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最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》教材梳理


疱丁巧解牛 知识· 巧学 一、直线与圆的位置关系的判断 方法一:代数法(或 Δ 法) 将直线的方程与圆 C 的方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. (1)当 Δ>0 时,方程有两解,此时方程组也有两组实数解,说明直线 l 与圆 C 相交; (2)当 Δ=0 时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线 l 与圆 C 相切; (3)当 Δ<0 时,方程无实数解,从而方程组也无解,说明直线 l 与圆 C 相离. 方法二:几何法 判断圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系. (1)如果 d<r,直线 l 与圆 C 相交; (2)如果 d=r,直线 l 与圆 C 相切; (3)如果 d>r,直线 l 与圆 C 相离. 方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的, 研究直线与部分圆的关系时, 除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围. 二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题 1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较 d 与 r 的大小. 2.求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:(1)从圆上的已知点为切点求切线;(2)已知切 线的斜率求切线;(3)已知圆外一点求切线.求切线的方法:(1)利用圆心到直线的距离等于圆 的半径;(2)判别式法,一般地,过圆上一点的切线只有一条,过圆外一点的切线有两条;(3) 切点坐标代换法, 即如果圆的方程为 x2+y2=r2, 则过圆上一点(x0, y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2. 3.关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理,很少利用弦长公式,因其计算较繁. 误区警示 在求与圆相切的直线方程时,首先要判断点与圆的位置关系.当点在圆上时,切线 只有一条,若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解,在设方程 时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解. 问题· 探究 问题 1 旋转滴有雨水的伞,雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出? 探究:沿着一条直线的方向飞出,此直线是以伞的边缘点为切点的切线. 问题 2 给出一个已知圆 C:(x-2)2+(y-3)2=4,直线 l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,当 m∈R 时, 你能确定这条直线与圆的位置关系吗?与参数 m 有关吗? 探究:由已知直线 l 的方程(m+2)x+(2m+1)y=7m+8 变形可得(2x+y-8)+m(x+2y-7)=0, 由直线系 方程知识可知,此直线必过两直线 2x+y-8=0 和 x+2y-7=0 的交点,解之可得交点为(3,2),即 无论 m 为何值,直线 l 恒过定点(3,2).而容易判断点(3,2)在已知圆内,所以直线与圆总相交, 与参数 m 无关. 典题· 热题 例 1 求经过点(1,-7)且与圆 x2+y2=25 相切的切线方程. 思路解析:将点(1,-7)代入圆方程,有 12+(-7)2=50>25,可知点(1,-7)是圆外一点,故所求 切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点. 解:法一:设切线的斜率为 k,由点斜式有 y+7=k(x-1), 即 y=k(x-1)-7. 将 其 代 入 圆 的 方 程 x2+y2=25 得 x2+ [ k(x-1)-7 ] 2=25 , 整 理 得 (k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0, Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)· (k2+14k+24)=0. 整理得 12k2-7k-12=0,∴k= 4 3 或 k= ? . 3 4 所以切线

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