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2004-2005上期高二数学同步单元测试(四)--直线和圆的方程单元测试(2)


2004-2005 上期高二数学同步单元测试(四) —直线和圆单元测试题(2)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.方程 x( x 2 ? y 2 ? 4) ? 0与x 2 ? ( x 2 ? y 2 ? 4) 2 ? 0表示的曲线是( A.都表示一条直线和一个圆 B.都表示两个点

C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点 D.前者是两个点,后者是一直线和一个圆 2.直线 x cos ? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是( A. [ , ) ? ( , ? ] ) )

? ?

? 5
2 6

6 2 5 C. [0, ? ] 6

? 5 B. [0, ] ? [ ? , ? ) 6 6
D. [ , ? ]

? 5
6 6

?x ? 2 3.若 ? y ? 2 , 则x ? 2 y 的取值范围是( ? ?x ? y ? 2 ?
A.[2,6] B.[2,5] C.[3,6]



D.[3,5] )

4.过点 P(6,-2)且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线的方程是( A. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 5.把直线 y ? B. 2x ? 3 y ? 6 ? 0或3x ? 4 y ? 12 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0或2 x ? 3 y ? 6 ? 0

3 2 2 x 绕原点按逆时针方向旋转,使它与圆 x ? y ? 2 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 相 3 切,则直线旋转的最小正角是( )
A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6

6.设 A、B 两点的坐标分别为 A(? 2 ,0) 、 B ( 2 ,0) ,条件甲:A、B、C 三点构成以 C 为直角顶点的三角形; 条件乙: C 的坐标是方程 x 2 ? y 2 ? 2 的解.则甲是乙的 点 ( )
1

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 )

7.到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点,是这个三角形的( A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心

8.点 P 在直线 2 x ? y ? 10 ? 0 上,PA、PB 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相切于 A、B 两点,则四 边形 PAOB 面积的最小值为( A.24 B.16 C.8 ) D.4

9. 已知直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0, l2 : x ? y ? 0, l1与l2 相交于点 P, 直线 l3 过点 P, l3到l2 当 的角等于 l2到l1 的角时,直线 l 3 的方程为 A. Bx ? Ay ? C ? 0 C. Bx ? Ay ? C ? 0 ( )

B. Ax ? By ? C ? 0 D. Bx ? Ay ? C ? 0

10.设 P ( x, y ) 是曲线 C: ? 的取值范围是( A. [? 3 , 3 ] )

? x ? ?2 ? cos? y (? 为参数, 0 ? ? ? 2? )上任意一点,则 x ? y ? sin ?

B. (?? ,? 3 ] ? [ 3 ,?? ) D. (?? ,?

C. [?

3 3 , ] 3 3

3 3 ] ? [ ,?? ) 3 3

11.已知点 M(a,b) (ab≠0)是图 x 2 ? y 2 ? r 2 内一点,直线 g 是以 M 为中点的弦所 在直线,直线 l 的方程为 ax ? by ? r 2 ? 0 ,则( A. l // g ,且与圆相离 C. l // g ,且与圆相交 )

B. l ? g ,且与圆相切 D. l ? g ,且与圆相离

2

12.方程 4 ? x 2 ? k ( x ? 2) ? 3 有两个不等实根,则 k 的取值范围是( A. (0,



5 ) 12

B. [ , ]

1 3 3 4

C. (

5 ,??) 12

D. (

5 3 , ] 12 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.过两直线 7 x ? 5 y ? 24 ? 0与x ? y ? 0 的交点,且与点 P(5,1)的距离为 10 的 直线的方程为 . . .

14.与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 15.过点 M (?3,? ) 且被圆 x 2 ? y 2 ? 25截得弦长为 8 的直线的方程为

3 2

16. 两圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0, x 2 ? y 2 ? 2(a ?1) x ? 2 y ? a 2 ? 0 在交点处的切线互相垂直, 那么实数 a 的值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的顶点 A(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线的方 程为 3x ? 7 y ? 19 ? 0 ,AC 边上的高所在直线的方程为 6 x ? 5 y ? 15 ? 0 .求 BC 边所 在直线的方程. 18. (本小题满分 12 分)求与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 外切且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 M(3, ? 3 )的圆方程. 19. (本小题满分 12 分) 乙两地生产某种产品, 甲、 它们可调出的数量分别为 300t 和 750t, A、B、C 三地需要该种产品的数量分别为 200t、450t 和 400t.甲地运往 A、B、C 三 地的运费分别为 6 元/t、3 元/t、5 元/t;乙地运往 A、B、C 三地的运费分别为 5 元/t、 9 元/t、6 元/t.问怎样的调运方案,才能使总运费最省? 20. (本小题满分 12 分)给出定点 A(3,0) 、B(0,3)和抛物线 y ? ?x 2 ? mx ? 1, 求实数 m 的取值范围,使抛物线与线段 AB 恰有一个公共点. 21. (本小题满分 13 分)有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民
3

从两地之一购得商品后回运的运费是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已 知 A、B 两地相距 10km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价 格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲 线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 22. (本小题满分 13 分) 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 1 和抛物线 y ? x 2 ? 2 上三个不同的点 A、 B、C,如果直线 AB 和 AC 都与圆 O 相切,求证:直线 BC 也与圆 O 相切.

4

参考答案
一、1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.C 11.A 12.D 二、13.

3x ? y ? 4 ? 0 ;

14.

y 2 ? 6x ? 3 ;

15.

3x ? 4 y ? 15 ? 0或x ? 3 ? 0 ;

16.±2 三、17.易求得 AC 的方程为 5 x ? 6 y ? 9 ? 0 ,由 ?

?5 x ? 6 y ? 9 ? 0 解得 C 点坐标(-3,4)…5 分 ?3 x ? 7 y ? 19 ? 0

设 B( x , y ), 则? 1 1

?6 x1 ? 5 y1 ? 15 ? 0 解得 B(5,3)……10 分 由 B、C 两点坐标求得 BC 的方程 ?3x1 ? 7 y1 ? 36 ? 0

为 x ? 8 y ? 29 ? 0 ………………12 分 18. 设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0),则 (a ?1) 2 ? b2 ? r ? 1①

b? 3 ? ? 3② a ?3

| a ? 3b | ? r ③……6 分 解①②③得 a ? 4, b ? 0, r ? 2或a ? 0, b ? ?4 3 , r ? 6 . 2
故所求圆的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3 ) 2 ? 36 …………12 分 19.设由甲地调往 A、B 两地的产品数量各为 xt,yt,则甲地调往 C 地为 300

? ( x ? y )t ,所以乙地调

? x ? y ? 300 往 A、B、C 三地的产量数量分别为 (200? x)t , (450? y )t , (100? x ? y )t , 则? x ? 200 , ? ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数

z ? 6 x ? 3 y ? 5(300 ? x ? y) ? 5(200 ? x) ? 9(450 ? y) ? 6(100 ? x ? y) ? 2 x ? 5 y ? 7150 …8 分
作出可行域,平移直线 2 x ? 5 y

? 0 可知过点(0,300)时, z max?5650,所以甲地的产品全部运

往 B 地,乙地的产品运往 A、B、C 三地分别为 200t,150t,400t 时总运费最省为 5650 元…12 分 20.线段 AB 的方程为 x ? y ? 3(0 ? x ? 3) 代入抛物线方程得 x 2

? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ,问题转化为上

述方程在[0,3]内恰有一个实根,……3 分,设 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 4 , (1)若方程有两个相等实 根,则 △=0,得 m=3 或 m=-5,检验可知 m=3 满足条件; (2)在(0,3)内恰有一根,则

f (0) ? f (3) ? 0, 解得m ?

10 满足条件, 10 ; (3)考虑端点 x ? 0时f (0) ? 4 不可能有解, x ? 3时m ? 3 3
3

故所有 m 的范围是 m=3 或 m ? 10 ……………………12 分 5

21.以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,则 A(-5,0) ,B(5,0).设某 地 P 的坐标为(x,y) ,且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元/km,则 B 地运费为 a 元/km. 由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件: 价格+A 地运费≤价格+B 地运费…… 3 分, 即 3a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 , 整理得 ( x ?

25 2 15 25 以点 ) ? y 2 ? ( ) 2 . 所以, C (? ,0) 4 4 4

为圆心, 15 为半径的圆就是两地居民购货的分界线……10 分. 圆内的居民从 A 地购货费用较低,

4
圆外的居民从 B 地购货费用较低, 圆上的居民从 A、 两地购货的总费用相等, B 因此可以随意从 A、 B 两地之一购货. 22 . 设 A (a, a 2 ? 2) , B (b, b 2 ? 2) , C (c, c 2 ? 2) , 则 直 线 AB 、 AC 、 BC 的 方 程 分 别 为

(a ? b) x ? y ? ab ? 2 ? 0 (a ? c) x ? y ? ac ? 2 ? 0, (b ? c) x ? y ? bc ? 2 ? 0 ……3 分,由于
AB 是 圆 O 的 切 线 , 则

| ab ? 2 | ( a ? b) ? 1
2

2 2 2 ? 1 , 整 理 得 (a ?1)b ? 2ab ? 3 ? a ? 0 , 同 理

(a 2 ?1)c 2 ? 2ac ? 3 ? a 2 ? 0 ……6 分
∴b、c 是方程 (a 2 ? 1) x 2 ? 2ax ? 3 ? a 2 ? 0 的两根, b ? c ?

2a a 2 ? 3 ……10 分,于 , bc ? 1? a2 1? a2

是圆心 O 到直线 BC 的距离 d ?

| bc ? 2 | (b ? c) 2 ? 1

?

|

a2 ? 3 ?2| 1? a2 ? 1 ,故 BC 也与圆 O 相切……13 分 4a 2 ?1 (1 ? a 2 ) 2

6


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