北师大版必修5 3.2《一元二次不等式》课件ppt

3.2一元二次不等式 .2一元二次不等式

复习一元 一元二次方程 一元 复习一元二次方程:ax 复习一元二次方程 2+bx+c=0(a≠0) 二次方程
? > 0 方程有两个不等的根 ? = 0 方程有一个根
? < 0 方程没有根

求根的方法： 求根的方法： （1）公式法 X= ）
b 2

4 ac ? b 2 =0 （2）配方法，化为顶点式 a ( x + 2 a ) ? ）配方法， 4a

（3）十字相乘法 ）

例：求x 方法一： 方法一：

2
2

? 2 x ? 3 = 0的根

? (?2) ± (?2) ? 4×(?3) x= =1± 2∴x1 = ?1, x2 = 3 2
方法二： 方法二： 2

x ?2x ?3 = (x ?1) ?4 = 0,∴(x ?1) = 4
2 2

∴x ?1 = ±2,即x = 1± 2,∴x1 = ?1, x2 = 3
方法三： 方法三：

x ?2x ?3= (x +1)(x ?3) = 0,∴x1 = ?1 x2 =3 ,
2

复习一元 一元二次函数 一元
复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 二次函数
当a>0时图像 时图像
y y y

O

x1

x2

x

O

b ? 2a

x

O

x

?>0

?=0

?<0

复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax +bx+c(a≠0) 二次函数
当a<0时图像 时图像
y y

复习一元 2 一元二次函数 一元
?=0

y ?<0

?>0
x
O

O

x1

x2

b ? 2a

x

O

x

一元二次不等式定义： 一元二次不等式定义： 定义
定义：含有一个未知数 并且未知数的最高次数 一个未知数， 定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式 叫做一元二次不等式. 是二次的不等式叫做一元二次不等式 形如: 形如 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)

问题：如何解一元二次不等式呢？ 问题：如何解一元二次不等式呢？

解一元二次不等式x 例：解一元二次不等式 2-2x-3<0

分析：

令y=x2-2x-3，得到一元二次函数。 ，得到一元二次函数。

求得x 的两根为x 求得 2-2x-3＝0的两根为 1=-1，x2=3 ＝ 的两根为 ， 所以二次函数 的图象如图 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图 二次函数 的图象如图:
y y=x2-2x-3

-1

o

x 3

研究二次函数y=x2-2x-3的图象 图像如下： 的图象,图像如下 研究二次函数 的图象 图像如下：
x= -1 或3 y=0？ (1).当x取 __________ 时，y=0？ ).当 -1<x<3 当x取 __________ 时，y<0？ x<-1 或 x>3 当x取 __________ 时，y>0?

问题探究： 问题探究：

(2).由图象写出 ).由图象写出 不等式x <0 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为
﹛x|-1<x<3﹜ ﹜

y

y=x2-2x-3 y>0

———————— 不等式x 不等式x2-2x-3<0 的解集 为
﹛x|x<-1或x>3﹜ 或 ﹜

-1

o y<0 3

x

————————

归纳:
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0 呢？

（1）先画出对应函数的图像 ） （2）确定不等式的解集： ）
ax2 + bx + c < 0 的解集就是确定函数 y = ax2 + bx + c

图像在X 图像在X轴下方时，其x的取值范围 的解集就是确定函数 2
ax + bx + c > 0

y = ax2 + bx + c

图像在X轴 图像在 轴上方时，其x的取值范围 的取值范围

一元二次不等式解集表（a>0) 一元二次不等式解集表（
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x

x1(x2) x 无实根

x

有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 +bx+c>0（a>0） ax2+bx+c>0（a>0） x|x<x 或x>x ﹜ x|x≠x ﹜ ﹛ 1 2 ﹛ 1 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集 Φ

R Φ

例：解不等式：3x 2 + 5 x ? 2 > 0
例：解不等式： 9 x ? 6 x + 1 > 0
2

例：解不等式： x ? 4 x + 5 > 0
2

例：解不等式：

? 2x + x + 1 < 0
2

例：解不等式：

? x + 4x ? 4 > 0
2

典例精讲： 典例精讲：

例2：已知不等式 ax + bx ? 1 < 0 的解集是 x 3 < x < 4 ，求实数 a, b 的值. 的值.

{

}

2

例：设A，B分别是不等式 3 x + 6 ≤ 19 x ? 2x 2 + 3x + 5 > 0 的解集，试求 A∩B, A∪B. 的解集， 与不等式
2

解：由3x 2 + 6 ≤ 19x，得3x 2 ? 19x + 6 ≤ 0

? 1 ? 解得： A＝? x ≤ x ≤ 6 ? ? 3 ?? 2 由－2x + 3x + 5 > 0解得 B = ? x ? 1 < x < ?

5? ? 2?

? 1 5? ∴A∩ B = ?x ≤ x < ? A ∪ B = x ?1 < x ≤ 6 2? ? 3

{

}

例：解关于x的不等式：
解：
2 2
2 2

含参变量 的不等式

方程x ? (2m + 1) x + m + m = 0的解为：

x ? (2m + 1) x + m + m < 0
x1 = m, x 2 = m + 1

Qm < m +1
∴ 原不等式的解集为 {x m < x < m + 1}

例：解关于x的不等式：
解：

方程x + (1 ? a ) x ? a = 0的解为：
x 1 = ? 1, x 2 = a

x 2 + (1 ? a ) x ? a < 0
2

(1)当a < ?1时， 原不式的解集为（ a ,? 1);
(2)当a = ?1时， 原不式的解集为

Φ

(3)当a > ?1 时， 原不式的解集为 ( ? 1, a )

解： 不等式恒成立，即解集为R 不等式恒成立，即解集为R
∴ a > 0, ? < 0

例：已知 ax + (1 ? a) x + 1 > 0 恒成立， 求a的取值范围。 y
2

∴ y = ax 2 + (1 ? a) x + 1的大致图像如图：
O

x

由? = (1 ? a) 2 ? 4a < 0解得：3 ? 2 2 < a < 3 + 2 2

又a > 0

∴ a的取值范围为 3 ? 2 2 < a < 3 + 2 2

小结
不等式的解集的运算：注意利用数轴 数轴进 （1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 含参变量的不等式问题： （2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量 自变量和 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类 注意比较两根的大小，利用分类 讨论的数学思想 讨论的数学思想 求参变量的取值问题， 求参变量的取值问题，借助二次 函数的图像，利用数形结合 数形结合的数学思想 函数的图像，利用数形结合的数学思想