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高三高考数学(科学)模拟三


高三高考数学(科学) 模拟三
命题人:石金兰 满分:150 分 使用时间:2015.5.12 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题
项是符合题目要求的. ) 1.已知复数 (A) ?2

满分 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有



a?i 为纯虚数,那么实数 a ? ( 2?i
(B) ?

)

1 2

(C) 2

(D)

1 2
)

2.设 A ? x 2 x ? 1 ? 3 , B ? x x ? a ? 0 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( (A) (??,-1) (B) (??, ? 1] (C) (??, ? 2) (D) (??, ? 2]

?

?

?

?

3. 高三(3)班共有学生 56 人,座号分别为 1, 2,3,

,56 ,现根据座号,用系统抽样的方法,抽

取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、17 号、 45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座 号是( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

x ? 0, ,则使 f ( x) ? 2 的 x 的集合是( ) ?| log 2 x |, x ? 0, 1 1 1 A. { , 4} B. {1, 4} C. {1, } D. {1, , 4} 4 4 4 1 5.在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x , 若事件“ 3 x ? m ? 0 ”发生的概率为 , 则实数 m ? ( 6
4. 已知函数 f ( x) ? ? (A) 1 (B)

?2 x ,

)

1 2

(C)

1 3

(D)

1 6

6.如图,三棱锥 V ? ABC 底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA ? VC ,已知其主视图的 面积为

2 ,则其左视图的面积为( 3
B.

)

A.

3 2

3 3

C.

3 4

D.

3 6

7. “ a ? ?2 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在 [?1, ??) 上单调递增”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1

A.充分不必要条件 C.充要条件

8.某学校开设“蓝天工程博览课程” ,组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博 物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(
2 4 (A) A6 种 ? A5 2 4 (C) C6 种 ? A5 2 (B) A6 ? 54 种 2 (D) C6 ? 54 种

)

9. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (x ?1) ? f ( ?x) ,当 x ? (0, ] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则

1 2

3 f ( x) 在区间 (1, ) 内是( 2
A.减函数且 f ( x) ? 0 C.增函数且 f ( x) ? 0

) B.减函数且 f ( x) ? 0 D.增函数且 f ( x) ? 0

x2 y 2 10. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 作斜率为 ?1 的直线交双曲线的 a b a 2 ? b2 渐近线于点 P ,点 P 在第一象限, O 为坐标原点,若 ?OFP 的面积为 ,则该双曲线的 8
离心率为( A. ) B.

5 3

7 3

C.

10 3

D.

15 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
2 11. 某 班 有 50 名 同 学 , 一 次 数 学 考 试 的 成 绩 X 服 从 正 态 分 布 N (110,10 ) , 已 知

P( 1 0 0 ? X ? 1 1? 0)

120 分以上的有 0 .34 ,估计该班学生数学成绩在

人;

12.若 x, y 都是锐角,且 sin x ?

1 5 , tan y ? ,则 x ? y ? 3 5

.

? x2 0 ? x ?1 13.函数 f ( x ) ? ? 的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ?2 ? x 1 ? x ? 2

.

14.设圆 x2 ? y 2 ? 2 的切线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B ,当 AB 取最 小值时,切线 l 的方程为________________. 15.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称. 若 u , v 满足不等式组 ?

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 2 2 则 u ? v 的最小值为 ? f (u ? v ? 1) ? 0,
2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (k sin

x x x , cos 2 ) , b ? (cos , ?k ) ,实数 k 为大于零的常数, 3 3 3

函数 f ( x) ? a ? b , x ? R ,且函数 f ( x ) 的最大值为 (Ⅰ)求 k 的值;

2 ?1 . 2

(Ⅱ) 在 ?ABC 中, 若 a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边, 求 AB ? AC 的最小值.

?
2

? A ? ? ,f ( A) ? 0 ,且 a ? 2 10 ,

17. (本小题满分 12 分)为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠 票价制度.不超过 22 公里的地铁票价如下表: 乘坐里程 x (单位: km ) 票价(单位:元)

0? x?6 3

6 ? x ? 12
4

12 ? x ? 22 5

现有甲、乙两位乘客,他们乘坐的里程都不超过 22 公里.已知甲、乙乘车不超过 6 公里 的概率分别为

1 1 1 1 , ,甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 , . 4 3 2 3

(Ⅰ)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望.

3

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 等 比 数 列 {an } 中 , a 2 ?

1 1 , a3 ? a 6 ? .设 4 512

bn ? log2a2 2 ? log 2a2 2 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. n n?1
(Ⅰ)求 an 和 Tn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 2(?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
?

4

高三高考数学(科学) 模拟三参考答案
一、选择题:DABAA BADBC 2.【答案】A【解析】集合 A ? {x ? 3 ? 2x ? 1 ? 3} ? {x ? 1 ? x ? 2} ,而 B ? {x x ? a} ,因为

A ? B ,所以 a ? ?1 ,选 A.
6. 【答案】B 【解析】由题意知,该三棱锥的主视图为 ?VAC ,设底面边长为 2 a ,高

1 2 VO ? h ,则 ?V A C 的面积为 ? 2a ? h ? ah ? 。又三棱锥的左视图为直 2 3
角 ?VOB , 在 正 ?ABC 中 , 高 OB ?

3a , 所 以 左 视 图 的 面 积 为

1 1 3 3 2 3 ,选 B. OB ? OV ? ? 3a ? h ? ah ? ? ? 2 2 2 2 3 3
二、填空题:11. 2 2 13.【答案】
2 1 2 1 3 5 2 【解析】 ? f ( x)dx ? ? x dx ? ? (2 ? x)dx ? x 0 0 1 3 6 1 0

? (2 x ?

1 2 2 5 x )1 ? 2 6

14.【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】设 A,B 的坐标为 A(a,0), B(0, b), (a, b ? 0) ,则 AB 的直线方 程为

x y ? ? 1 , 即 bx ? ay ? ab ? 0 , 因 为 直 线 和 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 a b

d?

? ab a ?b
2 2

2 2 ? 2, 整理得 2( a ? b ) ? ab , 即 2(a 2 ? b 2 ) ? (ab) 2 ? 4ab , 所以 ab ? 4 ,

当且仅当 a ? b 时取等号,又 AB ?

a2 ? b2 ?

ab 2

? 2 2 ,所以 AB 的最小值为 2 2 ,此时

a ? b ,即 a ? b ? 2 ,此时切线方程为
15.

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 。 2 2

1 2

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? a ? b ? (k sin

x x x , cos 2 ) ? (cos , ?k ) 3 3 3

5

2x x x x 1 2x 3 ? k (sin 2 x ? cos 2 x ) ? k ??2 分 ? k sin cos ? k cos2 ? k sin ? k 3 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2k 2 2x 2 2x k 2k 2x ? k ????????5 分 ? ( sin ? cos ) ? ? sin( ? ) ? 2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 ( 2 ? 1)k 2 ?1 因为 x ? R ,所以 f ( x ) 的最大值为 ,则 k ? 1 ???????6 分 ? 2 2 1 ? cos
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

2 2x ? 1 2 2A ? 1 sin( ? ) ? ,所以 f ( A) ? sin( ? )? ?0 2 3 4 2 2 3 4 2

2A ? 2 ? )? 3 4 2 ? 2 A ? 5? ? ? ? ? 因为 ? A ? ? ,所以 12 3 4 12 2 2A ? ? 3? ? ? ,解得 A ? 则 ???????????????????8 分 3 4 4 4
化简得 sin( 因为 cos A ? ?

2 b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 40 2 2 ,所以 b ? c ? 2bc ? 40 ? ? 2 2bc 2bc
40 ? 20(2 ? 2) ?????10 分 2? 2

则 b ? c ? 2bc ? 40 ? 2bc ? 2bc ,所以 bc ?
2 2

则 AB ? AC ? AB AC cos

3? 2 ?? bc ? 20(1 ? 2) 4 2
???????????????????12 分

所以 AB ? AC 的最小值为 20(1 ? 2) 17. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意可知,甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 P 1 ?

1 1 , 4 3

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?????2 分 4 3 2 3 4 3 3 1 2 ? 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 P ? 1 ? P ???????4 分 1 ? 1? 3 3
(Ⅱ)由题意可知, ? ? 6,7,8,9,10 则 P(? ? 6) ?

1 1 1 ? ? 4 3 12 1 1 1 1 1 P(? ? 7) ? ? ? ? ? 4 3 2 3 4
6

1 1 1 1 1 1 1 P(? ? 8) ? ? ? ? ? ? ? 4 3 4 3 2 3 3 1 1 1 1 1 P(? ? 9) ? ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 P (? ? 10) ? ? ? ????????????????????????10 分 4 3 12
所以 ? 的分布列为

?
P
则 E (? ) ? 6 ?

6

7

8

9

10

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

1 1 1 1 1 ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 8 ??????????????12 分 12 4 3 4 12
因为 AB ? BC1 ,所以 BD ? AC1 , 平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C ,且 BD ? 平面ABC1 , 平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C = AC1 ,? BD ? 平面 AA1C1C . 又因为 DE // 平面 AA1 B1 B ,所以平面 DEF // 平面 AA1 B1 B , 又平面 DEF ? 平面 A1 B1C1 ? EF ,平面 AA1 B1 B ? 平面 A1 B1C1 ? A1 B1 , 所以 EF // A1 B1 ,所以点 E 是 B1C1 的中点. 角坐标系. 由已知可得 ????6 分 如图,以 D 为原点,以 DA1 , DA, DB 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直 ????4 分 ????2 分

18.解: (1)由已知得侧面 AA1C1C 是菱形, D 是 AC1 的中点,

(2)设点 F 是 A1C1 的中点,因为点 D 是 AC1 的中点,所以 DF // 平面 AA1 B1 B ,

AC1 = 2, AD = 1, BD = A1 D = DC =

3, BC =

6

所以

设平面 EBD 的一个法向量是 m ? ? x,y,z ? , 由 m ? DB 得 3 z ? 0 , z ? 0 .

D(0, 0, 0), A(0,1, 0), A1 ( 3, 0, 0), B(0, 0, 3), C1 (0, ?1, 0)

1 1 DE ? ( DC1 ? DB1 ) ? ( DC1 ? DB ? AA1 ) 2 2
3 3 ? ( ,? 1, ) , 2 2
由 m ? DE 得 ( x,y,z ) ? ( 所以

z B1 E C1 D C B

3 3 , ?1 , ) ? 0, 2 2

F A1 x

A

y

3 x? y ?0, 2
7

令 x ?1得 y ?

? ? 3 3 ,所以 m ? ? 1, ,0 ? . ? ? 2 ? 2 ?

???8 分

平面 ABC1 ^ 平面 AA1C1C , DA1 ? AC1 , 所以 DA1 ? 平面 ABC1 ∴ DA1 是平面 ABC1 的一个法向量是 DA1 ? ( 3, 0, 0) , ???10 分

3 2 7 ? 7 3 1? ? 3 4 2 7 即二面角 E ? BD ? C1 的余弦值是 . 7 cos ? m, DA1 ??
19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,由 a3 a 6 ? a 2 ? q ?
5 2

????12 分

1 5 1 1 q ? 得q ? , 16 512 2
---------------------------------- 2 分

∴ an ? a2 ? q
n

n?2

bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2 ?

n?1

1 ? ( )n . 2 2= log 1 2 n?1 2 ? log
( ) 2

1 ( )2 n?1 2

2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? ( 1? )? ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
-------------------------------------5 分 (Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? ( 2n ? 而 2n ?

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 3 恒成立, n n
----------------------------------6 分

2 ? 3) min , n

2 2 ? 3 随 n 的增大而增大,∴ n ? 2 时 (2n ? ? 3) min ? 0 , n n
----------------------------------8 分

∴ ? ? 0;

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 5 恒成立, ②当 n 为奇数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? n n 2 即 ? ? (2n ? ? 5) min , -----------------------------------9 分 n
而 2n ?

2 2 2 ? 5 ? 2 2n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 2n ? ? n ? 1 等号成立, n n n
---------------------------------------11 分
8

∴? ? 9.

综上,实数 ? 的取值范围 . (- ?, 0 )

----------------------------------------12 分

9

10

11


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