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同底指数函数与对数函数的交点问题总结


同底指数函数与对数函数的交点问题总结 x x 我们熟悉的函数y=a 与 y=loga 图像的交点问题,在一些题目中经常出现, 由于教科书中并没有提到, 在日常教学中, 有的老师认为同底指数函数与对数函数的交点应 该在直线 y=x,有的老师作出草图去判断,但是找不到准确的答案。 x x 本文通过理论推到(应用到求导、极限等知识)得出了函数y=a 与 y=loga 图像交点的 情况,再运用数学软件 Mathematica、画图板绘出每种情况中实例的图形。由于推到过程较 为繁琐,而且运用到的知识超出了上海高考大纲的范畴,所以下文直接给出结论,供学生们 1/e 直接运用解题。(注:e ≈1.444 ) 第一部分:当 1<a 时,有三种情况:无交点,一个交点,两个交点,具体如下: 1/e x x (1)a>e 时,y=a 图像恒在直线 y=x 的上方,y=loga 图像恒在直线 y=x 的下方, x x 结论:y=a 与 y=loga 的图像没有交点;

a>e 时,y=a 与 y=loga 的图像没有交点 x x (2)a=e 时,y=a 图像与直线 y=x 相切,y=loga 图像恰好与直线 y=x 相切与前述 x x 切点,结论:y=a 与 y=loga 的图像只有一个交点,且在直线 y=x 上;
1/e

1/e

x

x

a=e
1/e

1/e

时,y=a 与 y=loga 的图像只有一个交点
x x

x

x

(3)1<a<e ,y=a 与 y=x 的图像有两个交点,y=loga 与 y=x 的图像恰好相交与上 x x 述两个交点,结论:y=a 与 y=loga 的图像有 2 交点,且都在直线 y=x 上;

1<a<e 时,y=a 与 y=loga 的图像有 2 个交点 x x 第二部分:当 0<a<1 时,y=a 与 y=loga 的图像至少有一个交点,且这个交点在在 直线 y=x 上;具体如下: (4)e ≤a<1 时,y=a 与 y=loga 的图像只有一个交点(注:e ≈0.066
-e x x -e

1/e

x

x

);

e <a<1 时,y=a 与 y=loga 的图像只有一个交点

-e

x

x

a=e ≈0.066 时,y=a 与 y=loga 的图像只有一个交点(1/e,1/e) -e x x (5)0<a< e 时,y=a 与 y=loga 的图像至少有三个交点,其中一个在直线 y=x 上。

-e

x

x

1/77≤a≤1/16 时,y=a 与 y=loga 的图像有三个交点

x

x


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