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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练37 简单线性规划 文


计时双基练三十七

简单线性规划
)

A 组 基础必做 1. 已知点(-3, -1)和点(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围为( A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析 根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)&

lt;0。 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24。 答案 B 4x+5y≥8, ? ? 2.(2015·广东卷)若变量 x,y 满足约束条件?1≤x≤3, ? ?0≤y≤2, 值为( A.4 C.6 ) B. D. 23 5 31 5

则 z=3x+2y 的最小

解析 作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由 z=3x+2y 可得 y=- 3 z x+ 。 2 2

z
2

3 z 指的是直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距, x 2

3 z z 根据图形可知当直线 y=- x+ 通过点 A 时,可使 取得最小值,即 z 取得最小值。 2 2 2

? 4? 易知点 A 的坐标为?1, ?, ? 5?
4 23 所以 zmin=3×1+2× = 。 5 5 答案 B 3.(2015·泉州质检)已知 O 为坐标原点,A(1,2),点 P 的坐标(x,y)满足约束条件
1

?x+|y|≤1, ? ? ?x≥0, ?

→ → 则 z=OA·OP的最大值为(

) B.-1 D.2

A.-2 C.1 解析 如图作可行域,

z=OA·OP=x+2y,显然在 B(0,1)处取得最大值,即 zmax=2。故选 D。
答案 D





x +y ≤1, ? ? 4.(2015·福建质检)已知 x,y 满足?x+y≤1, ? ?y≥0,
A.[- 2,1] C.[- 2, 2]

2

2

则 z=x-y 的取值范围是(

)

B.[-1,1] D.[-1, 2]
2 2

x +y ≤1, ? ? 解析 因为 x, y 满足?x+y≤1, ? ?y≥0,

可行域如图所示。 目标函数 y=x-z 过点 A(1,0)

时在 y 轴的截距最小,此时 zmax=1;过点 B?- 此时 zmin=- 2。所以 z∈[- 2,1]。

? ?

2 2? , ?时,目标函数在 y 轴的截距最大, 2 2?

答案 A

x-3y+4≥0, ? ? 5.已知约束条件?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0,
得最大值,则 a 的取值范围为( 1 A.0<a< 3 )

若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取

1 B.a≥ 3

2

1 C.a> 3

1 D.0<a< 2

解析 画出可行域为△ABC 内部(包括边界),易知当 a=0 时,不符合题意;当 a>0 时, 1 z 1 1 由目标函数 z=x+ay 得 y=- x+ ,则由题意得-3=kAC<- <0,∴a> 。 a a a 3

答案 C

x+y≥0, ? ? 6.(2015·福建卷)变量 x,y 满足约束条件?x-2y+2≥0, ? ?mx-y≤0,
为 2,则实数 m 等于( A.-2 C.1 解析 画出约束条件?
?x+y≥0, ? ?x-2y+2≥0 ?

若 z=2x-y 的最大值

) B.-1 D.2 表示的可行域,

如图,作直线 2x-y=2,与直线 x-2y+2=0 交于可行域内一点 A(2,2), 由题知直线 mx-y=0 必过点 A(2,2),即 2m-2=0,得 m=1。故选 C。

答案 C

x+y-5≤0, ? ? 7.(2015·课标全国Ⅱ卷)若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0, ? ?x-2y+1≤0,
大值为________。 解析 如图所示,可行域为阴影部分。

则 z=2x+y 的最

3

由可行域可知,目标函数 z=2x+y 过点 B 取得最大值。 联立?
?x+y-5=0, ? ?x-2y+1=0, ?

解得?

?x=3, ? ?y=2, ?

则 B(3,2),故 zmax=6+2=8。

答案 8 2x+y≥4, ? ? 8.已知点 P(x,y)在不等式组?x-y≥0, ? ?x-2y≤2 范围为________。 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

所确定的平面区域内,则

y 的取值 x-1

y 表示可行域内的点与点 x-1

4 -0 3 y C(1,0)的连线的斜率。由图可知,直线 CA 的斜率为 0,直线 CB 的斜率为 =4,所以 4 x-1 -1 3 的取值范围为[0,4]。

答案 [0,4]

y≥-1, ? ? 9.变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, ? ?3x+y≤14,
数个,则实数 a 的取值集合是________。

若使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无

y≥-1, ? ? 解析 作出不等式组?x-y≥2, ? ?3x+y≤14

表示的区域如图所示。

4

由 z=ax+y 得:y=-ax+z。当-a>0 时,平行直线的倾斜角为锐角,从图 1 可看出,

a=-1 时,线段 AC 上的所有点都是最优解;当-a<0 时,平行直线的倾斜角为钝角,从图
2 可看出,当 a=3 时,线段 BC 上的所有点都是最优解。 答案 {3,-1}

x-y+5≥0, ? ? 10.(2016·合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3
问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解

表示的平面区域,并回答下列

(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集合,x+y≥0

表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合。

x-y+5≥0, ? ? 所以不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3
表示的平面区域如图所示。

结合图中可行域得

5

? ? x∈?- ,3?,
5 ? 2

?

y∈[-3,8]。
(2)由图形及不等式组知 -x≤y≤x+5, ? ? ? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个)。

x+y≥1, ? ? 11.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2。
1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围。 解 (1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0)。

1 1 平移初始直线 x-y+ =0, 2 2 过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最大值 1。 所以 z 的最大值为 1,最小值为-2。 (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图像可知-1<- <2,解得-4<a<2。 2 故所求 a 的取值范围为(-4,2)。 B 组 培优演练 1 . (2015· 云 南 省 师 范 大 学 附 属 中 学 高 三 适 应 性 考 试 ) 设 x , y 满 足 约 束 条 件

a

6

3x-y-2≤0, ? ? ?x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0, ( ) A.(0,4) C.[4,+∞) 解析

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 4,则 ab 的取值范围是

B.(0,4] D.(4,+∞)

作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,由图可知,z=ax+by(a>0,b>0)

过点 A(1,1)时取最大值,∴a+b=4,ab≤?

?a+b?2=4,∵a>0,b>0,∴ab∈(0,4],故选 B。 ? ? 2 ?

答案 B
? ?x-y-1≤0, 2.(2014·山东卷)已知 x,y 满足约束条件? ?2x-y-3≥0, ?

当目标函数 z=ax+ )

by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为(
A.5 C. 5 解析 约束条件?
? ?x-y-1≤0, ?2x-y-3≥0 ?

B.4 D.2 满足的可行域如图中的阴影部分所示。由图可知,目

标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1)。 所以 2a+b=2 5。

解法一(配方法):由 b=2 5-2a, 4 2 ? 4 5?2 2 2 2 2 2 所以 a +b =a +(2 5-2a) =5a -8 5a+20=5?a- 即当 a= 5, b= 5 ? +4, 5 5 5 ? ? 时,a +b 有最小值 4。 解法二 ( 几何法 ) : a +b 表示坐标原点与直线 2a + b = 2 5 上的点之间的距离,故
7
2 2 2 2

a2+b2的最小值为
答案 B

2 5 2 +1
2 2

=2,即 a +b 的最小值为 4。

2

2

?x+y-2 3.(2016·湖南省东部六校高三联考)已知不等式组?x≤2 2 ?y≤2 2
2 2

2≥0 表示平面区

域 Ω ,过区域 Ω 中的任意一个点 P,作圆 x +y =1 的两条切线且切点分别为 A,B,当△

PAB 的面积最小时,cos∠APB 的值为(
A. C. 7 8 3 4
2 2

) B. D. 1 2 3 2 ,cos∠APO= |PO| 1 |PO| -1 ,sin |PO|
2 2

解析 ∠ APB =
2

设点 P(x,y),|PO|= x +y ,sin∠APO=
2

2 |PO| -1 1 1 2 |PO| -1 2 2 ,故 S △ APB = |PA|·|PB|sin ∠ APB = ( ?|PO| -1) · = 2 2 |PO| 2 2 |PO|
2

( |PO| -1) · =

|PO| -1 |PO| -1 t 2 2 2 , 令 t=|PO| -1, 则( |PO| -1) · =t· , 令 f(t) 2 2 |PO| |PO| t+1

2

2

t t t?t+3? |0+0-2 2| ,则 f′(t)= =2,∴t≥3,f′(t)>0,f(t) 2 ,又 |PO|≥ 2 2 t+1 2?t+1? 1 +1
2 2

在[3,+∞)上单调递增,即|PO|= x +y 取最小值时,△PAB 的面积最小,此时 sin∠APB 2 |PO| -1 3 1 = = ,cos∠APB= 。 2 |PO| 2 2 答案 B 4.(2016·西安模拟)设函数 f(x)=x +ax+b,且方程 f(x)=0 在区间(0,1)和(1,2) 上各有一解,则 2a-b 的取值范围用区间表示为________。 解析 因为函数 f(x)=x +ax+b,且方程 f(x)=0 在区间(0,1)和(1,2)上各有一解, 则函数 f(x)=x +ax+b 在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点, 又因为 f(x)=x +ax+b 是开口向上的抛物线, 所以 f(1)<0,f(2)>0,f(0)>0, 所以 f(1)=a+b+1<0,①
2 2 2 2 2

f(2)=4+2a+b>0,② f(0)=b>0,③
画出约束条件①②③表示的可行域如图,设 2a-b=z,

8

?a+b+1=0, ? 由? ? ?4+2a+b=0,

解得 A(-3,2),z=2a-b 经过点

A 时取得最小值,最小值为-8,
由?
?a+b+1=0, ? ?b=0, ?

得 B(-1,0),z=2a-b 经过 B 点时取得最大值,最大值为-2,

所以 2a-b 的取值范围用区间表示为(-8,-2)。 答案 (-8,-2)

→ → → 5.已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1)。若平面区域 D 由所有满足 A P =λ AB+μ AC
(1≤λ ≤2,0≤μ ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________。

→ → 解析 A B =(2,1),AC=(1,2)。 → → → 设 P(x,y),由 A P =λ AB+μ AC,
? ?x-1=2λ +μ , 得? ?y+1=λ +2μ , ?

2x-y-3 ? ?λ = 3 , 故有? 2y-x+3 ?μ = 3 。 ?

又 λ ∈[1,2],μ ∈[0,1], 2x-y-3 1≤ ≤2, ? ? 3 故有? 2y-x+3 0≤ ≤1, ? ? 3

?3≤2x-y-3≤6, ? 即? ?0≤2y-x+3≤3。 ?

则平面区域 D 如图中阴影部分所示。

9

由图可知平面区域 D 为平行四边形,可求出 M(4,2),N(6,3),故|MN|= 5。又 x-2y =0 与 x-2y-3=0 之间的距离为 d= 答案 3 3 5 = 3 5 3 5 ,故平面区域 D 的面积为 S= 5× =3。 5 5

10


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