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2004-2005上期高二数学同步单元测试(三)--直线和圆的方程单元测试(1)


2004-2005 上期高二数学同步单元测试(三) —直线和圆的方程(1)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

x y + =1 的倾斜角是( 3 4 4 4 A)arctg B) π + arctg 3 3
1、 .直线 A

) C) π -arctg

4 3

D) π -arctg()

4 ) 3

2、若 A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值是(

1 2

B

3 2

C

1

D

-1 )

3、已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A 4 B

2 13 13

C

5 13 26

D

7 13 26

4、如果 l1,l2 的斜率分别是二次方程 x2-4x+1=0 的两根,则 l1,l2 的夹角是( ) A

? 6

B

? 4

C

? 3

D

? 8

5、直线 l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0(ab≠0,a≠b),下列图形中正确的是

(

)

6、在△ABC 中,三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C,且 lgsinA、lgsinB、lgsinC 成等差 数列,则直线 xsin2A+ysinA-a=0 与 xsin2B+ysinC-c=0 的位置关系是( ) (A)重合 (B)平行 (C)垂直 (D)相交但不垂直 7、已知三条直线为 l1: x-2y+4a=0, l2: x-y-6a=0, l3: 2x-y-4a=0 (a ? 0) , 则下 列结论中正确的一个是 ( ) 0 (A) 三条直线的倾斜角之和为 90 . (B) 三条直线在 y 轴上的截距 b1, b2,b3 满足 b1+b3=2b2. (C) 三条直线的倾斜角α 1,α 2,α 3 满足α 1+α 3=2α 2. (D) 三条直线在 x 轴上截距之和为 12|a|. 8、 设点 A(2,-3), B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围 是 ( )

(A) k ?

3 或k ? ?4 4

(B) k ?

3 1 或k ? ? 4 4

(C) ? 4 ? k ?

3 4

(D)

3 ?k?4 4
( )

9、直线 x-y= 2a 与圆 x2+y2=a2(a>0)的交点个数有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)0 个或 1 个或 2 个 10、已知集合 P ? ? x, y) | x ? y ? 1?, Q ? ( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1 ,则( ( (A) P ? Q (B)P=Q (C) P ? Q (D) P ? Q ? Q

?

?

).

11、将 直线 x ? y ? 1 绕( 1,0)点顺时 针旋 转 90°后,再向上 平 移 1 个单位与圆

x2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 相切,则 r 的值是
(A)
2 2

(
3 2 2

)

(B) 2

(C)

(D)1

12、方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的圆,则该 圆圆心在 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上 13、设直线 L 过点 A(2,4) ,它被平行线 x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 1 ? 0 所截得线段的中点 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,则 L 的方程是________________. 14、经过点 A(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______________________ 15、三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 只有两个不同的交点,则 a=____________ 16、过点 M(0,4) 、被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17、一直线被两直线 l1:4x+y+6 = 0,l2:3x-5y-6 = 0 截得的线段的中点恰好是坐标原 点,求直线的方程。 18、正方形中心为 G(-1,0) ,一边所在直线的斜率为 3,且此正方形的面积为 14.4 ,求 此正方形各边所在的直线方程。 19、设直线 3x+y+m=0 与圆 x2+y2+x-2y=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点, 若 OP ? OQ,求 m 的值。 20、已知过两定点的一个交点 O 的动直线与两圆分别交于点 A、B,求线段 AB 中点 P 的 轨迹方程。 21、过原点的两条直线把直线 2x+3y-12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分,求这二直线 的夹角。
22、已知圆 C: x ? ( y ? 5) ? 16 ,在 x 轴上取两点 M、N,使得以 MN 为直径的圆与圆
2 2

C 外切,若点 A 对所有满足条件的 M、 N,使?MAN 为定角, 试求定点 A 的坐标及?MAN 的大小。

参考答案
一、 选择题: 1、C 2、C 3、D 4、C 5、B 6、A 7、C 8、A 9、B 10、A 11、A 12、D 二、 填空题: 13、3x-y-2=0 14、x+y-1=0 15、3 或-6 16、x=0 或 15x+8y-32=0(写出一个方程给 2 分) 三、 解答题: 17、解:设线段 MN, M(x0,y0), N(-x0,-y0), M ? l1, N ? l2, ∴4x0+y0+6 = 0 (1) -3x0+5y0-6 = 0 (2), (1)-(2) 得 x0+6y0 = 0 ∴M,N 在直线 x+6y = 0 上,又过原点,即所求.
18、解:∵正方形的面积为 14.4 ∴正方形的边长为 14.4

∵正方形的一边所在直线的斜率为 3 ∴可设该边所在直线的方程为 y=3x+m 依题意得:

?3? m 9 ?1

?

14.4 2

∴m=9 或 m= -3 ∴正方形的两边所在直线的方程为:y=3x+9 和 y=3x-3 又知正方形的另两边所在直线的斜率为 ? 可设为 y= ?

1 3

1 x+n 3

即 x+3y-3n=0



? 1 ? 3n 9 ?1

?

14.4 2

∴n=

5 7 或 n= ? 3 3

∴正方形的另两边所在直线的方程为:x+3y-5=0 和 x+3y+7=0 19、 由 3x+y+m=0 得: y=-3x-m 代入圆方程得: x ? (6m ? 7) x ? m ? 2m ? 0 解: 10
2 2

设 P、Q 两点坐标为 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 x1 +x2= ?

6m ? 7 10

x1?x2=

m 2 ? 2m 10

∵OP⊥OQ



y1 y 2 ? ? ?1 x1 x 2

即 x1?x2+ y1 ?y2=0

∴ x1?x2+(-3x1-m) (-3x2-m) =0 整理得:10x1?x2+3 m (x1 +x2)+ m2=0 ∴ 10 ?

m 2 ? 2m ? 6m ? 7 ? 2 ? 3m? ? ??m ?0 10 10 ? ?

解得:m=0 或 m=

1 2

又△=(6m+7)2-40(m2+2m)= -4m2+4m+49 当 m=0 时,△>0;当 m=

1 1 时,△>0;∴m=0 或 m= 2 2
y

20、 如图,以 O 为原点,建立平面直角坐标系 因为两定圆均过原点 O,故可设其方程分别 为:x2+y2-2ax-2by=0 ① 2 2 x +y -2cx-2dy=0 ② 当动直线斜率存在时,设其方程为 y=kx ③ 将方程③分别与方程①、②联立,可得

O B

P

A x

xA ?

2(a ? bk) 1? k 2 2(c ? dk) xB ? 1? k 2
x A ? x B (a ? c) ? (b ? d )k ? 2 1? k 2

设线段 AB 的中点为 P(x,y) ,则

x?



∵点 P 在直线 y=kx 上 ∴将 k ?

y 代入④,消去 k,得: x ? x

(a ? c) ? (b ? d ) y 1 ? ( )2 x

y x

整理得:x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤ 当动直线斜率不存在时,其方程为:x=0,分别代入①、②可得 A(0,2b) ,B(0,2d) 则 AB 的中点 P 为(0,b+d),将此代入⑤式,仍成立。 ∴所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 21、解:设直线 2x+3y-12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点, 则 A(0,4) ,B(6,0) ,设分点 C,D,设 ?COD ? ? 为

所求角。

6 ? ? xc ? 1 ? 2 ? 2 BC 8 ? 2 ,∴ ? ∵ ,∴C(2, ). 0 ? 4? 2 8 CA 3 ? yc ? ? 1? 2 3 ? 0 ? 2?6 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? 4 AD 4 4 1 ? 2 ,∴ ? 又 ,∴D(4, ),∴ k OC ? , k OD ? . 4 4 DB 3 3 3 ? y0 ? ? 1? 2 3 ? 4 1 ? k OC ? k OD 3 3 ? 9 ,∴ ? ? arctg 9 . ∴ tg? ?| |? 4 1 13 13 1 ? k OC k OD 1? ? 3 3
22、设以 MN 为直径的圆的圆心 P(a,0) 半径为 r。因为动圆与定圆相切, ∴ CP ? 4 ? r ,
C y

即 a ?5 ?4?r
2 2

∴r ?

a 2 ? 52 ? 4
O

M

P

N x

∴圆 P 的方程为:

( x ? a) 2 ? y 2 ? ( a 2 ? 25 ? 4) 2
取 a=0 得: P 为 x ? y ? 1 , (-1, 圆 M
2 2

A

0) ,N(1,0) 取 a=12 得:圆 P 为 ( x ? 12) ? y ? 9 ,M(3,0) ,N(21,0)
2 2 2

因为以 MN 为直径的圆必关于 y 轴对称,所以设定点 A(0,b) 当 a=0 时,tan?MAN=

2b b2 ?1

;当 a=12 时,tan?MAN=

18b 63 ? b 2



18 b 63 ? b
2

?

2b b2 ?1

,解得 b=?3

∴tan?MAN=

3 3 ,∴?MAN=arctan .以下作一般性证明: 4 4

设圆心 P(a,0) ,半径 r ?

a 2 ? 52 ? 4 ,

M( a ? 4 ? a 2 ? 52 ,0) ,N( a ? 4 ? a 2 ? 52 ,0) 取 A(0,-3)时 MA 的斜率 k1=tan ? ?

3 a ? 4 ? a 2 ? 25 3 a ? 4 ? a 2 ? 25

NA 的斜率 k2=tan ? ?

∴tan?MAN=tan (? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 3 ? , 1 ? tan? ? tan ? 4
3 。 4

当 A(0,3)时同理可得,故定点 A 坐标为(0,? 3) ,定角?MAN=arctan


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