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2012


2012-2013 学年洛阳市九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 2 1. (3 分) (2010?西藏)方程 x =4x 的解是( A.x=4 B.x=2 2. (3 分)下列图形中,是中心对称图形的是( A. B. ) C.x=4 或 x=0 ) C. D. D.x=0

3. (3 分) (2006?攀枝花)下

列计算中,正确的是( A. B.

) C.

D.

4. (3 分)下列说法正确的是( ) A.掷两枚硬币,一枚正面朝上,一枚反面超上是不可能事件 B. 随意地翻到一本书的某页,这页的页码为奇数是随机事件 C. 经过某市一装有交通信号灯的路口,遇到红灯是必然事件 D. 某一抽奖活动中奖的概率为 买 100 张奖券一定会中奖

5. (3 分)若方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根,则 k=( ) A.﹣6 B.6 C.±6
2

2

D.±9 )

6. (3 分)如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点(﹣1,0) ,对称轴为 x=1,则下列结论中正确的是(

A.a>0 B. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 C. c<0 2 D.x=3 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的一个根 7. (3 分) (2012?辽阳)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.把△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 后得到△ AB'C',若 AB=4,则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是( )

A.

π

B.

π

C.2π

D.4π

8. (3 分) (2013?沁阳市一模)如图,将半径为 8 的⊙O 沿 AB 折叠,弧 AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D,则折痕 AB 长为( )

A .2

B.4

C .8

D.10

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9. (3 分) (2005?海南)计算:
2

= _________ . ,则 3(x1+x2)﹣x1x2= _________ .

10. (3 分)已知方程 2x +x﹣3=0 的两根为

11. (3 分)等腰三角形的底和腰是方程 x ﹣7x+10=0 的两根,则这个三角形的周长是 _________ . 12. (3 分)二次函数 y=x +bx+5 配方后为 y=(x﹣2) +k,则 k= _________ . 13. (3 分) (2012?河北)在 1×2 的正方形网格格点上放三枚棋子,按图所示的位置已放置了两枚棋子,若第三枚棋 子随机放在其它格点上,则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是 _________ .
2 2

2

14. (3 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,AD=DC,∠ADB=20°,则∠DBC= _________

度.

15. (3 分) (2010?宁波)如图,已知⊙P 的半径为 2,圆心 P 在抛物线 y= 圆心 P 的坐标为 _________ .

﹣1 上运动,当⊙P 与 x 轴相切时,

三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分)

16. (8 分)计算:3

+(﹣1)

2011



17. (8 分)据某市车管部门统计,2009 年底全市汽车拥有量为 150 万辆,而截至到 2011 年底,该市的汽车拥有量 已达 216 万辆,假定汽车拥有量年平均增长率保持不变,求该市汽车拥有量年平均增长率. 18. (9 分)如图,已知等边△ ABC,以边 BC 为直径的半圆与边 AB、AC 分别交于点 D、E,过点 D 作 DF⊥AC 于 F.试判断 DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论.

19. (10 分)已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)分别写出图中点 A 和点 C 的坐标; (2)画出△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°后的△ AB′C′; (3)在(2)的条件下,求点 C 旋转到点 C′所经过的路线长(结果保留 π) .

20. (9 分)如图所示,AB 是⊙O 的直径,∠B=30°,弦 BC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于 D,连 AD. (1)求直径 AB 的长; (2)求阴影部分的面积(结果保留 π) .

21. (10 分)某商店经营一种文化衫,已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现:销售单价是 30 元时,月销售量 是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量就减少 10 件,但每件文化衫售价不能高于 40 元.设每件文化衫的销 售单价上涨了 x 元时(x 为正整数) ,月销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围.

(2)每件文化衫的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少? 22. (10 分) 如图, 有一个可以自由转动的转盘被平均分成四个扇形, 四个扇形内部分别标有数字 1、 ﹣2、 3、 ﹣6. 转 动转盘后任其自由停止(当指针指在边界线时视为无效,重转) . (1)若将转盘转动一次,求停止后指针所指扇形内的数字是负数的概率. (2)若将转盘转动两次,每一次停止转动后,第一次指针指向数字记为 m,第二次指向的数字记为 n,从而确定一 个点的坐标为 A(m,n) .请用列表或者画树形图的方法求出所有可能得到的点 A 的坐标.并求出点 A 在双曲线 y= 上的概率.

23. (11 分)已知抛物线 y=﹣x +bx+c 的图象经过点 A(1,0)和 B(0,5) . (1)求这个抛物线的解析式. (2)设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C.抛物线的顶点为 D,是求出点 C、D 的坐标和△ BCD 的面积. (3)点 P 是线段 OC 上一点,过点 P 作 PH⊥x 轴,与抛物线交于 H 点.是否存在点 P,使得线段 BC 把△ PCH 分 成面积相等的两部分?若存在,请求出点 P 的坐标.若不存在,请说明理由.

2

2012-2013 学年洛阳市九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. (3 分) (2010?西藏)方程 x =4x 的解是( A.x=4 B.x=2 考点: 专题: 分析: 解答: 解一元二次方程-因式分解法. 计算题.
2 2

) C.x=4 或 x=0 D.x=0

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本题可先进行移项得到:x ﹣4x=0,然后提取出公因式 x,两式相乘为 0,则这两个单项式必有一项为 0. 2 解:原方程可化为:x ﹣4x=0,提取公因式:x(x﹣4)=0, ∴x=0 或 x=4.故选 C. 点评: 本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法. 2. (3 分)下列图形中,是中心对称图形的是( A. B. ) C. D.

考点: 中心对称图形. 分析: 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、是中心对称图形,故本选项正确; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误. 故选 B. 点评: 本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.
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3. (3 分) (2006?攀枝花)下列计算中,正确的是( A. B.

) C.

D.

考点: 二次根式的混合运算. 分析: 根据二次根式的运算法则分析各个选项. 解答: 解:A、二次根式的加法,实质上是合并同类二次根式,不是同类二次根式,不能合并,错误; B、二次根式相除,等于被开方数相除,正确; C、根号外的也要相乘,等于 9 ,错误;
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D、根据

=|a|,等于 3,错误.

故选 B. 点评: 既要熟悉二次根式的加减乘除运算法则,还要熟悉二次根式化简的一些性质. 4. (3 分)下列说法正确的是( ) A.掷两枚硬币,一枚正面朝上,一枚反面超上是不可能事件 B. 随意地翻到一本书的某页,这页的页码为奇数是随机事件

C. 经过某市一装有交通信号灯的路口,遇到红灯是必然事件 D. 某一抽奖活动中奖的概率为 买 100 张奖券一定会中奖

考点: 专题: 分析: 解答:

随机事件. 应用题. 根据已知及一定会发生的事件为必然事件.可能发生也可能不发生,是随机事件作出判断. 解:A、掷两枚硬币,一枚正面朝上,一枚反面超上可能发生也可能不发生,是随机事件,故本选项错误; B、随意地翻到一本书的某页,这页的页码为奇数是随机事件正确,故本选项正确; C、经过某市一装有交通信号灯的路口,遇到红灯也可能遇到绿灯,所以是随机事件,故本选项错误;
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D、某一抽奖活动中奖的概率为

买 100 张奖券一定会中奖,只是说获奖的概率是

,但买 100 张不一

定有奖,故本选项错误. 故选:B. 点评: 此题考查的知识点是随机事件,解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,理解概念 是解决基础题的主要方法. 用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件. 5. (3 分)若方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根,则 k=( ) A.﹣6 B.6 C.±6 考点: 专题: 分析: 解答:
2

D.±9

根的判别式. 计算题. 根据方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于 0,即可求出 k 的值. 2 解:∵方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根, 2 ∴k ﹣36=0, 解得:k=±6. 故选 C 点评: 此题考查了根的判别式,根的判别式大于 0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式等于 0,方程有两个 相等的实数根;根的判别式的值小于 0,方程没有实数根.
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6. (3 分)如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点(﹣1,0) ,对称轴为 x=1,则下列结论中正确的是(

2



A.a>0 B. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 C. c<0 2 D.x=3 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的一个根 考点: 二次函数图象与系数的关系;二次函数的性质;抛物线与 x 轴的交点. 专题: 综合题. 分析: 根据二次函数图象的开口方向向下可得 a 是负数,与 y 轴的交点在正半轴可得 c 是正数,根据二次函数的 增减性可得 B 选项错误,根据抛物线的对称轴结合与 x 轴的一个交点的坐标可以求出与 x 轴的另一交点坐 2 标,也就是一元二次方程 ax +bx+c=0 的根,从而得解.
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解答: 解:A、根据图象,二次函数开口方向向下,∴a<0,故本选项错误; B、当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小,故本选项错误; C、根据图象,抛物线与 y 轴的交点在正半轴,∴c>0,故本选项错误; D、∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标是(﹣1,0) ,对称轴是 x=1, 设另一交点为(x,0) , ﹣1+x=2×1, x=3, ∴另一交点坐标是(3,0) , 2 ∴x=3 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的一个根, 故本选项正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象的增减性,抛物线与 x 轴的交点问题,熟记二 次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键. 7. (3 分) (2012?辽阳)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.把△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 后得到△ AB'C',若 AB=4,则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是( )

A.

π

B.

π

C.2π

D.4π

考点: 扇形面积的计算;旋转的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据阴影部分的面积是:扇形 BAB′的面积+S△ AB′C′﹣S△ ABC﹣扇形 CAC′的面积,分别求得:扇形 BAB′的面积 S△ AB′C′,S△ ABC 以及扇形 CAC′的面积,即可求解. 解答: 解:扇形 BAB′的面积是: = ,
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在直角△ ABC 中,BC=AB?sin60°=4× S△ ABC=S△ AB′C′= AC?BC= ×2 扇形 CAC′的面积是: =

=2

,AC= AB=2, .

×2=2 ,

则阴影部分的面积是:扇形 BAB′的面积+S△ AB′C′﹣S△ ABC﹣扇形 CAC′的面积= 故选 C.



=2π.

点评: 本题考查了扇形的面积的计算,正确理解阴影部分的面积是:扇形 BAB′的面积+S△ AB′C′﹣S△ ABC﹣扇 形 CAC′的面积是关键. 8. (3 分) (2013?沁阳市一模)如图,将半径为 8 的⊙O 沿 AB 折叠,弧 AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D,则折痕 AB 长为( )

A .2

B.4

C .8

D.10

考点: 垂径定理;翻折变换(折叠问题) . 专题: 计算题. 分析: 观察图形延长 CO 交 AB 于 E 点,由 OC 与 AB 垂直,根据垂径定理得到 E 为 AB 的中点,连接 OB,构造 直角三角形 OBE,然后由 PB,OE 的长,根据勾股定理求出 AE 的长,进而得出 AB 的长. 解答: 解:延长 CO 交 AB 于 E 点,连接 OB, ∵CE⊥AB, ∴E 为 AB 的中点, 由题意可得 CD=4,OD=4,OB=8,
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DE= (8×2﹣4)= ×12=6, OE=6﹣4=2, 2 2 2 在 Rt△ OEB 中,根据勾股定理可得:OE +BE =OB , 代入可求得 BE=2 , ∴AB=4 . 故选 B.

点评: 此题考查了垂径定理,折叠的性质以及勾股定理,在遇到直径与弦垂直时,常常利用垂径定理得出直径平 分弦,进而由圆的半径,弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题,故延长 CO 并连接 OB 作出辅助线 是本题的突破点. 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9. (3 分) (2005?海南)计算: 考点: 分析: 解答: 点评: = 5 .

二次根式的加减法. 二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 解:原式=6 ﹣ =5 . 同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式. 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数,根指数与被开方数不变.
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10. (3 分)已知方程 2x +x﹣3=0 的两根为

2

,则 3(x1+x2)﹣x1x2=

0 .

考点: 根与系数的关系. 分析: 根据根与系数的关系可得出 x1+x2 及 x1x2 的值,代入即可得出答案. 解答: 解:由题意得,x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ ,
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故 3(x1+x2)﹣x1x2=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了根与系数的关系,注意掌握韦达定理的内容. 11. (3 分)等腰三角形的底和腰是方程 x ﹣7x+10=0 的两根,则这个三角形的周长是 12 . 考点: 解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质. 分析: 用因式分解法求出方程的两个根分别是 5 和 2,根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得出相应 的值,再根据三角形的周长公式进行计算即可. 解答: 解:∵x2﹣7x+10=0, ∴(x﹣5) (x﹣2)=0,
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2

∴x1=5,x2=2, ∵等腰三角形的底和腰是方程的两根, ∴当另一个边 x=2 时,不合题意舍去, ∴另一个边长为 5, ∴这个三角形的周长是 5+5+2=12; 故答案为:12. 点评: 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,解题的关键是根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三 边,得出相应的边的值,再根据周长公式进行计算. 12. (3 分)二次函数 y=x +bx+5 配方后为 y=(x﹣2) +k,则 k= 1 . 考点: 二次函数的三种形式. 2 2 分析: 可将 y=(x﹣2) +k 的右边运用完全平方公式展开,再与 y=x +bx+5 比较,即可得出 b、k 的值. 解答: 解:∵y=(x﹣2)2+k=x2﹣4x+4+k=x2﹣4x+(4+k) , 2 又∵y=x +bx+5, 2 2 ∴x ﹣4x+(4+k)=x +bx+5, ∴b=﹣4,k=1. 故答案是:1. 点评: 本题考查二次函数的三种形式,解题时,实际上是利用了两个多项式相等的条件:它们同类项的系数对应 相等.
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2

2

13. (3 分) (2012?河北)在 1×2 的正方形网格格点上放三枚棋子,按图所示的位置已放置了两枚棋子,若第三枚棋 子随机放在其它格点上,则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是 .

考点: 概率公式. 分析: 首先根据题意可得第三枚棋子有 A,B,C,D 共 4 个位置可以选择,而以这三枚棋子所在的格点为顶点的 三角形是直角三角形的位置是 B,C,D,然后利用概率公式求解即可求得答案. 解答: 解:如图,第三枚棋子有 A,B,C,D 共 4 个位置可以选择,而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形 是直角三角形的位置是 B,C,D,
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故以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是: . 故答案为: .

点评: 此题考查了概率公式与直角三角形的定义.此题难度不大,注意概率=所求情况数与总情况数之比. 14. (3 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,AD=DC,∠ADB=20°,则∠DBC= 35 度.

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 分析: 由 BC 是直径,可得∠BDC=90°,又由 AD=DC, ∠ADB=20°,可求得∠DBC=∠ACD,∠ACB=∠ADB=20°, 继而求得答案. 解答: 解:∵BC 是直径, ∴∠BDC=90°, ∵AD=DC,
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=



∴∠ACD=∠DBC, ∵∠ACB=∠ADB=20°, ∵∠DBC+∠ACB+∠ACD=90°, ∴2∠DBC+20°=90°, 解得:∠DBC=35°. 故答案为:35. 点评: 此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

15. (3 分) (2010?宁波)如图,已知⊙P 的半径为 2,圆心 P 在抛物线 y= 圆心 P 的坐标为 ( ,2) , (﹣ ,2) .

﹣1 上运动,当⊙P 与 x 轴相切时,

考点: 专题: 分析: 解答:

二次函数综合题. 压轴题;动点型. 当⊙P 与 x 轴相切时,P 点的纵坐标为 2,可将其代入抛物线的解析式中,即可求得 P 点坐标. 解:当⊙P 与 x 轴相切时,P 点纵坐标为±2;
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当 y=2 时, x ﹣1=2, 解得 x=± ;
2

2

当 y=﹣2 时, x ﹣1=﹣2, x 无解;

故 P 点坐标为( ,2)或(﹣ ,2) . 点评: 能够判断出⊙P 与 x 轴相切时 P 点的纵坐标,是解答此题的关键. 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)计算:3 +(﹣1)
2011



考点: 二次根式的混合运算;零指数幂. 专题: 计算题. 分析: 先把各二次根式化为最简二次根式,再进行计算. 解答: 0 2011 解:3( ﹣x) ﹣ +(﹣1)
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=3×1﹣(2﹣ )﹣1 =3﹣2+ ﹣1 = . 点评: 本题考查的是二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运 算. 17. (8 分)据某市车管部门统计,2009 年底全市汽车拥有量为 150 万辆,而截至到 2011 年底,该市的汽车拥有量 已达 216 万辆,假定汽车拥有量年平均增长率保持不变,求该市汽车拥有量年平均增长率. 考点: 一元二次方程的应用. 专题: 增长率问题. 分析: 假设出平均增长率为 x,可以得出 2010 年该市汽车拥有量为 150(1+x) ,2011 年为 150(1+x) (1+x)=216, 2 即 150(1+x) =216,进而求出具体的值; 解答: 解:设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x.
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根据题意,得 150(1+x) =216. 解得:x=0.2 或 x=﹣2.2(不合题意,舍去) . ∴年平均增长率为 20%. 点评: 此题主要考查了一元二次方程的应用,以及增长率问题,正确表示出每一年的拥有汽车辆数,是解决问题 的关键. 18. (9 分)如图,已知等边△ ABC,以边 BC 为直径的半圆与边 AB、AC 分别交于点 D、E,过点 D 作 DF⊥AC 于 F.试判断 DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论.

2

考点: 专题: 分析: 解答:

切线的判定. 探究型. 连接 OD,可知道△ ODB 是等边三角形,从而得到 OD∥AC,证明 OD⊥DE. 解:DF 与⊙O 的位置关系是相切.理由如下: 连接 OD,如图; ∵△ABC 是等边三角形
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∴∠A=60°,∠B=60°, ∴△OBD 是等边三角形, ∴∠BDO=∠A=60°, ∴OD∥AC; 又∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴DF 是⊙O 的切线.

点评: 掌握等边三角形的性质和圆的切线的判定方法;掌握证明直线是圆的切线问题要转化为证明两直线垂直的 问题. 19. (10 分)已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)分别写出图中点 A 和点 C 的坐标; (2)画出△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°后的△ AB′C′; (3)在(2)的条件下,求点 C 旋转到点 C′所经过的路线长(结果保留 π) .

考点: 作图-旋转变换;弧长的计算. 专题: 作图题. 分析: (1)结合直角坐标系可直接写出点 A 和点 C 的坐标. (2)根据旋转中心为点 A、旋转方向是逆时针、旋转角度为 90°可找到各点的对应点,顺次连接即可.
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(3)所经过的路线是以点 A 为圆心,以 AC 为半径的 圆. 解答: 解: (1)点 A 坐标为(1,3) ;点 C 坐标为(5,1) ; (2)

(3)所经过的路线是以点 A 为圆心,以 AC 为半径的 圆, ∴经过的路线长为: π×2× = π.

点评: 此题考查了旋转作图的知识,解答本题的关键是仔细审题得到旋转的三要素,得到各点的对应点,另外要 熟练掌握弧长的计算公式. 20. (9 分)如图所示,AB 是⊙O 的直径,∠B=30°,弦 BC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于 D,连 AD. (1)求直径 AB 的长; (2)求阴影部分的面积(结果保留 π) .

考点: 圆周角定理;角平分线的定义;三角形的面积;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;扇形面积的计算. 分析: (1)根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°,然后在直角三角形 ABC 中利用边角关系、勾股定理 来求直径 AB 的长度; (2) 连接 OD. 利用 (1) 中求得 AB=4 可以推知 OA=OD=2 ; 然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°; 最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
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阴影部分的面积=S 扇形△ AOD﹣S△ AOD. 解答: 解: (1)∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°,…(1 分) ∵∠B=30°, ∴AB=2AC,…(3 分) 2 2 2 ∵AB =AC +BC , ∴AB = AB +6 ,…(5 分) ∴AB=4 . …(6 分)
2 2 2

(2)连接 OD. ∵AB=4 ,∴OA=OD=2 ,…(8 分) ∵CD 平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴∠ACD=45°,

∴∠AOD=2∠ACD=90°,…(9 分) ∴S△ AOD= OA?OD= ?2
2

?2

=6,…(10 分) ) =3π,…(11 分) …(12 分)
2

∴S 扇形△ AOD= ?π?OD = ?π?(2

∴阴影部分的面积=S 扇形△ AOD﹣S△ AOD=3π﹣6.

点评: 本题综合考查了圆周角定理、含 30 度角的直角三角形以及扇形面积公式.解答(2)题时,采用了“数形结 合”的数学思想. 21. (10 分)某商店经营一种文化衫,已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现:销售单价是 30 元时,月销售量 是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量就减少 10 件,但每件文化衫售价不能高于 40 元.设每件文化衫的销 售单价上涨了 x 元时(x 为正整数) ,月销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. (2)每件文化衫的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少? 考点: 二次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据题意知一件文化衫的利润为(30+x﹣20)元,月销售量为(230﹣10x) ,然后根据月销售利润=一 件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式.
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(2)把 y=﹣10x +130x+2300 化成顶点式,求得当 x=6.5 时,y 有最大值,再根据 0<x≤10 且 x 为正整数, 分别计算出当 x=6 和 x=7 时 y 的值即可.
2 解答: 解: (1)依题意得 y=(30+x﹣20) (230﹣10x)=﹣10x +130x+2300; 自变量 x 的取值范围是:0<x≤10(1≤x≤10 也正确)且 x 为正整数, 2 2 (2)y=﹣10x +130x+2300=﹣10(x﹣6.5) +2722.5, ∵a=﹣10<0∴当 x=6.5 时,y 有最大值. ∵0<x≤10(1≤x≤10 也正确)且 x 为正整数 ∴当 x=6 时,30+x=36,y=2720(元) 当 x=7 时,30+x=37,y=2720(元) 所以,每件文化衫的售价定为 36 元或 37 元时,每个月可获得最大利润.最大的月利润是 2720 元. 点评: 本题主要考查了二次函数的实际应用,解题的关键是分析题意,找到关键描述语,求出函数的解析式,用 到的知识点是二次函数的性质和配方法.

2

22. (10 分) 如图, 有一个可以自由转动的转盘被平均分成四个扇形, 四个扇形内部分别标有数字 1、 ﹣2、 3、 ﹣6. 转 动转盘后任其自由停止(当指针指在边界线时视为无效,重转) . (1)若将转盘转动一次,求停止后指针所指扇形内的数字是负数的概率. (2)若将转盘转动两次,每一次停止转动后,第一次指针指向数字记为 m,第二次指向的数字记为 n,从而确定一 个点的坐标为 A(m,n) .请用列表或者画树形图的方法求出所有可能得到的点 A 的坐标.并求出点 A 在双曲线 y= 上的概率.

考点: 列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: (1)转盘中 4 个数,每转动一次就要 4 种可能,而其中是负数的有 2 种可能.然后根据概率公式直接计算 即可;
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(2)由题意可列表,从而确点 A(m,n) ,中 m 和 n 的组合,再找到满足点 A 在双曲线 y= 即可求出其概率. 解答: 解: (1)P(指针指向负数)= ;

上的数目

(2)由题意可列表得: 1 3 第一次(m) ﹣2 ﹣6 第二次(n) 1 (1,1) (﹣2,1) (3,1) (﹣6,1) ﹣2 (1,﹣2) (﹣2,﹣2) (3,﹣2) (﹣6,﹣2) 3 (1,3) (﹣2,3) (3,3) (﹣6,3) ﹣6 (1,﹣6) (﹣2,﹣6) (3,﹣6) (﹣6,﹣6) 由表可知所有可能得到的点 A 的坐标共有 16 种,且每种结果发生的可能性相同,其中在双曲线上的结果有 4种 所以,P(点 A 在双曲线上)= .…(10 分)

点评: 本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题,出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关 键;用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比. 23. (11 分)已知抛物线 y=﹣x +bx+c 的图象经过点 A(1,0)和 B(0,5) . (1)求这个抛物线的解析式. (2)设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C.抛物线的顶点为 D,是求出点 C、D 的坐标和△ BCD 的面积. (3)点 P 是线段 OC 上一点,过点 P 作 PH⊥x 轴,与抛物线交于 H 点.是否存在点 P,使得线段 BC 把△ PCH 分 成面积相等的两部分?若存在,请求出点 P 的坐标.若不存在,请说明理由.
2

考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题.

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分析: (1)将点 A、B 的坐标代入可得出 b、c 的值,继而得出这个抛物线的解析式; (2)由抛物线解析式可求出点 C、点 D 的坐标,过顶点 D 作 DE⊥x 轴交线段 BC 于 E 点,求出点 E 坐标, 然后根据 S△ BCD=S△ BDE+S△ DEC,即可得出答案. (3)若 BC 分△ PCH 为面积相等两部分,则需 PH 与线段 BC 的交点是线段 PH 的中点,设点 P(x,0) , 2 则 Q(x,x+5) ,H(x,﹣x ﹣4x+5) ,根据 HQ=QP,可得关于 x 的方程,解出即可. 解答: 2 解: (1)把(1,0) (0,5)代入 y=﹣x +bx+c 得: , 解得: ,
2

故二次函数解析式为 y=﹣x ﹣4x+5. (2)令 y=0,则 0=﹣x ﹣4x+5, 解得:x1=1,x2=﹣5, ∴C(﹣5,0) , 由 y=﹣x ﹣4x+5=﹣(x+2) +9 得顶点 D(﹣2,9) , 过顶点 D 作 DE⊥x 轴交线段 BC 于 E 点如图①, 由点 B、C 得直线 BC 解析式为 y=x+5, ∴当 x=﹣2 时,y=3, ∴E(﹣2,3) , ∴DE=6, ∴ .
2 2 2

(3)存在. 理由如下: 若 BC 分△ PCH 为面积相等两部分,则需 PH 与线段 BC 的交点是线段 PH 的中点, 若设 PH 与线段 BC 的交点为 Q,如图②, 2 设点 P(x,0) ,则 Q(x,x+5) ,H(x,﹣x ﹣4x+5) , 2 由 HQ=QP 得,﹣x ﹣4x+5﹣(x+5)=x+5, 解得:x1=﹣1,x2=﹣5(舍去) , ∴存在这样的点 P,其坐标为 P(﹣1,0) . 点评: 本题考查二次函数的综合题,涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积,每一小问的解法可能不止 一种,同学们可以自己探索,例如:本题第二小问,可以求出四边形 DCOB 的面积,然后减去△ OBC 的面 积求△ BCD 的面积.


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