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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学真题及答案(山东卷)


绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合要求的 (1) 已知集合 A={X|X?-4X+3<0},B={X|2<X<4},则 A B= (A) (1,3) (B) (1,4) (C) (2,3)

(D) (2,4) (2)若复数 Z 满足 (A)1-i
Z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 Z= 1? i

(B)1+i
? 3

(C)-1-i

(D)-1+i

(3)要得到函数 y=sin(4x- )的图像,只需要将函数 y=sin4x 的图像()
? 个单位 12 ? (C)向左平移 个单位 3 ? 个单位 12 ? (D)向右平移 个单位 3 (4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60o ,则 BD CD =

(A)向左平移

(B)向右平移

(A)-

(5)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 (A) (- ,4) (B) (- ,1) (C) (1,4) (D) (1,5)

3 2 a 2

(B)-

3 2 a 4

(C)

3 2 a 4

(D)

3 2 a 2

(6)已知 x,y 满足约束条件 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a= (A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3 π (7)在梯形 ABCD 中,∠ABC=2 ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A)
2π 3

(B)

4π 3

(C)

5π 3

(D)2

(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32) ,从 中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ?) ,则 P(μ -σ <ξ <μ +σ ) =68.26%,P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%.) (A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74% (9) 一条光线从点 (-2, -3) 射出, 经 y 轴反射后与圆(x + 3)2 + ( ? 2)2 = 1相切, 则反射光线所在直线的斜率为() 5 3 3 2 (A)? 3或? 5(B) ? 2或? 3

(C)? 4或? 5(D)? 3或? 4

5

4

4

3

(10)设函数 f(x)= 2 , ≥ 1 ,则满足 f(f(a))=2f(a) 的 a 的取值范围是() 2 (A)[3,1](B)[0,1] 2 (C)[3 , +∞)(D)[1, +∞) 第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)观察下列各式: C10 =40

3 ? 1 , x < 1

?? 照此规律,当 n ? N 时, C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +?+ Cn-12n-1 =
? 4

.

(12)若“ ? x ? [0, ],tanx ? m”是真命题,则 实数 m 的最小值为 ( 13)执行右边的程序框图,输出的 T 的值 为 .


(14) 已知函数 f ( x) ? a ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域 和值域都是 ??1,0? ,则 a ? b ?
x

(15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2: a 2 b2

X2=2py(p>0)交于 O,若△OAB 的垂心为 C2 的焦 点,则 C1 的离心率为 ___ 三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分) 设 f(x)= sin x cos x ? cos 2(x+ ). (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f( 求△ABC 面积的最大值。 (17)(本小题满分 12 分)
A )=0,a=1, 2

? 4

如图,在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。 (Ⅰ)求证:BC//平面 FGH; (Ⅱ) 若 CF⊥平面 ABC, AB⊥BC, CF=DE, ∠BAC= 450 ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. (18) (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3n +3. (I)求 {a n } 的通项公式;

(II)若数列 {bn } 满足 anbn = log32 ,求 {bn } 的前 n 项和Tn .

(19) (本小题满分 12 分) 若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数” (如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数” 中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位 递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整 除,但不能被 10 整除,得 ?1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . (20) (本小题满分 13 分) 平面直角坐标系中, 已知椭圆 : + 2 = 1(a > > 0)的离心率为 2 , a2 左、 右焦点分别是1 、2 .以1 为圆心以 3 为半径的圆与以2 为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设椭圆: 4 2 + 4 2 = 1, 为椭圆 上任意一点,过点的直线
= + 交椭圆 于, 两点,射线 交椭圆 于点 .
| | 2 2 2 2 3

( i )求| |的值; (ii)求△面积的最大值. (21)(本小题满分 14 分) 设函数 f (x )= In(x +1)+?(x 2 - x ) ,其中 ? ? R 。 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由;

(Ⅱ)若 ?? >0, f ( ? ) ? 0 成立,求 ? 的取值范围。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学试题参考答案

一、 选择题 (1)C (2)A (6)B (7)C 二、填空题 (11) 4 n ?1 三、解答题 (16) (12)1

(3)C (8)B

(4)D (9)D

(5)A (10)C

(13)

11 6

(14) ?

3 2

(15)

3 2

1 ? cos(2 x ? ) 1 2 解: (Ⅰ)由题意 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 1 ? sin 2 x ? 2 ? ? k?Z 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? 2 2 ? ? k?Z 可得 ? ? k? ? x ? ? k? 4 4
由 得

?

?
?
2

? 2 k? ? 2 x ?
? k? ? x ?

4

3? ? k? 4

3? ? 2 k? 2

k?Z

k?Z

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 [ ? 单调递减区间是 [

?
4

? k? ,

?
4

? k? ] ( k ? Z )

3? ? k? ] ( k ? Z ) 4 4 A 1 1 (II) f ( ) ? sin A ? ? 0 ? sin A ? 2 2 2 3 由题意 A 是锐角,所以 cos A ? 2 2 2 2 由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? k? ,

?

可得1 ? 3bc ? b2 ? c2 ? 2bc

? bc ?

1 ? 2 ? 3 ,且当 b ? c 时成立 2? 3
2? 3 4
2? 3 4

? bc sin A ?

? ?ABC 面积最大值为
(17)

(Ⅰ)证法一: 连接 DG ,CD ,设 CD ? GF ? O ,连接 OH 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , G 为 AC 的中点, 可得 DF // GC ,DF ? GC , 所以 四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点, 又 H 为 BC 的中点, 所以 OH // BD , 又 OH ? 平面 FGH BD ? 平面 FGH , 所以 BD // 平面 FGH 证法二: 在三棱台 DEF ? ABC 中, 由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH // EF , BH ? EF , 所以四边形 BHFE 为平行四边形, 可得 BE // HF , 在 ?ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点, 所以 GH // AB , 又 GH ? HF ? H ,所以平面 FGH // 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD // 平面 FGH 。 (II)解法一: 设 AB ? 2 ,则 CF ? 1 , 在三棱台 DEF ? ABC 中, G 为 AC 的中点,

z
D

F

E

G 1 由 DF ? AC ? GC , A 2 可得 四边形 DGCF 为平行四边形, B x 因此 DG // FC , 又 FC ? 平面 ABC , 所以 DG ? 平面 ABC , ? 在 ?ABC 中,由 AB ? BC , ?BAC ? 45 , G 是 AC 中点, 所以 AB ? BC ,GB ? GC , 因此 GB , GC , GD 两两垂直, 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz ,

y
C
H

所以 G(0, 0, 0),B( 2,0, 0),C(0,2 ,0), D(0, 0, 1)

2 2 , ,0),F (0,2 ,0) 2 2 2 2 故 GH ? ( , ,0), GF (0,2 ,0) , 2 2 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 FGH 的一个法向量,则
可得 H ( 由?

? ?n ? GH ? 0

? ? n ? GF ? 0 可得 平面 FGH 的一个法向量 n ? (1,?1, 2 ) ,

可得 ?

? x? y ?0 ? 2y ? z ? 0

( 2, 0,0) 因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量, GB ?

GB ? n 2 1 ? ? | GB | ? | n | 2 2 2 ? 所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60
所以 cos GB, n ? 解法二: 作 HM ? AC 与点 M ,作 MN ? GF 与点 N ,连接 NH 由 FC ? 平面 ABC ,得 HM ? FC , 又 FC ? AC ? C , 所以 HM ? 平面 ACFD , 因此 GF ? NH , A 所以 ?MNH 即为所求的角,
D F

E

N

G
B

M

C

H

1 2 在 ?BGC 中, MH // BG, MH ? BG ? , 2 2 由 ?GNM ~ ?GCF , MN GM ? 可得 , FC GF 6 从而 MN ? , 6 由 HM ? 平面 ACFD , MN ? 平面 ACFD , 得 HM ? MN , HM ? 3, 因此 tan ?MNH ? MN 所以 ?MNH ? 60 ? , 所以 平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60 ? 。

(18) 解: (I)因为 2Sn ? 3n ? 3 ,
所以 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3 , 当 n ? 1 时, 2Sn?1 ? 3n?1 ? 3 , 此时 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,即 an ? 3n?2 ,

? 3, n ? 1 an ? ? n ?2 所以 ?3 , n ? 1
(II)因为 anbn ? log3 2 ,所以 b1 ?

1 , 3

当 n ? 1 时, bn ? 3n?2 log2 3n?1 ? (n ? 1) ? 31?n , 所以 T1 ? b1 ?

1 ; 3

1 ? (1 ? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ? ? (n ? 1) ? 32?n ) , 3 0 ?1 3T ? 1 ? (1? 3 ? 2 ? 3 ? ?? (n ? 1) ? 33?n ) 所以 n Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
两式相减,得

2 ? (30 ? 3?1 ? 3?2 ? ? ? 32?n ) 3 2 1 ? 32?n ? ? ? (n ? 1) ? 32?n ?2 3 1? 3 13 6n ? 3 ? ? , 6 2 ? 3n 13 6n ? 3 ? 所以 Tn ? 12 4 ? 3n 经检验, n ? 1 也适合, 13 6n ? 3 ? 综上可得 Tn ? 12 4 ? 3n 2Tn ?
(19) 解: (I)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345; 3 (II)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C9 ? 84 , 随机变量 X 是取值为:0,-1,1,因此
3 C8 2 P( X ? 0) ? 3 ? , C9 3 2 C4 1 P( X ? ?1) ? 3 ? C9 14 1 2 11 , P( X ? 1) ? 1 ? ? ? 14 3 42 所以 X 的分布列为

X P
则 EX ? 0 ?

0

-1

1

2 3

1 14

11 42

2 1 11 4 ? ( ?1) ? 1 ? ? 3 14 42 21

(20)

解: (I)由题意知 2a ? 4 ,则 a ? 2 ,

c 3 2 ? , a ? c 2 ? b2 , a 2 b ? 1 可得


x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 ? ?1 (II)由(I)知椭圆 E 的方程为 16 4 | OQ | ? ? ,由题意知 Q(??x0 ,??y0 ) , (i)设 P ( x0 , y0 ), | OP |
所以椭圆 C 的方程为

x 2 因为 0 ? y0 ? 1 4 2 ( ??x0 )2 ( ??y0 )2 ? x0 2 ? ? 1, 即 ( ? y0 ) ?1 又 16 4 4 4 | OQ | ?2 所以 ? ? 2 ,即 | OP | (ii)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,
可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 16 ? 0 ,
2 2 2
2 2 由 ? ? 0 ,可得 m ? 4 ? 16k

2

则有 x1 ? x2 ? ? 所以 | x1 ? x2 |?

8km 4m 2 ? 16 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4 16k 2 ? 4 ? m2 1 ? 4k 2 因为 直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) , 1 所以 ?OAB 的面积 S ? | m || x1 ? x2 | 2

2 16k 2 ? 4 ? m2 | m | 1 ? 4k 2 2 (16k 2 ? 4 ? m2 )m2 ? 1 ? 4k 2 m2 m2 ? 2 (4 ? ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?
m2 ?t 1 ? 4k 2 将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程,
令 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

由 ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 4k 由① ② 可知 0 ? t ? 1 ,
2

2

2 因此 S ? 2 ( 4 ? t )t ? 2 ? t ? 4t ,

故 S ?2 3,
2 2 当且仅当 t ? 1 时,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 2 3 , 由(i)知, ?ABQ 面积为 3S ,

所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .

(21)
解: (Ⅰ)由题意知 函数 f ( x ) 的定义域为 (1,??) ,

1 2ax2 ? ax ? a ? 1 ? a (2 x ? 1) ? , x ?1 x ?1 令 g ( x) ? 2ax2 ? ax ? a ? 1, x ? (?1,??) , (1)当 a ? 0 时, g ( x ) ? 1 , 此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增,无极值点; (2)当 a ? 0 时, ? ? a 2 ? 8a(1 ? a) ? a(9a ? 8) , 8 ① 当 0 ? a ? 时, ? ? 0 , g ( x ) ? 0 , 9 ? f ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 单调递增,无极值点; 8 ② 当 a ? 时, ? ? 0 , 9 设方程 2ax2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的两根为 x1, x2 ( x1 ? x2 ) , 1 因为 x1 ? x2 ? ? , 2 1 1 所以 x1 ? ? , x2 ? ? , 4 4 1 由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ,可得 ? 1 ? x1 ? ? , 4 所以 当 x ? (?1, x1 ) 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, g ( x ), ? 0, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? ( x2 ? ?) 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; f ?( x ) ?
因此 函数有两个极值点。 (3)当 a ? 0 时, ? ? 0 , 由 g ( ?1) ? 1 ? 0 ,可得 x1 ? ?1 , 当 x ? (?1, x2 ) 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x2 ? ?) 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 所以函数有一个极值点。 综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 有一个极值点; 当0 ? a ? 当a ?

8 时,函数 f ( x ) 无极值点; 9

8 时,函数 f ( x ) 有两个极值点。 9

(II)由(I)知,

8 时,函数 f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增, 9 因为 f (0) ? 0 , 所以 x ? (0,??) 时, f ( x ) ? 0 ,符合题意; 8 (2)当 ? a ? 1 时,由 g (0) ? 0 ,得 x2 ? 0 , 9 所以 函数 f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增, 又 f (0) ? 0 ,所以 x ? (0,??) 时, f ( x ) ? 0 ,符合题意;
(1)当 0 ? a ?

(3)当 a ? 1 时,由 g (0) ? 0 ,可得 x2 ? 0 , 所以 x ? (0, x2 ) 时,函数 f ( x ) 单调递减; 因为 f (0) ? 0 , (4)当 a ? 0 时,设 h( x ) ? x ? ln(x ? 1) , 因为 x ? (0,??) 时, h?( x ) ? 1 ? 所以 x ? (0, x2 ) 时, f ( x ) ? 0 ,不合题意;

所以 h( x ) 在 (0,??) 上单调递增。 因此 当 x ? (0,??) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 即 lnx ( ? 1) ? x ,

1 x ? ?0 x ?1 x ?1

可得 f ( x) ? x ? a( x2 ? x) ? ax2 ? (1 ? a) x ,

1 时, ax2 ? (1 ? a) x ? 0 , a 此时 f ( x ) ? 0 ,不合题意, 综上所述, a 的取值范围是 [0,1]
当 x ? 1?


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