;三角函数的求值. 【分析】利用“1”的代换,化简所求的表达式为正切函数的形式,然后求解即可. 【解答】解:tanα=3, 则 sin α+2cos α=
2 2

=

=



故答案为:



【点评】本题考查三角函数化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.

15. 设函数 1) . 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题.

在区间 (1, 2) 内有零点, 则实数 a 的取值范围是 (log32,

【分析】根据零点存在定理,若函数

在区间(1,2)内有零点,则 f

(1)?f(2)<0,结合对数的运算性质,我们可以构造一个关于 a 的不等式,解不等式即可 得到答案. 【解答】解:∵单调函数 ∴f(1)?f(2)<0 又∵ =1﹣a =log32﹣a 则(1﹣a)?(log32﹣a)<0 解得 log32<a<1 故答案为: (log32,1) 【点评】 本题考查的知识点是函数零点的判定定理, 其中根据零点判定定理构造关于 a 的不等 式,是解答本题的关键. 在区间[﹣π,π]上的零点分别是 在区间(1,2)内有零点,

16.函数 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣ ﹣ 或 .

或﹣



【考点】余弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

【分析】令 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣ 解得在区间[﹣π,π]上的零点.

=0,可解得:|cosx|= ,由 x∈[﹣π,π]即可

【解答】解:令 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣ 可得: + =

=0

两边平方,得:2+2|cosx|=3,可解得:|cosx|= ,即 cosx= ∵x∈[﹣π,π] ∴x= 或﹣ 或﹣ 或﹣ 或 或﹣ 或 .

故答案为:

【点评】本题主要考察了三角函数的图象与性质,函数的性质及应用,属于基本知识的考查. 三、解答题: 17.设函数 ,

(1)求 f(x)的周期; (2)当 x∈[﹣π,π]时,求 f(x)单调递增区间; (3)当 x∈[0,2π]时,求 f(x)的最大值和最小值. 【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;三角函数的最值. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由条件利用诱导公式,余弦函数的周期性,求得 f(x)的周期. (2)由条件利用余弦函数的单调性求得函数 f(x)的增区间. (3)由条件利用余弦函数的定义域和值域,求得 f(x)的最大值和最小值. 【解答】解: (1)∵函数 =2cos( ﹣ ) ,故它的周期为 =4π.

(2)令 2kπ﹣π≤ ﹣ 4kπ+ ],k∈Z.

≤2kπ,求得 4kπ﹣

≤x≤4kπ+

,故函数的增区间为[4kπ﹣



根据 x∈[﹣π,π],可得函数的增区间为[﹣π, (3)当 x∈[0,2π]时, ﹣ 故当 ﹣ = ∈[﹣ ,

]. )∈[﹣ ,1], =0 时,函数 f(x)取得最大值

],∴cos( ﹣

时,函数 f(x)取得最小值为﹣1,当 ﹣

为 2. 【点评】本题主要考查诱导公式,余弦函数的周期性和单调性,余弦函数的定义域和值域, 属于基础题.

18.已知集合

,集合 B={x||x﹣m|≤2},若 A∩B≠?,求 m 的取值范围.

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中不等式的解集表示出 B,根据 A 与 B 的 交集不为空集,确定出 m 的范围即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:1+ ≤0,即 ≤0,

解得:﹣1<x≤2,即 A=(﹣1,2], 由 B 中不等式解得:﹣2≤x﹣m≤2,即 m﹣2≤x≤m+2, ∴B=[m﹣2,m+2], ∵A∩B≠?, ∴1<m﹣2≤2 或﹣1<m+2≤2, 解得:3<m≤4 或﹣3<m≤0. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

19.已知 (1)求 sinθcosθ 的值. 3 3 (2)求 sin θ﹣cos θ 的值. (3)当﹣π<θ<0 时,求 tanθ 的值. 【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】 (1)将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式即可得解. (2)利用同角三角函数基本关系式及立方差公式即可得解. (3) 把已知等式两边平方, 利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简, 求出 sinθ+cosθ 的值,与已知等式联立求出 sinθ 与 cosθ 的值,即可确定出 tanθ 的值. 【解答】解: (1)∵ ∴两边平方可得:1﹣2sinθcosθ=
3 3

, ,解得:sinθcosθ=
2 2

. )= ﹣ .

(2)sin θ﹣cos θ=(sinθ﹣cosθ) (sin θ+sinθcosθ+cos θ)=(﹣ )×(1+ (3)∵sinθcosθ= , , , ①.

∴由﹣π<θ<0,可得:﹣π<θ< ∵(sinθ+cosθ) =1+2sinθcosθ= ∴sinθ+cosθ=﹣ ②,
2

联立①②,解得:sinθ=﹣ ,cosθ=﹣ ,

则 tanθ=

= .

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,考查了计算能力和转化思想,熟练掌握 基本关系是解本题的关键. 20.已知函数 f(x)=4 ﹣a?2 ﹣6,x∈[0,1], (1)若函数有零点,求 a 的取值范围; (2)若不等式 f(x)+3a+6≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数的零点. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. x 2 2 2 【分析】 (1)令 t=2 ,求出 t 的范围,令 h(t)=t ﹣2at﹣6=(t﹣a) ﹣a ﹣6(1≤t≤2) ,求出 方程 h(t)=0 的根在[0,1]即可; (2)问题转化为 t ﹣2at+3a≥0 恒成立.令 g(t)=t ﹣2at+3a,t∈[1,2].通过讨论 a 的范围, 得到函数的单调性,求出函数的最小值大于等于 0 即可. x x+1 【解答】解: (1)∵f(x)=4 ﹣a?2 ﹣6(0≤x≤1) x 2 x ∴f(x)=(2 ) ﹣2a?2 ﹣6(0≤x≤1)…(2 分) x 令 t=2 ,∵0≤x≤1,∴1≤t≤2; 2 2 2 令 h(t)=t ﹣2at﹣6=(t﹣a) ﹣a ﹣6(1≤t≤2)…(4 分) , 令 h(t)=0,解得:t=a± 若函数 h(t)在[1,2]有零点, 则 1≤a﹣ ≤2 或 1≤a+ ≤2, ,
2 2 x x+1

解得:﹣ ≤a≤﹣ , (8 分) (2)∵f(x)+3a+6≥0 恒成立,即 t ﹣2at+3a≥0 恒成立. 2 令 g(t)=t ﹣2at+3a,t∈[1,2]. 对称轴 t=a, a≤1 时:g(t)在[1,2]递增, ∴只需 g(1)=1+a≥0 即可,解得:a≥﹣1, 1<a<2 时:g(t)在[1,a)递减,在(a,2]递增, 2 ∴只需 g(a)=3a﹣a ≥0 即可,解得:0≤a≤3, a≥2 时:g(t)在[1,2]递减, ∴只需 g(2)=4﹣a≥0 即可,解得:a≤4, 综上,﹣1≤a≤4. 【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查二次函数的性质,是一道中档题. )+2a+b,当 x∈[0, ]时,﹣5≤f(x)≤1.
2

21.已知 a>0,函数 f(x)=﹣2asin(2x+ (1)求常数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f(x+

)且 lg[g(x)]>0,求 g(x)的单调区间.

【考点】三角函数的最值;正弦函数的单调性. 【专题】综合题;转化思想.

【分析】 (1)由三角函数的性质求出用参数表示的函数的最值,由于函数的值域已知,故此 两区间相等,故左端点与左端点相等,右端点与右端点相等,由此得到参数的方程,解出参 数值即可. (2)本题要求出在定义域中的单调区间,故要先求出其定义域,再由单调性求出其单调区间, 由(1) ,f(x)=﹣4sin(2x+ )﹣1,代入即可求得 g(x)的表达式,又由 lgg(x)>0,

可求得函数的定义域,再由 g(x)的单调性求出其在定义域内的单调区间. 【解答】解: (1)∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ , ], ],

∴sin(2x+

)∈[﹣ ,1], )∈[﹣2a,a],

∴﹣2asin(2x+

∴f(x)∈[b,3a+b],又﹣5≤f(x)≤1. ∴ ,解得 . )﹣1, )﹣1=4sin(2x+ )﹣1,

(2)f(x)=﹣4sin(2x+ g(x)=f(x+

)=﹣4sin(2x+

又由 lg[g(x)]>0,得 g(x)>1, ∴4sin(2x+ ∴sin(2x+ ∴ 由 )﹣1>1, )> , < π+2kπ,k∈Z, ≤2kπ+ ,得

+2kπ<2x+ +2kπ<2x+

kπ<x≤kπ+ 由

,k∈Z. < π+2kπ 得

+2kπ≤2x+ +kπ≤x<

+kπ,k∈Z. +kπ](k∈Z) ,

∴函数 g(x)的单调递增区间为(kπ, 单调递减区间为[ +kπ, +kπ) (k∈Z)

【点评】本题考点是三角函数的最值,考查利用三角函数的最值建立方程求参数,求三角函 数的最值一般需要先研究三角函数的单调性,由单调性求最值,本题求最值采用了求复合函

数最值常用的方法,由内而外,逐层求解,题后要注意体会求最值的这一技巧,由于省略了 讨论函数单调性的过程,使得解题过程大大简化. 在 x∈[2, 8]时取得最大值 2, 最小值

22. 已知函数



求 a. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】分类讨论;换元法;函数的性质及应用. 【分析】利用换元思想,将问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题,结合配方法求出 结果,注意分类讨论. 【解答】解:由题意知,函数 =(logax+1) (logax+2) =loga x+3logax+2=(logax+ ) ﹣ . 令 t=logax,则 y=(t+ ) ﹣ . 当 f(x)取最小值﹣ 时,t=logax=﹣ . 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1) . ∵f(x)是关于 t 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 若(loga2+ ) ﹣ =2,则 a=
2 2 2 2



此时 f(x)取得最小值时,x= 若(loga8+ ) ﹣ =2,则 a= ,
2

=

?[2,8],舍去.

此时 f(x)取得最小值时,x= 符合题意, ∴a= .

=2

∈[2,8],

【点评】本题考查对数函数与二次函数复合构成的函数的最值的求法,对数函数为内层时, 一般采用换元法转化为二次函数来求解,注意中间量的取值范围.


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