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【恒心】2015届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学(理科)试题及参考答案【纯word版】


2015 届高三第四次月考数学试卷(理科) 12.6
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 z1 , z 2 是复数,下列命题中假命题的是( A. 若 | z1 ? z 2 |? 0 ,则 z1 ? z 2 C. 若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2 2. 命题“对任意 x ? (0, A. 存在 x 0 ? (0, C. 存在 x 0 ? (0, )

B. 若 | z1 |?| z 2 | ,则 z1 z1 ? z 2 z 2 D. 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 )

?

? ?
2

2

) ,都有 sin x ? x ”的否定为(

) ,使得 sin x0 ? x0 ) ,使得 sin x0 ? x0

B. 对任意 x ? (0, D. 对任意 x ? (0,

? ?
2

) ,都有 sin x ? x ) ,都有 sin x ? x
)

2

2

3.已知在等差数列 {an } 中,已知 a7 ? a9 ? 16, S11 ? 99, 则a7 的值是 ( A.9
0.8

B.8.5
0.9

C.8
0.8

D.7.5 )

4. 已知 a ? 0.9 , b ? 0.8 , c ? log0.9

,则(

A.c ? a ? b

B.c ? b ? a

C.a ? b ? c
( )

D.b ? c ? a

5 已知 a,b∈ R,则“|a-b|=|a|+|b|”是“ab<0”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 6. A.
?

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

? ? (2 cos
4 ? 4

2

x ? tan x)dx ? ( 2
B.

) C.

?
2

? 2

2

7. 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

?
2

? 2

D.

?? 2

) 关于直线 x ?

?
6

对称, 将此函数的图象上的所有点的 )

横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标保持不变,则函数( A. 关于点( ?

?
12

,0) 对称

C. . 关于直线 x ? ?

?
12

对称

? B. . 关于点( ? ,0) 对称 6 ? D. 关于直线 x ? ? 对称 6

8. 已 知 a, b 是 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 且 c ? a ? c ? b ? 2 , 则 对 任 意 的 正 实 数 t,
? ? 1? | c ? t a ? b | 的最小值是( t

) C.6 D. 6 2

A.3

B. 3 2

9. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 20aBC ? 15bCA ? 12cAB ? 0 , 则 ?ABC

的最小角的正弦值等于 A.

( B.

) C.

7 4 x 10. 设 x ? R , 若函数 f ( x ) 为单调递增函数, 且对任意实数 x, 都有 f ? ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1( e
4 5 3 4 3 5
D. 是自然对数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A. 1 B. e ? 1 ) C.3 D. e ? 3

11. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n , 令 bn ? a n o s c 则 T2015 ? ( A. ? 2011 ) B. ? 2012

n? , 记数列 {bn } 的前 n 项为Tn , 2
D. ? 2014

C. ? 2013

12. 设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ( M ,??) , 且 M>0, 且对任意 a, b, c ? (M ,??) 若 a, b, c 是 直角三角形的三边长,且 f (a), f (b), f (c) 也能成为三角形的三边长,则 M 的最小值为 ( A. )

2

B. 2 2

C. 3 2

D. 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,P 是正方形 ABCD 的外接圆上的动点,则 AB ? AP 的最大 值为 _______________. 14. 若函数 y ? eax ? 3x, x ? R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是 15. 已 知 不 等 式 ( _________. 16.已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2a, AC ? ( x , y 为实数),则 x ? 4 y 的最小值为 .

30 m ? m) ? ln( ) ? 0 对 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 n n 2 (a ? 0), ?BAC ? 120 , 若 AO ? xAB ? yAC a


2015 届高三第四次月考数学(理科)答题卡
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.______________ 14._________________ 15._______________ 16.__________________ 三、解答题(共 70 分)

17.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c 已知 cos A= sinB= (2)若 a ? 2, 求? ABC 的面积. 5 cos C. (1)求 tan C 的值,

2 , 3

18. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项 均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 6 , q ?

(1)求 a n 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? bn ? a5 ,求 ?c n ? 的前 n 项和 T n .

S2 . b2

19. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin x, cos x), b ? (cos ? , sin ? )(| ? |? 且 f(

?

?

?
2

) 。函数 f ( x) ? a? b

? ?

?
3

? x) ? f ( x) 。 (1)求 f ( x ) 的解析式及单调递增区间:

(2) 将 f ( x ) 的图像向右平移

恒成立,求实数 a 的取值范围.

? ? 单位得 g ( x) 的图像, 若 g ( x) ? 1 ? ax ? cos x 在 x ? [0, ] 上 4 3

20. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ( a, b ? R ). (Ⅰ )当 a ? ?6 时,函数 f ( x ) 定义域和值域都是 [1, ] ,求 b 的值; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上与 x 轴有两个不同的交点,求 b ? ab ? b ? 1 的取值范围.
2

b 2

2 21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? x, g ( x) ? ln x .

(1)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x) ? 2 g ( x) 的极值; 2 (2)是否存在实数 a , 使得 f ( x) ? g (ax) 恒成立?若存在, 求出实数 a 的取值集合;若不存

在,请说明理由.

22. (不等式选讲) (本小题满分 10 分)已知不等式 x ? | 3x ? 3 |? 5 的解集为 M (1)求集合 M. (2) 若 a, b ? M . 证明: ab ? 2 ? 2b ? a.

2015 届高三第四次月考理科数学 12.6 答案 1-5DCBAB 17. 6-10ABBCC

14 11-12DA 13. 2+ 2 2 ;14. (??,?3) ;15. [5,6];16. 3

?b2 ? s2 ? 12 ?q ? 2 ? d ? 6 ? ? 18. 解: (1)因为 ? , 所以 s2 ? q ? 2 ? d , 得 q ? 2, q ? ?2 (舍)d=2, q ? ? ? q ? b2 ? an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 ,
(2)因为 cn ? bn ? a5 , 所以 cn ?| 2 得 Tn ? ?
n ?1

6分

?9 ? 2 (n ? 4) ? 9 |? ? n?1 ?2 ? 9(n ? 5)
n ?1

? 9n ? 1 ? 2 n (n ? 4)

n ?2 ? 9n ? 41(n ? 5) 19. . 解 (1) f ( x) ? a ? b ? sin(x ? ? ) ? ? f ( ? x) ? f ( x) x? y ? f ( x ) 3 6 对称, 由 ,知函数 的图像关于直线 ? ? ? ? ? ? ? ? k? , k ? Z ? ? ?? 2 2 ,所以 3 所以 6 ,又 ? ? sin( x ? ) f ( x ) 3 即 5? ?? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? (k ? Z ) ? ? 6 6 ? ? 所以函数的递增区间为 ;

12 分 1分 2分 3分

4分 5分

(2)易知 g ( x) ? sin x

? ?? x ? ?0, ? ? 4 ? 上恒成立。 即 sin x ? 1 ? ax ? cos x 在 h( x) ? sin x ? cos x ? ax ? 1 令

? h ' ( x) ? sin x ? cos x ? a ? 2 sin( x ?

?
4

)?a

? ?? ? x ? ?0, ? 2 sin( x ? ) ? 4 ? ,所以 4 ? 1, 2 因为
'

? ?

7分

? ?? ?0, ? 当 a ? 2时, h ( x) ? 0 ,? h( x) 在 ? 4 ? 上单调递减, ? h( x) ? h(0) ? 0 ,满足条件; ? ?? 0, ? ? ? h ( x ) a ? 1 时 , h ( x ) ? 0 4 ? 上单调递增, ? 当 , 在 ? h( x) ? h(0) ? 0 ,不成立;
'

? ?? ? ?? 0, ? x0 , ? ?0, x0 ? 上递减,在 ? x ? ? 4? ? 递增,故 ③ 当1 ? a ? 2 时,必存在唯一 0 ? 4 ? ,使 h( x) 在 ?h(0) ? 0 ? ? ? 4 h( ) ? 0 ?a? 2 ? 只需 ? 4 , 解得 ? ; 11 分 4 a? ?。 综上,由① ② ③ 得实数 a 的取值范围是: 12 分
20. .解: (Ⅰ ) f ( x) ? x 2 ? 6 x ? b ,函数对称轴为 x ? 3 ,故 f ( x ) 在区间 [1,3] 单调递减,在 区间 (3, ??) 单调递增.

b ? f (1) ? ? b ? 2 ① 当 2 ? b ? 6 时, f ( x ) 在区间 [1, ] 上单调递减;故 ? ,无解; 2 ? f (b) ? 1 ? ? 2 b b ② 当 6 ? b ? 10 时, f ( x ) 在区间 [1,3] 上单调递减,(3, ] 上单调递增,且 f (1) ? f ( ) ,故 2 2 b ? ? f (1) ? 2 , b ? 10 ; ? ? ? f (3) ?1 b ③当 b ? 10 时, f ( x ) 在区间 [1, 3]上单调递减, (3, ]上单调递增,且 f (1) ? f (2b ),故 2 b ? b ?f( )? ………………6 分 2 ,无解. ? b 的值为 10. ? 2 ? ? f (3) ? 1
2 ( Ⅱ ) 设 函 数 f ( x) ? x ? ax ? b 的 两 个 零 点 为 x1 、 x2 ( 0 ? x1 , x2 ? 1 ), 则

f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) . 又 f (0) ? b ? x1x2 ? 0 , f (1) ? 1 ? a ? b ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 , ?b2 ? ab ? b ? 1 ? b(1 ? a ? b) ? 1 ? f (0) f (1) ? 1 ,而 x ? 1 ? x1 2 x2 ? 1 ? x2 2 1 0 ? f (0) f (1) ? x1 x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ( 1 ) ( ) ? , 由 于 x1 ? x2 , 故 2 2 4 1 5 0 ? f ( 0f ) ? (1, ) ?1 ? b 2 ? ab ? b ? 1 ? . ……………12 分 4 4

21

22. 解: (1)不等式 x ? | 3x ? 3 |? 5 等价于 ?

解出 1 ? x ? 2 或 ? 1 ? x ? 1 ,所以集合 M=(-1,2) (2)? 2b ? a ? (ab ? 2) ? (2 ? a)(1 ? b) 且 a, b ? (?1,2)

x ?1 x ?1 ? 或? ? x ? (3x ? 3) ? 5 ? x ? (3 ? 3x) ? 5 ?
5分

? 2 ? a ? 0,1 ? b ? 0 ? (2 ? a)(1 ? b) ? 0 所以 ab ? 2 ? 2b ? a 10 分


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