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北师大版必修5 3.2《一元二次不等式》课件ppt


3.2一元二次不等式 .2一元二次不等式

复习一元 一元二次方程 一元 复习一元二次方程:ax 复习一元二次方程 2+bx+c=0(a≠0) 二次方程
? > 0 方程有两个不等的根 ? = 0 方程有一个根
? < 0 方程没有根

求根的方法: 求根的方法: (1)公式法 X= )
b 2

4 ac ? b 2 =0 (2)配方法,化为顶点式 a ( x + 2 a ) ? )配方法, 4a

(3)十字相乘法 )

例:求x 方法一: 方法一:

2
2

? 2 x ? 3 = 0的根

? (?2) ± (?2) ? 4×(?3) x= =1± 2∴x1 = ?1, x2 = 3 2
方法二: 方法二: 2

x ?2x ?3 = (x ?1) ?4 = 0,∴(x ?1) = 4
2 2

∴x ?1 = ±2,即x = 1± 2,∴x1 = ?1, x2 = 3
方法三: 方法三:

x ?2x ?3= (x +1)(x ?3) = 0,∴x1 = ?1 x2 =3 ,
2

复习一元 一元二次函数 一元
复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 二次函数
当a>0时图像 时图像
y y y

O

x1

x2

x

O

b ? 2a

x

O

x

?>0

?=0

?<0

复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax +bx+c(a≠0) 二次函数
当a<0时图像 时图像
y y

复习一元 2 一元二次函数 一元
?=0

y ?<0

?>0
x
O

O

x1

x2

b ? 2a

x

O

x

一元二次不等式定义: 一元二次不等式定义: 定义
定义:含有一个未知数 并且未知数的最高次数 一个未知数, 定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式 叫做一元二次不等式. 是二次的不等式叫做一元二次不等式 形如: 形如 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)

问题:如何解一元二次不等式呢? 问题:如何解一元二次不等式呢?

解一元二次不等式x 例:解一元二次不等式 2-2x-3<0

分析:

令y=x2-2x-3,得到一元二次函数。 ,得到一元二次函数。

求得x 的两根为x 求得 2-2x-3=0的两根为 1=-1,x2=3 = 的两根为 , 所以二次函数 的图象如图 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图 二次函数 的图象如图:
y y=x2-2x-3

-1

o

x 3

研究二次函数y=x2-2x-3的图象 图像如下: 的图象,图像如下 研究二次函数 的图象 图像如下:
x= -1 或3 y=0? (1).当x取 __________ 时,y=0? ).当 -1<x<3 当x取 __________ 时,y<0? x<-1 或 x>3 当x取 __________ 时,y>0?

问题探究: 问题探究:

(2).由图象写出 ).由图象写出 不等式x <0 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为
﹛x|-1<x<3﹜ ﹜

y

y=x2-2x-3 y>0

———————— 不等式x 不等式x2-2x-3<0 的解集 为
﹛x|x<-1或x>3﹜ 或 ﹜

-1

o y<0 3

x

————————

归纳:
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0 呢?

(1)先画出对应函数的图像 ) (2)确定不等式的解集: )
ax2 + bx + c < 0 的解集就是确定函数 y = ax2 + bx + c

图像在X 图像在X轴下方时,其x的取值范围 的解集就是确定函数 2
ax + bx + c > 0

y = ax2 + bx + c

图像在X轴 图像在 轴上方时,其x的取值范围 的取值范围

一元二次不等式解集表(a>0) 一元二次不等式解集表(
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x

x1(x2) x 无实根

x

有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 +bx+c>0(a>0) ax2+bx+c>0(a>0) x|x<x 或x>x ﹜ x|x≠x ﹜ ﹛ 1 2 ﹛ 1 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集 Φ

R Φ

例:解不等式:3x 2 + 5 x ? 2 > 0
例:解不等式: 9 x ? 6 x + 1 > 0
2

例:解不等式: x ? 4 x + 5 > 0
2

例:解不等式:

? 2x + x + 1 < 0
2

例:解不等式:

? x + 4x ? 4 > 0
2

典例精讲: 典例精讲:

例2:已知不等式 ax + bx ? 1 < 0 的解集是 x 3 < x < 4 ,求实数 a, b 的值. 的值.

{

}

2

例:设A,B分别是不等式 3 x + 6 ≤ 19 x ? 2x 2 + 3x + 5 > 0 的解集,试求 A∩B, A∪B. 的解集, 与不等式
2

解:由3x 2 + 6 ≤ 19x,得3x 2 ? 19x + 6 ≤ 0

? 1 ? 解得: A=? x ≤ x ≤ 6 ? ? 3 ?? 2 由-2x + 3x + 5 > 0解得 B = ? x ? 1 < x < ?

5? ? 2?

? 1 5? ∴A∩ B = ?x ≤ x < ? A ∪ B = x ?1 < x ≤ 6 2? ? 3

{

}

例:解关于x的不等式:
解:
2 2
2 2

含参变量 的不等式

方程x ? (2m + 1) x + m + m = 0的解为:

x ? (2m + 1) x + m + m < 0
x1 = m, x 2 = m + 1

Qm < m +1
∴ 原不等式的解集为 {x m < x < m + 1}

例:解关于x的不等式:
解:

方程x + (1 ? a ) x ? a = 0的解为:
x 1 = ? 1, x 2 = a

x 2 + (1 ? a ) x ? a < 0
2

(1)当a < ?1时, 原不式的解集为( a ,? 1);
(2)当a = ?1时, 原不式的解集为

Φ

(3)当a > ?1 时, 原不式的解集为 ( ? 1, a )

解: 不等式恒成立,即解集为R 不等式恒成立,即解集为R
∴ a > 0, ? < 0

例:已知 ax + (1 ? a) x + 1 > 0 恒成立, 求a的取值范围。 y
2

∴ y = ax 2 + (1 ? a) x + 1的大致图像如图:
O

x

由? = (1 ? a) 2 ? 4a < 0解得:3 ? 2 2 < a < 3 + 2 2

又a > 0

∴ a的取值范围为 3 ? 2 2 < a < 3 + 2 2

小结
不等式的解集的运算:注意利用数轴 数轴进 (1)不等式的解集的运算:注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 含参变量的不等式问题: (2)含参变量的不等式问题: 注意区分自变量 自变量和 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小,利用分类 注意比较两根的大小,利用分类 讨论的数学思想 讨论的数学思想 求参变量的取值问题, 求参变量的取值问题,借助二次 函数的图像,利用数形结合 数形结合的数学思想 函数的图像,利用数形结合的数学思想


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