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二次函数y=a(x-h)2+k


二次函数的 图象和性质

?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象.

观察图象,回答问题
y ? 3x
2

y ? 3?x ?1?

2

?

(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图 象 与 y=3x2

的 图象有什么关系? 它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么 ?

(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值 随x值的增大而增大?x取哪些值时,函 数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少?

我思考,我进步
?在同一坐标系中作出二次函数 y=3x?,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.

?

二次函数y=3x?,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们 的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是 什么?作图看一看.

?二次函数y=3(x-1)2+2的

y ? 3x 2

图象和抛物线 y=3x?,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

y ? 3?x ?1?

2

X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.

开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.

顶点是(1,2).

?先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?

?二次函数y=3(x-1)2-2的

y ? 3x 2
y ? 3?x ?1?
2

图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

顶点是(1,-2).

X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.

?想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x? ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看.

我思考,我进步
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x? 和 2的图象 2 y=-3(x-1) 二次函数y=-3(x-1) +2与y=-3(x-1)2-2和
y=-3x?,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是 轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的 增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而减小?

?二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 ?线y=-3x?,y=-3(x-1)2有什 ?么关系? 它的开口方向,对 ?称轴和顶点坐标分别是什 ?么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

顶点分别是 (1,2)和(1,-2).

y

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3x 2
y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3?x ?1?

2

开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值=-2).

X=1

想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x?,y=-3(x+1)2

?二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y ? ?3?x ? 1? ? 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物 线y=-3x?,y=-3(x+1)2有什 2 y ? ?3?x ? 1? 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么? 2
y ? ?3?x ? 1? ? 2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..

y ? ?3x 2

x=1 开口向下, 当x=-1时y有 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值:且 (x=-1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2).

?先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

二次函数y=a(x-h)?+k与y=ax?的关系
?

?

一般地,由y=ax?的图象便可得到二次函数y=a(xh)?+k的图象:y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看 成y=ax?的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单 位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿 对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上 平移;当k<0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)?+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h ,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

直线x=h
由h和k的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

?

1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:

?

1 ?1? .y = 2 ? x + 3 ? - , 2
2

1 2 ? 2 ? .y = - ? x + 1? - 5. 3

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?
?

?

3.对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?

二次函数y=a(x-h)?+k与y=ax?的关系
?1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. ?(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在 对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称 轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而 减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax?的图象先沿 x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向 左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上 平移;当k<0时,向下平移)得到的.

1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证.
?
3 2 ?1?. y ? 2?x ? 3? ? 5; ?2?. y ? ?0.5?x ?1? ; ?3?. y ? ? 4 x ? 1; 3 2 2 2 ?4?.y ? 2?x ? 2? ? 5; ?5?. y ? 0.5?x ? 4? ? 2; ?6?. y ? ? 4 ?x ? 3? .
2 2

?

2.填写下表:
y=a(x-h)?+k

开口方向

对称轴

顶点坐标

a>0 a<0


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