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等差数列的前n项和(1.2.3)课件


一.复习回顾:
等差数列的定义:

a

* ? a ? d ( n ? N ) n ?1 n

或 a n ? a n ?1 ? d ( n ? N * 且 n ? 2 )
等差数列性质: (1) 通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d (2) an ? am ? (n ? m)d (3) 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq

探究发现

泰姬陵坐落于印度古都阿 格,是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100层(见左 图),奢靡之程度,可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗?

德国古代著名数学家高斯 10 岁的时候 很快就解决了这个问题:1+2+3+…+ 100=?你知道高斯是怎样算出来的吗?

1+2+3+ …… +100 = ?
高斯的算法是: 首项与末项的和: 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101

第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是:101× =5050

S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.

高斯 Gauss.C.F (1777~1855) 德国著名数学家

问题:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如 何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解:

S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1

倒序相加

因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

a1,n,d表示Sn? 2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? Sn ? na1 ? d 2 2

两式左右分别相加,得

变式:能否用

等差数列前n项和公式
公式1 公式2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
比较两个公式的异同:

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

a1,d , n, an , Sn
知三求二

等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项 数为n,第n项为an,前n项和为Sn,请填 写下表:
a1
5
100

d
10
-2
2 0.7

n
10
50
15

an
95 2

sn
500

2550 -360
604.5

-38

-10

14.5

26

32

例1 :求和
(1) 1+3+5+ · · ·+(2n-1)

注意在运用公式时, 要看清等差数列的项数。

(2)-10,-6,-2, 2, · · · , (4n-18)

?1 ? (2n ? 1)?? n 解: (1)原式=
2

=n 2

· ·+(4n-14) (2)原式= -10-6-2 + 2 + ·

(?10 ? 4n ? 18 ) ? (n ? 1) ? 2

? 2n

2

? 16n ? 14

例2:(1)在三位正整数集合中有多少个数是5的倍数? 求它们的和。 (2)在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2? 这些数的和是多少?

例3:已知等差数列 ?an ? 前10项的和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?
2 4 例4:已知等差数列5,4 ,3 , ? 前n项和为S n , 7 7 求使得S n 最大的序号n的值。

等差数列前n项求和(二)

等差数列前n项和公式
公式1 公式2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2 a1,d , n, an , Sn
知三求二

2 4 例4:已知等差数列5,4 ,3 , ? 前n项和为S n , 7 7 求使得S n 最大的序号n的值。

(3)数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,又S 9 =S 17, 问数列的前几项和最大?
(4)已知等差数列 ?an ? ,3a5 =8a12 ,a1 <0, 设前n项和为S n,求S n 取最小值时n的值。

(1)已知等差数列?an ? 的 an =24-3n, 则前多少项和最大? (2)已知等差数列?bn ?的通项 bn =2n-17, 则前多少项和最小?

一. 等差数列 ?an ? 的首项a1 ? 0,公差d ?0时,前n项和S n 有最大值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2

2、利用an:借助通项公式an的正负情况an ? 0且an ?1 ? 0

二. 等差数列 ?an ? 的首项a1 ? 0,公差d ?0时,前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n:S n ? d n ? ( a ? 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2

2、利用an:借助通项公式an的正负情况an ? 0且an ?1 ? 0

等差数列前n项求和(三)

等差数列前n项和公式
n(a1 ? an ) Sn ? 2 d 2 d n(n ? 1) 2 ? An ? Bn S n ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2

等差数列性质 若n+m=p+q,则an ? am ? ap ? aq
等差数列中,首项与公差满足什么条件时, 前n项和取最值?
a1 ? 0,公差d ? 0时,前n项和S n 有最大值 a1 ? 0,公差d ? 0时,前n项和S n 有最小值

例5:在等差数列 ?an ? 中, (1)已知a3 ? a99 ? 200,求S 101 (2)已知a11 ? -1,求S 21 (3)已知S 5 =20,求a 2 ? a3 ? a4
变式:已知等差数列 ?an ? 前n项和为S n , ?? ? ?? ? ??? 若OB=a1OA ? a 2007OC ,且A,B,C三点共线 (O为该直线外一点),求S 2007

变式:若一个等差数列前3项和为34,最后三 项和为146,且所有项的和为390,求这个数 列共有多少项?

已知两个等差数列{an},{bn},它们的前n 项和分别是Sn,Tn, Sn a9 2n ? 3 若 ? ,求 . Tn 3n ? 1 b9

a11 S 21 3 若 ? ,求 b11 4 T21

例6:已知数列 ?an ? 是等差数列,s n 是其前n项的和。 求证:s 6 ,(s12 ? s 6 ),(s18 ? s12 ) 也成等差数列
解:设等差数列首项为a1 ,公差为d,则有 :

s 6 ? 6a1 ? 15d ,s12 ? 12a1 ? 66d ,s18 ? 18a1 ? 153d
? s12 ? s 6 ? 6a1 ? 51d ,s18 ? s12 ? 6a1 ? 87d ? (s12 ? s 6 ) ? s 6 ? 36d ,(s18 ? s12 ) ? (s12 ? s 6 ) ? 36d ? s 6 ,s12 ,s18也成等差数列,公差为36d
能不能把此结论推广到 一般情况:如果 ?an ?为等差数列, sk , s2k ? sk , s3k ? s2k 也成等差数列。( k ? Z )

公差为原来公差的 k 2倍

例7. 在等差数列 ?an ? 中,S n 为前n项和,公差d ? 2
解:由已知可得数列 S 4,S8 ? S 4, ?,S 20 ? S16 是等差数列,公差为 4 2 d ? 32。
所以S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129

且S 4 ? 1,求:a17 ? a18 ? a19 ? a20的值.

因为a17 ? a18 ? ? ? a20 ? S 20 ? S16 , 则 a17 ? a18 ? ? ? a20的值为129。

变式:在等差数列 ?an ? 中,S n 为前n项和,S 10 ? 20 ,S 20 ? 100,求S 30的值.
返回

例8:已知数列 ?an ? 的前n项和为S n ? n 2 ?

1 2

n ,求这个数列的通项

公式,并判断这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与 公差各是多少?
解:根据S

n

? a ? a

1

?a ?a

2

???a ???a

n ?1

?a

n

S

n ?1

1

2

n ?1

(n ? 2)

得an ? S ? (n 2 ?

n n

?S

n ?1 n ?1
2 ]

2 1 ? 2n ? (n ? 2) 2

) ? [(n ? 1)2 ?

3 满足a ? 2n ? 1 n 当n ? 1时,a1 ? S 1 ? 2 2

所以数列?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 1 2

数列前 n项和与通项公式的关系 : ?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n?1)

已知数列 ?an ? 的前n项的和为:S n ? 求数列通项公式。
解:根据S

1 4

n ?
2

2 3

n ? 3,

n
1 4

?

1 4

n2 ?

2 3

n ?3

S

n ?1

?

2 (n ? 1)2 ? 3 (n ? 1) ? 3 (n ?1)

当n ?1时,an ? S n ? S n ?1 ?

n 2

5 ? 12

?

6n ?5 12

47 2 6n ?5 不满足 a ? 当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 ? ? 3 ? n 4 3 12 12

? (n ? 1) 所以数列?an ? 的通项公式为:an ? ? 6 n ?5 (n?1) ? 12
47 12

练习:已知数列 ?an ? 的前n 项和 n 为 sn ? 3 ? b , 求这个数列的通项公 式.

1 1.等差数列 ?an ? ,d ? ,S 100 =45,求a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 2 2. 等差数列 ?an ? 共有2n ? 1项,奇数项的和为319,偶数项的和为290, 求其中间项。 2. 等差数列 ?an ? 共有2n ? 1项,奇数项的和为319,偶数项的和为290, 求项数。

(2004.全国文)等差数列 ?an ?的前 n 项 和记为 sn .已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 .

(1)求通项 an ;
(2)令 sn ? 242 ,求 n .

复习巩固 一、填空题: (1) 等差数列8,5,2,…,的第20项是 -49 ;
.(-4) = -5+(n-1) =-4n-1 (2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是aa ; nn

(3) 已知{an}为等差数列,若a1=3,d= 3 ,an=21, 则n = 13 ;

2

5 2 (4) 已知{an}为等差数列,若a10= , d= ,则 2 3 a3= ? 13 .
6

(5)在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 .

复习巩固

二、选择题: 1.已知a、b、c的倒数成等差数列,如果a、b、c 互不相等,则 a ? b 为 ( C) b?c a c a b A. a B. b C. c D. c 2.已知等差数列{an}的公差d=1,且a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么a2+a4+a6+· · · +a98的值等于 (C )
A.97 B.95 C.93 D.91

练 习一
根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:

①a1=5, an=95, n=10;
②a1=100, d=-2, n=50;
答案:①500; ②2550;

例5 集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N ?且m ? 100? 的 元素个数,并求这些元素的和。
100 2 解:由 7 n ? 100 得, n ? 7 ? 14 7

∴正整数共有14个即 M 中共有14个元素 即:7,14,21,…,98 是 a1 ? 7 项 a14 ? 98 的等差数列 为首

14 ? (7 ? 98) ? 735 ∴ Sn ? 2 答:略


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