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第2讲 线性变换


第2讲

线性变换

内容:1. 线性变换 2. 线性变换的矩阵表示,特征值与特征向量 3. 线性变换的值域、核及不变子空间

线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象,线性 空间 V 中自身到自身的一种线性映射称为 V 的一个线性变 换,线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系.介绍 线性变换的基本概念并讨论它与矩

阵之间的联系.

§1 线性变换 1 线性变换 定义 1.1
T 是 V 到自身 V 的 设 V 是数域 P 上的线性空间,

一个映射, 即对于 V 中的任意元素 x 均存在唯一的 y ?V 与之对 应,则称 T 为 V 的一个变换或算子,记为 T ( x) ? y ,称 y 为 x 在变 换 T 下的象, x 为 y 的原象.若映射 T 还满足:
T (kx ? ly) ? kT ( x) ? lT ( y) , ?x, y ? V , k , l ? P ,

称 T 为 V 的线性变换. 例 1.1 二维实向量空间 R 2 ? ??
? ?? 1 ? ? ? i ? R, i ? 1,2? , 将其绕原 ? ? 2 ? ? ? ?

点旋转 ? 角的操作就是一个线性变换.

y

?2

?2
o

?

?1

?1 x

证明:

?? ? ?? ? x ? ? 1 ? , y ? T ( x) ? ? 1 ? , ?? 2 ? ?? 2 ?

??1 ? ?1 cos? ? ? 2 sin ? ? ??2 ? ?1 sin ? ? ? 2 cos?



??1 ? ?cos? ?? ? ? ? sin ? ? 2? ?

? sin ? ? ??1 ? 2 ?? ? ? R 。可见该操作 T cos? ? ?? 2 ?

为变换,下面

证明其为线性变换.
?x ? ?z ? ? kx ? ? lz ? ? kx ? lz1 ? ?x ? ? 1 ?, z ? ? 1 ? ? R 2 , k , l ? R , kx ? lz ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ?, x z kx lz kx ? lz 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2
?cos? ? sin ? ? ? kx1 ? lz1 ? T (kx ? ly ) ? ? ? ?? ? sin ? cos? ? ?kx2 ? lz2 ? ?cos? ? sin ? ? ? x1 ? ?cos? ? sin ? ? ? z1 ? ? k? ?? ? ? l ? ?? ? , ? sin ? cos? ? ? x2 ? ? sin ? cos? ? ? z2 ? ? kT ( x) ? lT ( z )

所以, T 是线性变换. 2 几种常用的线性变换 1)单位变换 把线性空间 V 的任一向量都变为其自身的变换称为单位 变换或恒等变换,记为 2)零变换 把线性空间 V 中的任一向量都变为零向量的变换称为零 变换,记为
T0 ,即 T0 ( x) ? 0, ?x ?V Te ,即: Te ( x) ? x , ?x ?V .



3)变换相等

如果 T1 , T2 是 V 的两个变换,?x ? V ,均有 T1( x) ? T2 ( x) ,则称 变换 T1 与 T2 相等,记为 T1 ? T2 . 4)满秩(线性)变换 若(线性)变换 T 将所有的线性无关元素组仍变换为线 性无关的元素组,则称之为满秩(线性)变换. 5 ) 变 换 的 和 T1 ? T2 , ?x ? V , (T1 ? T2 )(x) ? T1( x) ? T2 ( x) , 则
T ? T1 ? T2 .

6) 变换的数乘 kT : ?x ? V , (kT )(x) ? kT ( x) . 7) 负变换: (?T )(x) ? ?T ( x) . 8) 变换的乘积 T1T2 : ?x ? V , (T1T2 )(x) ? T1 (T2 ( x)) . 9) 逆变换 T ?1 : ?x ? V ,若存在变换 S 使得 (ST)(x) ? x ,则 称 S 为 T 的逆变换 S ? T ?1 . 10) 变换的多项式: T n ? TT ? T ,并规定 T 0 ? Te ; ?? ?
n

f (t ) ? ? ant
n?0

N

n

? f (T ) ? ? a nT
n ?0

N

n

?

f (T )(x) ? ? anT n ( x) .
n ?0

N

说明:变换的乘积不满足交换律;只有满秩变换才有逆 变换, ST ? Te . 3 线性变换的性质 1)线性变换把零元素仍变为零元素 2)负元素的象为原来元素的象的负元素 3)线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元 素组. 注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定是线性无

关的,变换后的情况与元素组和线性变换有关. §2 线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量 有限维线性空间的任一元素(向量)都可由基元素(向 量)唯一线性表示,元素(向量)可以用坐标表示出来,通 过坐标把线性变换用矩阵表示出来,从而可把比较抽象的线 性变换转化为具体的矩阵来处理. 1 线性变换的矩阵表示 设 T 是线性空间 V n 的一个线性变换,且 {x1, x2 ,?, xn} 是 V n 的 一 个 基 ,
x ? ? ? i xi ? [ x1
i ?1 n

?x ?V n

, 则 存 在 唯 一 的 坐 标 表 示

x2

??1 ? ?? ? ? x n ]? 2 ? ,有 ??? ? ? ?? n ?

T ( x) ? T (?1x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn )
??1 ? ??1 ? ?? ? ?? ? ? [T ( x1 ) T ( x2 ) ? T ( xn )]? 2 ? ? T ( x1 x 2 ? x n ) ? 2 ? , ??? ??? ? ? ? ? ?? n ? ?? n ?

要确定线性变换 T ,只需确定基元素在该变换下的象就可以 了. 定义 2.1
? a1i ? ?a ? 设 T ( xi ) ? [ x1 x2 ? xn ]? 2i ? , ?? ? ? ? ? ani ? ? a11 ?a ? x n ]? 21 ? ? ? ?a n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ? ? a2n ? ? ? [x x ? x ]A , 1 2 n ? ? ? ? ? a nn ?

T ( x1 , x 2 ,?, x n ) ? [ x1 x 2

对于任意元素 x ,在该基下,变换后 T ( x) 的坐标表示为
??1 ? ??1 ? ??1 ? ?? ? ?? ? ?? ? 2? 2? ? ? T ( x) ? [ x1 x2 ? xn ] ? ?x1 , x2 ,?, xn ?A? 2 ? , ,即 T ( x) ? T ( x1 , x2 ,?, xn ) ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?? n ? ?? n ? ?? n ? ??1 ? ?? ? 可知: ? 2 ? ? ??? ? ? ?? n ? ?? 1 ? ?? ? A? 2 ? ,即: x ? ??? ? ? ?? n ? ??1 ? ?? ? ? 2 ? , T ( x) ? ??? ? ? ?? n ? ??1 ? ?? ? A? 2 ? ,把 A 称为 T ??? ? ? ?? n ?

在基

{x1 , x2 ,?, xn }下的矩阵表示.

定理 2.1

设 {x1 , x2 ,?, xn }是 V n 的一个基, T1 、 T2 在该基下

的矩阵分别为 A 、 B .则有 (1) (T1 ? T2 )[x1 (2) (kT1 )[x1 (3) (T1T2 )[x1 (4) T ?1[ x1 推论 2.1
x2 ? xn ] ? [ x1 x2 ? xn ]( A ? B)

x2 ? xn ] ? [ x1 x2 ? xn ](kA)
x2 ? xn ] ? [ x1 x2 ? xn ]( AB)

x2 ? xn ] ? [ x1 x2 ? xn ] A ?1

设 f (t ) ? ? ai t i 为纯量 t 的 m 次多项式, T 为线
i ?0

m

性空间 V n 的一个线性变换, 且在 V n 的基 {x1 , x2 ,?, xn } 下的矩阵表 示为 A , 则 f (T )[x1
A0 ? I .

x2 ? xn ] ? [ x1 x2 ? xn ] f ( A) , 其中 f ( A) ? ? ai Ai ,
i ?0

m

推论 2.2

设线性变换 T 在 V n 的基 {x1 , x2 ,?, xn } 下的矩阵

表示为 A , 元素 x 在该基下的坐标为 (?1 , ? 2 ,?, ? n ) , 则 T ( x) 在该基

下的坐标 (?1 ,? 2 ,?,? n ) 满足 定理 2.2

??1 ? ?? ? ? 2? ? ??? ? ? ?? n ?

?? 1 ? ?? ? A? 2 ? ??? ? ? ?? n ?



设 T 在 V n 的两个基 {x1 , x2 ,?, xn } 及 {y1 , y2 ,?, yn }的 则 B ? C ?1 AC . y 2 ? y n ] ? [ x1 x2 ? x n ]C ,

矩阵分别为 A 和 B , 且 [ y1

即 A 和 B 相似,记为 A ~ B . 线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,如果两个 矩阵相似,那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基 下的矩阵. 定理 2.3
n 阶方阵 A 和 B 相似的充要条件是 A 和 B 为同

一线性变换在不同基下的矩阵表示. 2 特征值与特征向量 定义 2.2 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的线性变换.如

果对于数域 P 中某一数 ? ,存在非零向量 ? ,使得
T (? ) ? ??

.

(1)

则称 ? 为 T 的一个特征值,而 ? 称为 T 的对应于特征值 ? 的一 个特征向量. 式(1)表明,在几何上,特征向量 ? 的方位,经过线性变 换后保持不变.特征向量不是被特征值惟一确定;但是,特 征值却被特征向量惟一确定. 设 x1 , x2 ,?, xn 是线性空间 V n 的基,线性变换 T 在该基下的 矩阵表示是 A ? (aij ) .令 ?0 是 T 的特征值,属于 ?0 的特征向量

x ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? n xn

, 则 由 式 (1) 知 T ( x) 及 ?0 x 的 坐 标 分 别 是

??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2? 2? 2? ? ? ? A , ?0 ,有 A = ?0 ? 2 ? ,即 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ? ?? n ? ?? n ? ?? n ?
??1 ? ?? ? ??0 E ? A?? 2 ? ? 0 , ??? ? ? ?? n ?

(2 )

由于 x ? 0 ,因此, ?1 , ? 2 ,?, ? n 不全为零,从而就有
?0 ? a11
det ??0 E ? A? ? ? a 21 ? ? a n1 ? a12 ? ? an2 ? ? a1n ? a2n ? ?0

?0 ? a 22 ?

? ?0 ? a nn

定义 2.3 称
A

设 A ? (aij ) 是数域 P 上的 n 阶矩阵, ? 是参数, 特 征
? a12 ? ? an 2 ?


? a21 ? ? an1


? a1n



?E ? A


A







? ? a11
det ??E ? A? ?

? ? a22 ?

? a2 n ? ? (? ) ?

为矩阵

的特征多项

? ? ? ann

式.它是 P 上的一个 n 次多项式. ? ?? ? 的根( 或零点) ?0 ,即
? ?? ? ? 0 ,称为 A 的特征值(根);而相应于方程组(2)的非零

解向量 ??1 , ? 2 ,?, ? n ?T 称为 A 的属于特征值 ?0 的特征向量. 说明: 如果 ?0 是线性变换的特征值, 那么 ?0 必定是矩阵 A 的特征多项式 ? ?? ? ? det??E ? A? 的一个根; 反之, 如果 ?0 是 ? ?? ? 在 数域 P 中的一个根,即有 ???0 ? ? det??0 E ? A? ? 0 ,那么齐次线性方 程组(2)就有非零解.于是非零向量 x ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn 就满 足式(1), 从而 ?0 是 T 的特征值, 所 x 是 T 的属于 ?0 的特征向量.

以,欲求线性变换 T 的特征值和特征向量,只要求出 T 的矩 阵 A 的特征值和特征向量就行了.换言之,T 的特征值与 A 的 特征值相一致,而 T 的特征向量在 V n 的基下的坐标(列向量) 与 A 的特征向量相一致.因此,计算特征值和特征向量的步 骤如下: 第一步:取定数域 P 上的线性空间 V n 的一个基,写出线 性变换 T 在该基下的矩阵 A ; 第二步: 求出 A 的特征多项式 ? ?? ? 在数域 P 上的全部根,它们就是 T 的全部特征值;第三步: 把求得的特征值逐个代入方程组(2), 解出矩阵 A 属于每个特 征值的全部线性无关的特征向量.第四步:以 A 的属于每个 特征值的特征向量为 V n 中取定基下的坐标,即得 T 的相应特 征向量. 例 2.1 设 线 性 变 换 T 在 V 3 的 基 x1 , x2 , x3 下 的 矩 阵 是 的特征值和特征向量.

?1 2 2? ? ? A ? ? 2 1 2 ? ,求 T ?2 2 1? ? ?



容易算出 A 的特征多项式是
? ?1
?2 ?2

? ?? ? ? det ??E ? A? ? ? 2

? ?1
?2

? 2 ? ?? ? 1? ?? ? 5? . ? ?1
2

?2

因此, T 的特征值是 ?1 =一 1(二重特征值)和 ?2 =5.特征方程
??1E ? A?x ? 0 的一个基础解系为: (1,0,?1)T ,(0,1,?1)T , T 的属于 ?1 的
T 的属于 ?1 的 两个线性无关的特征向量为 y1 ? x1 ? x3 , y2 ? x2 ? x3 ,

全体特征向量为: k1 y1 ? k2 y2 ,( k1 , k 2 ? P 不同时为零);特征方程

??2 E ? A?x ? 0 的一个基础解系为 (1,1,1)T ,记 y3 ? x1 ? x2 ? x3 ,则 T 的

属于 ?2 的全体特征向量为: k3 y3 ,( k3 ? P 不等于零). 定理 2.4
?0 , T

对于线性空间 V n 的线性变换 T 的任一特征值

的属于 ?0 的全部特征向量,再添上零向量所构成的集

合 V?

0

? ?x T ( x) ? ?0 x , x ?Vn ?是 V n 的一个线性子空间.
0

事实上,设 x , y ?V? ,则有 T ( x) ? ?0 x , T ( y) ? ?0 y ;于是:
T ?x ? y ? ? T ( x) ? T ( y) ? ?0 x ? ?0 y ? ?0 ?x ? y ?, T ?kx? ? k ?Tx? ? k ??0 x? ? ?0 ?kx? ,

这就是说明 x ? y 与 kx 均属于 V? .
0

§3 线性变换的值域、核及不变子空间 1 线性变换的值域和核 定义 3.1 设数域 P 上的线性空间 V n 和 V m , T 是
V n 到V m

的一个线性映射, T 的全体像组成的集合称为 T 的值域,用
R (T ) 表示,也称为 T

的像空间,记为 TV n ,即

R?T ? ? TV n ? T (? ) ? ? V n ? V m ;

?

?

所有被 T 变成零元素(零向量)的元素(向量)构成的集合 称为 T 的核, 记为 ker(T ) 或 T ?1 (0) , 有时也称 ker(T ) 为 T 的零空间, 记为 N (T ) ,即
N ?T ? ? ker( T ) ? ? T (? ) ? 0,? ? V n ? V n .

?

?

当 T 是线性变换时,称 R(T ) 和 N (T ) 分别为线性变换 T 的值域和 核. 可以证明, R(T ) 和 N (T ) 分别是 V m 和 V n 的线性子空间. 定义 3.2 称 R(T ) 的维数 dim R(T ) 为线性变换 T 的秩, 记为

r (T ) ;称 N (T ) null(T ) .

的维数 dim N (T ) 称为线性变换 T 的零度,记为

例 3.1 解 令

?1 1 0? ? ? 设 T ( x) ? Ax , A ? ? 1 1 0 ? ,求 T ?0 0 1? ? ?

的值域和核.

A ? ?A1, A2 , A3?, x ? ( x1, x2 , x3 )T ,
T T

其中 A1 ? ?1,1,0? ; A3 ? ?0,0,1? R?T ? ? ?x1 A1 ? x2 A2 ? x3 A3? ? span? A1, A3 ? ,
Ax ? 0 的 x ? ?1,?1,0?T ? k? ,故 N (T ) ? span {?} .

. 满足

2

线性变换的不变子空间 定义 3.3 如果 T 是线性空间 V 的线性变换, V1 是 V 的子

空间,并且对于任意一个 x ?V1 ,都有 T ( x) ?V1 ,则称 V1 是 T 的不 变子空间. 定义 3.4 以 C m 表示全体 m 维复向量在复数域 C 上构成

的线性空间, A 为 m ? n 复矩阵,其列(向量)为 ?1,? 2 ,?,? n .显 然, ?i ? C m , i ? 1,2,?, n .子空间 span(?1,?2 ,?,?n ) 称为矩阵 A 的列 空间(值域),记作 R( A) ,即
R( A) ? span(?1,? 2 ,?,? n ) .



A ? (?1,?2 ,?,?n )



y ? ? y1 , y2 ,?, yn ? ? C n
T

. 则

R ( A)

可 表 成

R ( A) ? Ay y ? C n

?

?.
设 A 为 m ? n 复矩阵,称线性方程组 Ax ? 0 在复
A

显然, A 的秩等于 A 的值域的维数,即 rank( A) ? dim R( A) . 定义 3.5

数域上的解空间为
N ( A) ? {x Ax ? 0} .

的 化 零 空 间 ( 核 ) , 记 作 N ( A) , 即

显然, N ( A) 是 C n 的一个子空间,称 N ( A) 的维数为 A 的零 度,即 null( A) ? dim N ( A) . 定理 3.1 (1) dim R(T ) ? dim N (T ) ? dimV n (2) dim R( A) ? rank( A) (3) dim R( A) ? dim N ( A) ? n , n 为 A 的列数. 例 3.2 解
? 设A?? ? 1 1 2? ? ? ,求 null( A) . ?1 ? 1 3 ?

由 Ax ? 0 解得 x ? k ?? 5,1,2?T ,故 null( A) ? 1 . 设 A 为 m ? n 矩阵,则 rank( A) ? null( A) ? n .

定理 3.2 证明

因为齐次线性方程组 Ax ? 0 的解空间的维数(基础

解系包含的线性无关向量的个数)为 n ? rank( A) ,故上式成立. 下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩 阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵. 假设 S ? ??1,? 2 ,?,? k ? 是 T 的不变子空间 W 的一个基, 可以将
S 扩充为 V 的一个基 S ? ??1,?2 ,?,?k ,?k ?1,?,?n ?.T 是 V 上的一个线
~

~

性变换.对 S 中的每个基向量 ? j ,T ?? j ??W ,可以表示成 T ?? 1 ? ? a11? 1 ? ? ? a k1? k
T ?? k ? ? a1k k? 1 ? ? ? a kk? k ? ? ? T ?? k ?1 ? ? a1k ?1? 1 ? ? ? a kk ?1? k ? a k ?1k ?1? k ?1 ? ? ? a nk ?1? n T ?? n ? ? a1n? 1 ? ? ? a kn? k ? a k ?1n? k ?1 ? ? ? a nn? n ?

? a11 ? ? ? ?a 线性变换 T 在基 S 下的矩阵是 A ? ? k1 ?0 ? ? ? ? ?0
? A11 A 可以分块写成 A ? ? ? 0 ? A12 ? ?. A22 ? ?

? a1k ? ? ? a kk ? 0 ? ? ? 0

a1k ?1 ?

? ?

a kk ?1 ? a k ?1k ?1 ? ? a nk ?1 ? ?

a1n ? ? ? a kn ? ?, a k ?1n ? ? ? ? a nn ? ?

定理 3.3

如果 V1 ? V2 ? V ,并且 V1 , V2 是 T 的两个不变子

空间,即 T ?V1 ? ? V1 ,T ?V2 ? ? V2 .则线性变换 T 的矩阵为准对角形
? A11 A?? ? 0 ? 0 ? ?. A22 ? ?

特别地,若所有 Vi 都是一维子空间时,则矩阵 A 简化为 对角矩阵
? a1 ? ? A ? diag?a1 , a2 ,?, an ? ? ? ? ? ? a2 ? ? ? ?. ? ? an ? ?

定理 3.4

设 T 是线性空间 V n 的线性变换, ?1 , ?2 ,?, ?n 是 T

的全部不同的特征值 , 则 T 在某一基下的矩阵为对角矩阵的 充分必要条件是
dimV?1 ? dimV?2 ? ? ? dimV?n ? n .

可知, 线性变换 T 的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角 矩阵)与线性空间 V n 可分解为若干个不变子空间的直和是相 当的.


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