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同底的指数函数与对数函数的交点问题



同底指数函数与对数函数的交点问题总结 我们熟悉的函数 y=ax 与 y=logax 图像的交点问题, 在一些题目 中经常出现,由于教科书中并没有提到,在日常教学中,有的老 师认为同底指数函数与对数函数的交点应该在直线 y=x,有的老 师作出草图去判断,但是找不到准确的答案。 本文通过理论推到(应用到求导、极限等知识)得出了函数 y=ax 与 y=logax 图像交点的情况,再运用数学软件 Mathematica、 画图板绘出每种情况中实例的图形。由于推到过程较为繁琐,而 且运用到的知识超出了上海高考大纲的范畴, 所以下文直接给出 结论,供学生们直接运用解题。(注:e1/e≈1.444 ) 第一部分:当 1<a 时,有三种情况:无交点,一个交点,两个 交点,具体如下: (1)a>e1/e 时,y=ax 图像恒在直线 y=x 的上方,y=logax 图像 恒在直线 y=x 的下方,结论:y=ax 与 y=logax 的图像没有交点;

a>e1/e 时,y=ax 与 y=logax 的图像没有交点

(2)a=e1/e 时,y=ax 图像与直线 y=x 相切,y=logax 图像恰好 与直线 y=x 相切与前述切点, 结论: y=ax 与 y=logax 的图像只有一 个交点,且在直线 y=x 上;

a=e1/e 时,y=ax 与 y=logax 的图像只有一个交点

(3)1<a<e1/e ,y=ax 与 y=x 的图像有两个交点,y=logax 与 y=x 的图像恰好相交与上述两个交点,结论:y=ax 与 y=logax 的图 像有 2 交点,且都在直线 y=x 上;

1<a<e1/e 时,y=ax 与 y=logax 的图像有 2 个交点

第二部分:当 0<a<1 时,y=ax 与 y=logax 的图像至少有一个 交点,且这个交点在在直线 y=x 上;具体如下:

(4)e-e≤a<1 时,y=ax 与 y=logax 的图像只有一个交点(注: e-e≈0.066 );

e-e<a<1 时,y=ax 与 y=logax 的图像只有一个交点

a=e-e≈0.066 时,y=ax 与 y=logax 的图像只有一个交点(1/e,1/e) (5)0<a< e-e 时,y=ax 与 y=logax 的图像至少有三个交点,其 中一个在直线 y=x 上。

1/77≤a≤1/16 时,y=ax 与 y=logax 的图像有三个交点

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