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正余弦定理的应用导学案


锦州市锦州中学

高一数学◆必修 5 第 1 章◆导学案

编号:008

编写:王大鹏 申景广

2013-6-21


教学目标

题:正、余弦定理的应用

类型二 与三角形面积有关的问题 例 2. (2008·辽宁理,17)在△ABC 中,内角 A、B、 C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C=
? . 3

(1) 综合运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决与测量学、 航海问题等有关的实际问题; (2) 体会数学建摸的基本思想, 掌握求解实际问题的一般步骤; (3)能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中 的问题和物理问题;

(1)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a、b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

教学重点,难点
(1) 运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些实际问题; (2)掌握求解实际问题的一般步骤.

【预习+自测】 (1)正弦定理、三角形面积公式:

1 1 1 S ?ABC ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B 2 2 2 .
(2)正弦定理的变形: ① a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;

sin A ?


a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R ;

自主练习: 1、在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°,C 点的俯角为 70°,则∠BAC 等于 A.10° B.50° C.120° D.130° 类型三 与距离、高度等有关问题 例 3.某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向.由 A 城 出发的一条公路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得 公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城 D. ? + ? =180° 走去, 走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离 为 21 千米, 问这人还要走多少千米才能到达 A 城?

2、从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角 为 ? ,则 ?、 ? 的关系为 A. ? > ? B. ? = ? C. ? + ? =90° 【精讲+点拨】 类型一 正、余弦定理的应用 例1. 已知向量

??? ? ???? OP ? (2sin x, ?1), OQ ? (cos x,cos 2x),
??? ??? ? ? 定义函数f ( x) ? OP ? OQ
(1) 求函数 f(x)的表达式, 并指出其最大值和最小值; (2) 在锐角△ABC, f(A)=1, bc=8, 求 ?ABC 的面积。

锦州市锦州中学

高一数学◆必修 5 第 1 章◆导学案

编号:008

编写:王大鹏 申景广

2013-6-21

【巩固+提高】 第一组练习题 1. 在△ABC 中, 已知 (b ? c) : (c ? a) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 , 求 ?ABC 的最大内角____________; 2.已知 ?ABC 的两边 b, c 是方程 x 2 ? kx ? 40 ? 0 的 两个根,的面积是 10 3 cm ,周长是 20cm ,试求 A 及 k 的值;
2

4.如右图,为了测量隧道口 AB 的长 度,给定下列四组数据,测量时应 当用数据( A.α ,a,b C.a,b,γ ) B.α ,β ,a D.α ,β ,b

5.某海岛周围 38 海里有暗礁,一轮船由西向东航行, 初测此岛在北偏东 60°方向, 航行 30 海里后测得此岛 在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的 第二组练习题 1.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的 同侧,在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离 为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算 出 A,B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m B.50 ) 3 m 6.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得∠BCD=15°, ∠BDC=30°,CD=30 米,并在点 危险(填“有”或“无”).

25 2 D. m 2

C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔
高 AB=________. 2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测 得 树 尖 的 仰 角 为 30° , 45°,且 A、B 两点之间的 距离为 60 m,则树的高度为( A.(15+3 3) m C.(30+30 3) m ) 7.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由

A 处出发,沿北偏东 60°方向航行,进行海面巡逻,
当行驶半小时到达 B 处时,发现北偏西 45°方向有一 艘船 C,若 C 船位于 A 处北偏东 30°方向上,则缉私 艇 B 与船 C 的距离是( A.5( 6+ 2)km ) B.5( 6- 2)km D.10( 6- 2)km

B.(30+15 3) m D.(15+30 3) m

3.某海上有 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 角,则 B,C 两岛之间的距离是( A.10 3海里 C.5 2海里 10 6 B. 海里 3 D.5 6海里 )

C.10( 6+ 2)km


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