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椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程课件


一、复习:

1.
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

x

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

2.椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

O
F2 (c,0) X
2

X
F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个 轴上。

二、例题与练习

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3, 0),椭圆上任意一点与两焦点的距离的和 等于8; 解:(1)椭圆的焦点在x轴上,设它的标 准方程是
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

由已知,得2a=8,即a=4,又因为c=3, 所以b2=a2-c2=7,因此椭圆的标准方程是
x y ? ?1 16 7
2 2

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-4),(0, 4),并且椭圆经过点( ,- ). 5 3
解:(2)椭圆的焦点在y轴上,设它的标 准方程是
y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

由已知,得c=4,因为c2=a2-b2, 所以a2=b2+16
2 2



因为点( 3 ,- 5 )在椭圆上,所以
(? 5) ( 3) ? 2 ?1 2 a b

5 3 ? 2 ?1 将①代入②得, 2 b ? 16 b
解得b2=4 (b2=-12舍去),则a2=4+16=20,
y 2 x2 因此椭圆的标准方程是 ? ?1 20 4

5 3 即 2 ? 2 ?1 a b



例2. 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标:

(1)

x y ? ?1 36 24

2

2



(2)8x2+3y2=24.

解:(1)已知方程就是椭圆的标准方程, 由36>24,可知这个椭圆的焦点在x轴上, 且a2=36,b2=24,所以c2=a2-b2=12, c?2 3 因此椭圆的焦点坐标为
(-2 3 ,0),(2 3,0).

(2)8x2+3y2=24. 解:(2)把已知方程化为标准方程,

由8>3可知这个椭圆的解得在y轴上,
且a2=8,b2=3,得c2=a2-b2=5,

c= 5
所以椭圆的焦点坐标是 (0,- 5 ),(0, 5 ).

例3. 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且 △ABC的周长等于18,求这个三角形的顶 点A的轨迹方程。
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC 的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy, 由|BC|=8,可知B(-4,0),C(4,0),

由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10, 因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,

这个椭圆上的点与两焦点的距离的和
2a=10,但A点不在x轴上, 由a=5,c=4,解得b2=9,
x y 因此点A的轨迹方程是 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9
2 2

例4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上 的椭圆,则k的取值范围是 。
x y 解:将方程整理成 ? 2 ? 1 2 k
2 2

2 根据题意得 ? 2 k 解得0<k<1,所以k的取值范围是(0,1).

x2 y2 例5.如图所示,已知经过椭圆 ? ? 1 25 16

的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆 于A、B两点,F1是椭圆的左焦点, (1)求△AF1B的周长; (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周 长有变化吗?为什么? y
A

(1) |AF1|+|AB|+|BF1|=20.
x

(2)周长不变

F1

O

F2

B

例6. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程

| PF | ? | PF2 |? 10, | F1F2 |? 8 1

解:椭圆具有标准方程 因此 c ? 4, a ? 5,

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

其中

2c ? 8,2a ? 10

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 25 ? 16 ? 9

所求方程为

x2 y2 ? ?1 25 9

课堂练习

1.椭圆

x y ? ? 1 上一点P到一个焦点的 25 9

2

2

距离为5,则P点到另一个焦点的距离是 ( A )

(A)5 (B)6 (C)4 (D)12

x y 2.椭圆 ? ?1 16 7

2

2

的左、右焦点为F1,

F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则 △ABF2的周长为( B )

(A)32
(C)8

(B)16
(D)4

3.若△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0), B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的

轨迹方程为( D )
y x x y (A) ? ? 1 (B) ? ? 1( y ? 0) 25 9 25 9 2 2 2 x2 y x y (C) ? ? 1 (D) ? ? 1( y ? 0) 25 9 16 9
2 2

2

2

小结:
求椭圆标准方程的方法 一种方法:

x2 y2 y2 x2 二类方程: 2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? a b a b

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

作业: 活页P72


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