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wode1.2.2导数运算法则及复合函数导数


1.2.2
导数的运算法则及复合函数的导数

基本初等函数的导数公式

公式一: C ? = 0 (C为常数) 公式二: ( x? )? ? ? x? ?1
公式三: (sin x)? ? cos x 公式四: 公式五:

(cos x)? ? ? sin x

(a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
x x

x 公式六: ?? (e )

e

x

1 公式七: (log x)? ? (a ? 0, a ? 1). a x ln a
公式八: (ln x )? ? 1

x

1、导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:

? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? ? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
特别地 ?C ? g ( x)?? ? Cf ?( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

例1.求函数y=x3-2x+3的导数.

练1:求下列函数的导数:

1 2 (1) y ? ? 2 ; x x x (2) y ? ; 2 1? x (3) y ? tan x; (4) y ? (2 x ? 3)(1 ? x )
2 2

1 4 (1) y? ? ? 2 ? 3 ; x x
1? x ( 2) y ? ? ; 2 2 (1 ? x )
2

1 ( 3) y ? ? ; 2 cos x

(4) y? ? 8x ? 2 x;
3

2、复合函数的导数

1)一般地,对于两个函数y=f (u )和u =g ( x),如果通 过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数 为函数y=f (u )和u =g ( x)的复合函数,记作 y=f ( g ( x))

2)复合函数 y=f ( g ( x))的导数

yx ? yu ux
' ' '

例2、指出下列函数由哪些函数复合而来, 并求下列函数的导数 1 )y ? (2 x ? 3) 2) y ? e ?0.05 x ?1 3) y ? sin(? x ? ? )(其中? ,?为常数)
2

练习2、说明下列函数是怎样复合而成的,并求下列函数的导数:

(1) y ? (2 x ? 3) ; (2) y ? ln(5 x ? 1) 1 (3) y ? ; (4) y ? cos( 1 ? 2 x) 3x ? 1
3

1、导数的运算法则:

? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) ? g ?( x) ? ? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 特别地 ?C ? g ( x)?? ? Cf ?( x)
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

2、复合函数的导数y x ? y u u x
' ' '

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1 4 t 4

例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

作业:
? 作业: P93 2、3、4、5


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