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高中数学必修5知识点总结(精品)


必修 5 知识点总结 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的 外接圆的半径,则有 2 、 正 弦
a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C









>形









a ? 2 R sin ?


, b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

sin ? ?

a 2R



sin ? ?

b 2R



sin C ?

c 2R





a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C
a?b?c a b c ? ? ? ④ sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
的量。2、已知两角和一边,求其余的量。 )





(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无 解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结 合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况:
1

C a bsinA A D

b

当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3 、 三 角 形 面 积 公 式 :

S???C

1 1 1 ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2

2 2 2 a ? b ? c ?2 bccos ?, 4 、余弦定理:在 ??? C 中,有

b ? a ? c ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2
2 2 2 a ? c ? b b ?c ?a cos ? ? cos ? ? 5、余弦定理的推论: , 2ac 2bc
2 2 2



a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab
角)



(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求

6、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①

2 2 2 a ? b ? c 若 ,则 C ? 90
②若

; ;③若

a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90
2

a 2 ? b2 ? c2 ,则

C ? 90
A



考点一:利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角 例 1 、





中,已知 ? 3 B

0
B=45 ° , 求

,求

A,C 和 c。

考点二:利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题 考点三:三角形面积公式的应用 例 4. 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm2,周长为 20cm,求此三 角形的各边长。

考点四:利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。 例 6、在三角形 ABC 中,若 判断三角形 ABC 的形状。

b tan A ? a tan B 成立,
2 2
3

五. 【思维总结】 1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、 b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定 理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2 . 两 内 角 与 其 正 弦 值 : 在 △ ABC 中 ,

A? B?s

A i ?n s B i ,? n

3.解三角形问题可能出现解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中 大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。

【巩固作业】 (答题时间 40 分钟) 一、选择题 1、在△ABC 中,a=8,∠B=60°,∠C=75°,则 b=(



A.

4 2

B.

4 3

C.

4 6

D.

32 4


0 b ? 4 3, c ? 2 3, A ? 120 ,则 2、在△ABC 中, ∠A=120°,则 a=a (?

A, 2 21
*3 、

B, 6
在 △
4

C , 2 21或6,
ABC 中

D, 2 15 ? 6 3
, 若

A sin B sin C ? cos , 则三角形ABC是 2 (
2



A、直角三角形 B、等边三角形 C、直角或等腰三角形 D、等腰三角形

A?
**6、 在三角形 ABC 中, BC=3,
A, 4 3 sin( B ?

?

3

,
则三角形 ABC 的周长是 (
?
3 )?3 D, 6sin( B ?



?
3

) ? 3,

B, 4 3 sin( B ?
? 2

?
6

)?3

C , 6sin( B ?

?
6

)?3

**9、在三角形 ABC 中,若 AB=1,BC=2,则∠C 的范围是( A、
0 ? ?C ? ? 6



B、

0 ? ?C ?

? ? ? ?C ? C、 6 2

? ? ? ?C ? D、 3 2

二、填空题
b2 ? c 2 c2 ? a2 a 2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C b2 c2 *11、在三角形 ABC 中, a 2 =________。

**12 、 在 三 角 形
ABC
ABC

ABC

中 , ∠ A=60 ° , b=1 , S



600 , b ? 1, S

? 3, 则

a?b?c sin A ? sin B ? sin C =________.

15、在三角形 ABC 中,边 a 比边 b 长 2,边 b 比边 c 长 2,且最大角的正弦值
3 为 2 ,则三角形 ABC 的面积是________

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C 1 ? cos 2C ? 2 2 2 1 ? cos 2 B ,判断三 sin A ? sin B ? sin C *16、在三角形 ABC 中,若
角形的形状。

17、已知三角形 ABC 的周长是 2 ? 1 , 且 sin A ? sin B ? 2 sin C
5

1 sin C (1)求边 AB 的长, (2)若三角形 ABC 的面积是 6 ,求角 C 的度数。

(2009 浙江文) (本题满分 14
6

分)在 中,角
?ABC
a, b, c

A, B, C

所对的边
A 2 5 ? 2 5

分别为 , 且满足
?ABC

cos



AB ? AC ? 3



(I)求 的面积; 若 ,求 的值.
c ?1

(II)

a

7


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