当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新) (1)


全国高中数学联赛模拟题
一 试
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an ? 2 ? an ?1 ? an , n ? 1, 2,? .则
a2011 =



2. 设 a,b,c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一

个完全平方数,
log 6 a ? log 6 b ? log 6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ?



3.一列数 a1 , a2 , a3 ,? 满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? n3 ,则
1 1 1 ? ?? ? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1


1 ,则 2

4 . 设 a ? ?1 , 变 量 x 满 足 x2 ? ax ? ? x, 且 x2 ? ax 的 最 小 值 为 ?

a ? _______.
5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1, 2,?,500? 中任取一个元素 m, 则 m 整除 n 的概率是
1 ,则 n 的最大值是 100

. .

6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为

7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一 点 S , A ?A ,C 为半圆上一个动点,N , M 分别为 A 在 SC, SB 上的射影.当 使 S B 三棱锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8 x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 , 则 AB ? .

二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分)

9.(本小题满分 16 分)设 x, y, z ? ?1,? ? ? ,证明不等式
( x 2 ? 2 x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2)( z 2 ? 2 z ? 2) ? ( xyz ) 2 ? 2 xyz ? 2 .

x2 y2 10.(本小题满分 20 分)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离 a b

心率为 2,过点 P(0 , ) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点, m
??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 .

(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由.

11. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 x1 , x2 ,?, xn ,? 是 不 同 的 正 实 数 . 证 明 :
x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有
x1 x2
2 xn x2 ? x2 ? n 12 . ? x x x2 ? x k ?1 k k ?1 2 1 n ?1





1. (本题满分 40 分)实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,不等式
2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? a( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x5 )

都成立,求 a 的最大值.

2. (本题满分 40 分)在直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别 与边 BC,CA,AB 相切与点 D,E,F,连接 AD,与内切圆相交于另一点 P,连 接 PC,PE,PF.已知 PC ? PF ,求证: PE ∥ BC .

A P F B C E

D

3. (本题满分 50 分)对正整数 n,记 f (n) 为数 3n2 ? n ? 1 的十进制表示的数

码和. (1) 求 f (n) 的最小值; (2) 是否存在一个正整数 n,使得 f (n) =100?

4. (本题满分 50 分)求满足如下条件的最小正整数 n,在圆 O 的圆周上任 取 n 个点 A1 , A2 , ?, An ,则在 Cn2 个角 ? Ai OAj (1 ? i ? j ? n) 中,至少有 2011 个不 超过 120? .

参考答案

一 试
1. 0. 因为 a1 ? 2 ,a2 ? ?1 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 1 ,a6 ? 3 ,a7 ? 2 ,a8 ? 1 ,a9 ? 1 ,
a10 ? 0 , a11 ? 1 , a12 ? 1 , a13 ? 0 ,….所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周

期地取值 1,1,0,故 a2011 =0. 2. 111. 由题意, b 2 ? ac , log 6 abc ? 6 ,所以, abc ? 66 ,故 b ? 62 ? 36 , ac ? 362 . 于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 362 的约数,故 a ? 27 .进而, c ? 48 .所以, a ? b ? c ? 111.
33 . 100 当 n ? 2 时,有

3.

a1 ? a2 ? ? ? an ? n3 , a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? (n ? 1)3 ,

两式相减,得 所以

2 an ? 3 n ? 3 n ? 1 ,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , n ? 2 ,? , 3 an ? 1 3n (n? 1 ) 3 n? 1 n 1 1 1 ? ?? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a1 0 0 1 ?



1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 . ? (1 ? )? 3 100 100 3 4. ? . 2
a a2 由 a ? ?1 及 x2 ? ax ? ? x 得:0 ? x ? ?(a ? 1) ,设 f ( x) ? x 2 ? ax ? ( x ? ) 2 ? . 2 4

a , 即 ?2 ? a ? ?1 , 则 f ( x) 在 x ? ?(a ? 1) 处 取 最 小 值 2 1 3 ,因此 a ? 1 ? ? , a ? ? . f (? a ? 1 ) ? a ? 1 2 2

若 ?(a ? 1) ? ?

若 ?(a ? 1) ? ?

a2 a a , 即 a ? ?2 , 则 f ( x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 ? ,因此 4 2 2

?

a2 1 . ? ? , a ? ? 2 (舍去) 4 2

5. 81.
? ? 由题设知,n 恰有 5 个约数.设 n 的质因数分解是 n ? p1 1 ? pk k ,则 n 的约数

个数为 (?1 ? 1)? ( k ? 1),所以 (?1 ? 1)? ( k ? 1)=5,故 n 具有 p 4 的形式,而 ? ?
34 ? 81, 54 ? 625 ? 500 ,故 n 的最大值为 81.

6. 22010. 令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为 f(x)的展开式中,x 的奇次项的系数和.故所求的答案为
3 . 3

1 (f(1)-f(-1))=22010. 2

7. arccos

易知 BC ? 面SAC ,所以 BC ? AN ,从而 AN ? 面SBC ,所以 AN ? SM ,因
1 此 SM ? 面AMN . VS ? AMN ? ? SM ? S?ANM ,由 SA ? AB ? 2 得: AM ? SM ? 2 , 3

而 AN ? NM ,?AMN 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 AN ? MN ? 1 时 取到,此时, ?BAC ? arccos 8. 2 15 . 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 y ?
y1 ? y 2?
ky 2 2 , ? 2 , 即 k y ? 8 y? 1 6 ? 0 所 以 , 8
3 . 3

8 16 8 因此 ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 4k ? 4 , k 2 ? k ? 2 ? 0 , 即 , y y1 ?2 ? , k k k

? y ? y2 ? 因直线 y ? kx ? 2 过 ? 0, ?2 ? 和 ? 2, 1 ? ,则 k ? 0 ,于是 k ? 2 ,再由 y ? 2 x ? 2 , 2 ? ?
y 2 ? 8 x ,解得 A 2 ? 3, 2 ? 2 3 , B 2 ? 3, 2 ? 2 3 ,所以 AB ? 2 15 .

?

? ?

?

9.注意到 x ? 1, y ? 1 ,所以

( x 2 ? 2 x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2) ? (( xy)2 ? 2 xy ? 2) ? (?2 y ? 2) x 2 ? (6 y ? 2 y 2 ? 4) x ? (2 y 2 ? 4 y ? 2)
2 ? ? (y ? 1 )x( ? y( ? 2 ) ? 1y 2 x ?

)

? ?2( y ? 1)( x ? 1)( x ? y ? 1) ? 0 ,

所以

( x 2 ? 2 x ? 2 ) y2 ? 2 ? 2 ? x (2 ? x2. ( y ) y ) y?

2

同理,因为 xy ? 1, z ? 1 ,所以
(( xy)2 ? 2 xy ? 2)( z 2 ? 2 z ? 2) ? ( xyz) 2 ? 2 xyz ? 2 .

10.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,双曲线方程化为
x2 y 2 ? ? 1. a 2 3a 2
? x2 y2 ? ?1 ? 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 ? y ? x?m ?

2 x2 ? 2mx ? m2 ? 3a 2 ? 0 .
y y 设 A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ?


?m 2 ? 3a 2 . 2

??? ? ??? ? m y 因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 , ? y1 ) ? 3( x2 , 2 ? m) , x1 ? ?3x2 .

结 合 x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ?

?m 2 ? 3a 2 3 1 , x2 ? ? m . 代 入 x1 x2 ? ,得 m 2 2 2

3 ?m2 ? 3a 2 ,化简得 m2 ? 6a 2 .又 ? m2 ? 4 2 ??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)
? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,

??? ??? ? ? 且 OA ? OB ? 3 .

所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2 x 2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求.

故双曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 3

(2)假设点 M 存在,设 M (t , .由(1)知,双曲线右焦点为 F (2 , .设 0) 0)
Q( x0 , 0 ) ( x0 ? 1 )为双曲线 C 右支上一点. y

当 x0 ? 2 时, tan ?QFM ? ?k Q F ? ?

y0 y , tan ?QMF ? k Q M ? 0 ,因为 x0 ? 2 x0 ? t

y0 y x0 ? t . ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t 2?
2 2 2 2 将 y0 ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2 x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2 x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 .

? 4 ? 2t ? ?2t 于是 ? ,解得 t ? ?1 . ? 4t ? t 2 ? 3 ?

当 x0 ? 2 时 , ?QFM ? 900 , 而 t ? ?1 时 , ?QMF ? 450 , 符 合
?Q F M? ? Q . F 2 M

所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 (?1, . 0)

11.必要性:若 x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列,设 xk ? ar k ?1 ,则
x1 x2
2 xn r 2( n ?1) ? ?x x r k ?1 k k ?1 n ?1

?r
k ?1

n ?1

1
2 k ?1

? 1 ? r 2 ? ? ? r 2( n ?2) ?
2 xn ? x12 = 2 . x2 ? x12

r 2( n ?1) ? 1 r 2 ?1

充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有
2 x 2 ? x 2 ? x12 x1 ? x3 ? 3 ?? 3 , ? 2 x2 ? x1 x2 x2 x3 ? x2 ? x12

2 化简得 x1 x3 ? x2 ,所以, x1 , x2 , x3 成等比数列.

假 设 x1 , x2 ,? , x ? 1成 等 比 数 列 ( n ? 4 ) 记 xk ? ar k ?1 , k ? 1, 2,?, n ? 1 , , n
xn ? aun ,则
2 2 un ? 1 1 1 1 ? un ? 1 , ? ? ? ? ? 2 n ?5 ? n ? 2 ? ? 2 r ? r r3 r r un ? r ? 1
2 2 ?un (1 ? r 2 ? r 4 ? ? ? r 2 n ?6 ) ? r n ?3un ? (r 2 ? 1) ? (un ? 1)r 2 n ? 4 , ? ?

2 un ? (r n ?1 ? r n ?3 )un ? r 2 n ?4 ? 0 ,

?u

n

? r n ?1 ?? un ? r n ?3 ? ? 0 ,

因为 un ? 0 ,所以 un ? r n ?1 ,即 xn ? ar n ?1 ,从而 x1 , x2 ,?, xn 成等比数列.由数学归 纳法知, x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列.





1. a 的最大值为

2 3 . 3

因为当 x1 ? 1, x2 ? 3, x3 ? 2, x4 ? 3, x5 ? 1 时,得 a ?
2 时,不等式恒成立.事实上 3

2 . 3

又当 a ?

2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 2 2 2 2 2 2 ? 2 x2 ? ? 2 x2 x3 ? ? x3 2 x4 ? ? x4 2? ? ? x1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? x5 ? 3? ? 3 2? ? 2 3 ? ? 3 ? ?

?

2 2 2 2 x1 x2 ? x2 x3? x3 x4 ? 3 3 3 3
2 3 . 3

x4 x5 ,

所以,a 的最大值为

2.连接 DE,DF,则△BDF 是等腰直角三角形.于是 ?FPD ? ?FDB ? 45? , 故 ?DPC ? 45? .又 ?PDC ? ?PFD ,所以△PFD ∽ △PDC,所以

PF PD . ? FD DC
EP AP AP FP ,故由①得 ? ? ? DE AE AF DF EP PD . ? DE DC



又由 ?AFP ? ?ADF , AEP ? ?ADE , 所以, △AFP ∽ △ADF, △AEP ∽ ? △ADE,于是



因为 ?EPD ? ?EDC ,结合②得,△EPD ∽ △EDC,所以,△EPD 也是 等腰三角形,于是 ?PED ? ?EPD ? ?EDC ,所以, PE ∥ BC .
A P F B C E

D

3. (1)由于 3n2 ? n ? 1 是大于 3 的奇数,故 f (n) ? 1 . 若 f (n) ? 2 ,则 3n2 ? n ? 1 只能为首位和末位为 1,其余数码为 0 的一个数, 即 3n2 ? n ? 1 = 10k ? 1 , 是大于 1 的整数. k 于是 n(3n ? 1) ? 2k ? 5k , 由于 ? n, 3n ? 1? ? 1 ,
?n ? 2k , ? 所以 ? 于是 3n ? 1 ? 4n ? 4 ? 2k ? 5k ,矛盾!故 f (n) ? 2 . k ?3n ? 1 ? 5 , ?

又当 n=8 时, 3n2 ? n ? 1 =201,所以 f (8) ? 3 . 综上所述, f (n) 的最小值为 3. (2)事实上,令 n ? 10k ? 1 ,则
3n2 ? n ? 1 ? 3 ?102k ? 5 ?10k ? 3 ? 299?? ??? , ??99500?003 ? ? ? ?
k ?1 k ?1

他的数码和为 2 ? 9(k ?1) ? 5 ? 3 ? 9k ? 1 . 由于 100=9×11+1,所以,取 n ? 1011 ? 1 ,则 f (n) =100.

4.首先,当 n=90 时,如图,设 AB 是圆 O 的直径, 在 点 A 和 B 的 附 近 分 别 取 45 个 点 , 此 时 , 只 有
2 2C45 ? 45 ? 44 ? 1980 个角不超过 120? ,所以,n=90 不满足

A

O

B

题意. 当 n=91 时,下面证明至少有 2011 个角不超过 120? . 把圆周上的 91 个点 A1 , A2 , ?, A91 看作一个图的 91 个顶点, v1 , v2 , ?, v91 ,若
? Ai OAj ? 120? , 则在它们对应的顶点 vi , v j 之间连一条边, 这样就得到一个图 G.

设图 G 中有 e 条边,易知,图中没有三角形.
2 若 e=0,则有 C91 ? 4095 ? 2011 个角不超过 120? ,命题得证.

若 e ? 1 ,不妨设顶点 v1 , v2 之间有边相连,因为图中没有三角形,所以,对 于顶点 vi (i ? 3, 4, ?,91) ,它至多与 v1 , v2 中的一个有边相连,所以
d (v1 ) ? d (v2 ) ? 89 ? 2 ? 91 ,

其中 d (v) 表示顶点 v 的度,即顶点 v 处引出的边数. 因为 d (v1 ) ? d (v2 ) ? ? ? d (v91 ) ? 2e ,而对于图 G 中的每一条边的两个顶点
vi , v j ,都有 d (vi ) ? d (v j ) ? 91 ,于是,上式对每一条边求和可得
(d (v1 )) 2 ? (d (v2 )) 2 ? ? ? (d (v91 )) 2 ? 91e ,

由柯西不等式
91[(d (v1 )) 2 ? (d (v2 )) 2 ? ? ? (d (v91 )) 2 ] ? [ d (v1 ) ? d (v2 ) ? ? ? d (v91 )]2 ? 4e 2 ,

所以

4e2 ? (d ( 1 )2 )? d (v 2( 2? ? ? d v (9 1 (2? ) e , 9 1 v )) ) 91 912 2 ? 2071 ,所以,91 个顶点中,至少有 C91 ? 2071 ? 2024 ? 2011 个点对, 4

故e ?

它们之间没有边相连,从而,它们对应的顶点所对应的角不超过 120? . 综上所述,n 但最小值为 91.


第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第 10 讲 集合与函数综合问题 三角函数与反三角函数 等差数列与等比数列 递归数列 不等式 数学归纳法 复数 平面几何问题(1) 平面几何问题(2) 立体几何



第 11 讲 解析几何 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 数论问题 组合问题 计数问题

全国高中数学联赛模拟题(1) 全国高中数学联赛模拟题(2) 全国高中数学联赛模拟题(3) 全国高中数学联赛模拟题(4)

学奥数 这里总有一本适合你

华东师范大学出版社


相关文章:
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)_数学_高中教育_教育专区。2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)全国高中数学联赛模拟题 一试一、填空题(本题满分 64 分,每...
2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试,附详细解答)
填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 4x2 1.不等式 . ?...2011 年全国高中数学联赛模拟(1)答案 1. 由 1 ? 1 ? 2 x ? 0 得 ...
2011年高中数学联赛试题一二试
2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题...2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t ? 1 n (n ? N * ) . (1)求...
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新) (1)
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新) (1) 隐藏>> 全国高中数学联赛模拟题一 试一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ?...
2011年全国高中数学联赛试题参考答案[1]
2011年全国高中数学联赛试题参考答案[1]_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国...2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t ? 1 n (n ? N * ) . (1)求...
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。联赛训练 填空题( 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 {an } 中...
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)
2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新) 隐藏>> 全国高中数学联赛模拟题一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ...
2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)
全国高中数学联赛模拟题一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) ...? 1 过定点 A(1,0),且焦点在 x 轴上,椭 a2 b2 圆与曲线 y ? x 的...
2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺1(最新)
2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(1)一试一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?...
2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)及详细解答
3 3 2011 年全国高中数学联赛一模拟试题 年全国高中数学联赛模拟试题(1) 答案 1、4;2、x+2y?4=0;3、[0, 1);4、63;5、16;6、- 181 1587 5...
更多相关标签:
2011全国高中数学联赛 | 高中数学联赛模拟题 | 2011高中数学联赛 | 2011年高中数学联赛 | 街头篮球2011全国联赛 | 全国高中数学联赛 | 2016全国高中数学联赛 | 全国高中数学联赛试题 |