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高中数学数列知识点总结(经典)


导航教育独家经典讲义
等差数列

?an ? 为等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ( A ? 0) ? a n ? An ? B(A ? 0)
an ?1 ? an ?1 2

1、 a n ? dn ? (a1 ? d ) ? am ? (n ? m)d ?

等差中项: x,A,y 成等差

数列 ? 2 A ? x ? y 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; 若 an、bn 是等差,则 pan+qbn 为等差。 若 an 是等差,则 ak, ak+m, ak+2m 组成公差为 md 的数列。 …… 2、前 n 项和 Sn ?
Sn n 为等差,公差为 1/2。

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d d ? n 2 ? (a1 ? d ) n 2 2

性质:①数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ? 仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数 列,公差为 n 2 d ; ②若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S 2 m ?1 ? bm T2 m ?1

④ Sn 的最值可利用单调性求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负

?a ? 0 分界项,即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. a ? 0 ? n ?1 ?a ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? n 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
⑤项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1
1

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等比数列 ? a n ? a1 ? q
n?1

A ? q n ? A(q ? 1) ? Sn ? na1 (q ? 1)

1、 a n ? a1 ? qn?1 ? am ? qn?m 若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq 等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,或 G ? ? xy .

若a1 ? 0, 0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? 递减数列……
na1 (q ? 1) a a 2、前 n 项和: Sn ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? ? ? 1 ? q n ? 1 (q ? 1) 1? q 1? q 1? q 1? q
n

T

-T

Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .
3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n?1 n n 2 ?2 (n ? 2)

(2)累加法:

形如an?1 ? an ? f (n),利用恒等式 an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2) ? ??? (a n ? an?1 )
(3)累乘法:
形如a n?1 ? an f (n),利用恒等式 an ? a1 ?
n (4)错位相加,如 a n?1 ? an ? n ? 2

a a 2 a3 ? ? ?? n a1 a 2 an?1

(4)见图片等比型递推公式

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )

2

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可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an ?1 2an 2 an an ?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , a1 an 2 2 2 ? an ?
∴ an ?
2 n ?1

a ? 公式法、利用 n
换元法

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2) 、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比

an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. ①等差数列, ? ② an ? ③ an ? ④……
1 1? 1 1 ? ? ? ? ? d ? a1 an?1 ? k ?1 ak ak ?1
n

1 n?k ? n ? k n?k n
1 1 1 1 ? [ ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

3

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(2)错位相减法:等差 (3)倒序相加法: 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与 倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和。
? ?

等比

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
[练习]已知 f ( x) ?
x2 ,则 f (1) ? f (2) ? 1 ? x2
2

?1? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

(4)叠加法: 主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n), 其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下, 可把 这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经 过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 (5)分组求和法: 对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 (6)用构造法求数列的前 n 项和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本 数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。

4


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