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选修4-4教学课件: 第二章 参数方程· 一、曲线的参数方程1


第二讲 参数方程

一 曲线的参数方程

问题探究
如图,一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力),飞行员 应如何确定投放时机呢?

v=100m/s
A

问题探究
如图,一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力),飞行员 应如何确定投放时机呢? y

v=100m/s
OA
-500

x

问题探究
如图,一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力),飞行员 应如何确定投放时机呢? y

v=100m/s
OA
-500

x M

1. 参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如 果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数 ? x ? f ( t ), ? ? y ? g( t ),

1. 参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如 果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数 ? x ? f ( t ), ? ? y ? g( t ), 并且对于t的每一个允许值,由方程 组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称 参数.相对于参数方程而言,直接给出点 的坐标间关系的方程叫做普通方程.

1. 参数方程
参数是联系变数x,y的桥梁,可以是 一个与物理意义或几何意义的变数,也可 以是没有明显实际意义的变数. 练习:教材习题2.1第1、2题.

2. 参数方程化为普通方程 例1. 把下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示什么曲线:

? ? x ? t ? 1, (1) ? ( t 为参数) ? ? y ? 1 ? 2 t;

? x ? sin? ? cos ?, ( 2) ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2? .

2. 参数方程化为普通方程 (1)代入消参法; (2)加减消参法: sin2?+cos2?=1; cos2?=2cos2?-1=1-2sin2?; sin2?=2sin?cos?. 注意:普通方程中 (x,y)的范围应该 符合参数方程的限制条件.

练习1.把下列参数方程化为普通方程.

? ? x ? 3 cos ? , (1) ? (0?? ? ) 2 ? y ? 3 sin? ,
? x ? 1 ? 4 cos t , ( 2) ? ( t 为参数) ? y ? ?2 ? 4 sin t , 1 ? ?x ? t ? t , ( 3) ? ( t 为参数) 1 2 ?y ? t ? 2 . t ?

练习2. 已知曲线 C 的参数方程是

? x ? 3t ? y ? 2t 2 ? 1 ( t 为参数) ?
(1) 判断点M 1 (0,1),M 2 (5,4)与曲线C 的位置关系;
( 2) 已知点M 3 (6, a )在曲线C上,求 a 的值.

? 课后作业
教材习题2.1第4题.


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