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一维抛物线偏微分方程数值解法(2)


一维抛物线偏微分方程数值解法(2) 上一篇文章请参看 一维抛物线偏微分方程数值解法(1) 解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠:偏微分方程数值解法) Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1(Ut-aUxx=f(x,t),a>0) U(x,0)=e^x, 0<=x<=1, U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0<t<=1 精确解为:U(x,t)=e^(x+t); Matlab 程序: (此为向后差分法) function [u p e x t]=pwxywxh(h1,h2,m,n) %欧拉向后差分法解一维抛物线型偏微分方程 %此程序用的是追赶法解线性方程组 %h1为空间步长,h2为时间步长 %m,n分别为空间,时间网格数 %p为精确解,u为数值解,e为误差 x=(0:m)*h1+0; t=(0:n)*h2+0; for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; end end for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i)); u(i,m+1)=exp(1+t(i)); end for(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i)); end r=h2/(h1*h1); for(i=2:n+1) %外循环,先固定每一时间层,每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=1+2*r;c(1)=-r;d(1)=u(i-1,2)+h2*f(i,2)+r*u(i,1); for(k=2:m-2) a(k)=-r;b(k)=1+2*r;c(k)=-r;d(k)=u(i-1,k+1)+h2*f(i,k+1); %输入部分系数矩阵,为0的矩阵元素不输入% end a(m-1)=-r;b(m-1)=1+2*r;d(m-1)=u(i-1,m)+h2*f(i,m)+r*u(i,m+1); for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k); end u(i,m)=d(m-1)/b(m-1); for(k=m-2:-1:1) %回代过程%

u(i,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i,k+2))/b(k); end end for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差 end end

[u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.005,10,200); surf(x,t,e); xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e'); >> title('误差曲面');

plot(t,e)

误差较之前的欧拉向前差分格式 增长了两倍

[u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.05,10,20); plot(t,e)

[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.05,100,20); plot(t,e)

[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.01,100,100);plot(t,e)

[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(x,e)

[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(t,e)

[u p e x t]=pwxywxh(0.005,0.005,200,200); plot(x,e)

X=1 时, 出现了误差??? 不是边界条件吗?不能理解 呀 不过可以随便改变时间、空间步长

这方法还是比前一种方法误差大


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