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【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总:解析几何01 Word版含答案


解析几何 01
一、选择题 1 .若直线 l1 : ax ? 2 y ? 8 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行 ,则 a 的值为





A.1

B.1 或 2

C.-2

D.1 或-2 ( )

r />
2 .倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是

A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
2

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 ( )

3 .若抛物线 y =ax 上恒有关于直线 x+y-1=0 对称的两点 A,B,则 a 的取值范围是

A.( ?

4 ,0) 3

B.(0,

3 ) 4

C.(0,

4 ) 3

D. ( ?? , 0 ) ? (

4 , ?? ) 3

4 . 己知抛物线方程为

y 2 =2 px ( p >0 ), 焦点为 F , O 是坐标原点 , A 是抛物线上的一
( )

点, FA 与 x 轴正方向的夹角为 60°,若 ?OAF 的面积为 3 ,则 p 的值为 A.2 B. 2 3 C.2 或 2 3 D.2 或 2

??? ?

x2 y 2 3 5 .已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线与椭圆 a b 2
C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为
A. ( )

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

6 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,在双曲线右支 a 2 b2

上存在一点 P 满足 PF 1 F2 ? 1 ? PF2 且 ?PF A. 2
7 .设 F 是抛物线 C1

?
6

,那么双曲线的离心率是 D. 5 ? 1





B. 3

C. 3 ? 1

: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A 是抛物线与双曲线 C 2 :

x2 y2 =1 ? a2 b2
( )

(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为
A.2 B. 3 C.

5 2

D. 5

二、填空题 8 .若⊙ O1

: x 2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在

点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是____________________;

x2 y2 9 . 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,P 为双曲线右支上的任意一点, a b


| PF1 | 2 的最小值为 8a,则双曲线的离心率的取值范围是_________. | PF2 |

? x ? 8t 2 10 . 已知抛物线的参数方程为 ? ( t 为参数 ), 焦点为 F , 准线为 l , P 为抛物线上一 ? y ? 8t
点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ? _________ .
三、解答题 11.已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2,

3) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点 , 若椭圆上一 点 C 满足

OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

3 2 x2 y2 12.椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0)离心率为 ,且过 P( 6 , ). 2 2 a b
(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知直线 l 过点 M(-

1 ,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线 C 切于第二象限的一点 2
?

N,直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交与 D 点,若 AD = ?
? ? ? 5 AN , BD = ? BN ,且 ? + ? = ,求抛物线 C 的标准方程. 2

13.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴的距离的差都是

1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线 ,都有

??? ? ??? ? FA ? FB ﹤0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

14.设点 P 是曲线 C: x

2

? 2 py( p ? 0) 上的动点,点 P 到点(0,1)的距离和它到焦点 F 的距离

之和的最小值为

5 4

(1)求曲线 C 的方程 (2)若点 P 的横坐标为 1,过 P 作斜率为 k (k ? 0) 的直线交 C 与另一点 Q,交 x 轴于点 M,过 点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N,问是否存在实数 k,使得直线 MN 与曲线 C 相切? 若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

答案
一、选择题 1. 【答案】A

【解析】直线 l1 的方程为 y ? ? 直线平行,则有

a x ? 4 ,若 a ? ?1 ,则两直线不平行,所以 a ? ?1 ,要使两 2

a 2 ?8 a 2 ? ? ? ?2 ,由 ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?2 。当 a ? ?2 时, 1 a ?1 4 1 a ?1

a ? ?2 ,所以不满足条件,所以 a ? 1 ,选 A. 1
2.

【答案】D 【解析】直线的斜率为 k ? tan135 ? ? 1,所以满足条件的直线方程为 y ? ? x ? 1 ,即
?

x ? y ? 1 ? 0 ,选 D.
3.

C 4. A 5. D
6.

【 答 案 】 C 因 为 PF 1 F2 ? 1 ? PF2 且 ?PF

?
6

, 所 以 PF2 ? c, PF 1 ? 3c , 又

PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a ,所以
为 3 ? 1,选 C.
7.

c 2 2( 3 ? 1) ? ? ? 3 ? 1 ,即双曲线的离心率 a ( 3 ? 1)( 3 ? 1)

【答案】D

b ? p b 2 pa 2 ?y ? x 解:由题意知 F ( , 0) ,不妨取双曲线的渐近线为 y ? x ,由 ? 得x? . a 2 a b2 ? y 2 ? 2 px ?
因为 AF ? x ,所以 x A ?
2 2 2

p 2 pa 2 p ? ,解得 b2 ? 4a 2 ,即 b2 ? 4a 2 ? c 2 ?a 2 , ,即 x ? 2 b2 2

所以 c ? 5a ,即 e ? 5 ,所以离心率 e ? 5 ,选 D.
二、填空题 8. 【答案】4

解 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4. 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,所以 AB ? 2 ?
9.

(1,3]

10. 【答案】8

解 :消去参数得抛物线的方程为 y 2 ? 8x . 焦点 F (2, 0) , 准线方程为 x ? ?2 . 由题意可设

A(?2, m) ,则 k AF ?

m?0 m ? ? ? ? 3 ,所以 m ? 4 3 .因为 PA ? l ,所以 yP ? 4 3 , ?2 ? 2 4

2 代入抛物线 y ? 8x ,得 xP ? 6 .,所以 PF ? PA ? 6 ? (?2) ? 8 .

三、解答题 11.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?
所以椭圆的标准方程为:

解得 ?

?a 2 ? 8 ? 2 ? ?b ? 6

x2 y2 ? ?1 8 6
2 2

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切

所以,

t?k 1? k2

? 1 ? 2k ?

1? t2 ( t ? 0) t

把 y ? kx ? t 代入

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 分 8 6
x1 ? x 2 ? ?

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2

因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ? (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k ) ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

? ?2 ?

2t 2 2 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
所以 (

2 因为 t ? 0

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

所以
12.

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,
3 b 1 , ? 1-e 2 ? , ? a ? 2b, 2 a 2

2)

【解析】 解. (1)? e ?

x2 y2 化为x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 ? 0 代入椭圆方程得: 2 ? 2 ? 1 , 4b b

? 点 P( 6 , 2 )在椭圆 E 上
2
6 ? 2 ? 4b ? 0, ? b 2 ? 2,a 2 ? 8
2

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ?1 , 8 2
2

直线与抛物线 C 切点为 (2)设 抛物线C 的方程为 y ? ax(a ? 0),

( x0 , ax0 2 ) ,? y? ? 2ax,? 直线l的斜率为2ax0 , l的方程为y-ax0 2 ? 2ax0 ( x ? x0 )
? 直线l过( ? 1 1 2 2 , 0),? ? ax 0 ? 2ax 0 ( ? ? x 0 ),? N ( x 0 , ax 0 )在第二象限, ? x0 ? 0 2 2

解得 x 0 ? ?1 ,? N (?1, a ) ,
直线l的方程为: y ? ?2ax ? a

代入椭圆方程并整理得:

(1 ? 16a 2 ) x 2 ? 16a 2 x ? 4a 2 ? 8 ? 0? (1) 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 则 x1、x2是 方程(1)的两个根,
则x1 x2 ? 4a 2 ? 8 ?16a 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 16a 2 1 ? 16a 2

由 AD ? ? AN , BD ?

? BN ,

??

x1 x2 ,? ? 1 ? x1 1 ? x2
x1 x 2 x1 x2 ? x1 ? x2 8a 2 ? 16 + 2 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 7 ? 4a 2
5 8a 2 ? 16 5 ,解得 3 3 , ? ? a?? , ? a ? 0,? a ? 2 2 7 ? 4a 2 6 6
3 2 x , 其标准方程为x 2 ? 2 3 y 6

??? ?

?? ? ? ?

? 抛物线C的方程为y ?

13.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能

力. 解:(I)设 P ( x, y ) 是直线 C 上任意一点,那么点 P( x , y )满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0)
化简得 y ? 4 x( x ? 0)
2

(II)设过点 M(m,0) (m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,由 ?

?x ? ty ? m ?y ? 4 x
2

得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 .

于是 ?

? y1 ? y 2 ? 4t ? y1 y 2 ? ?4m



又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 )

FA? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0
又x ?



y2 ,于是不等式②等价于 4

y1 y 2 y y ? ? y1 y 2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 4 4 4 4
? ( y1 y 2 ) 2 1 ? y1 y 2 ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] ? 1 ? 0 16 4


2

2

2

2

由①式,不等式③等价于

m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2
2



对任意实数 t, 4t 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于

m 2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2
由此可知,存在正数 m,对于过点 M( m ,0)且与曲线 C 有 A,B 两个交点的任一直线,都有

FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2 )
14.解:(1)依题意知 1 ?

p 5 1 ? ,解得 p ? ,所以曲线 C 的方程为 y ? x 2 2 4 2

(2)由题意设直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则点 M ?1 ?

? ?

1 ? ,0 ? k ?

由?

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ?y ? x
2

, x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,得 Q k ? 1, (k ? 1) 2 ,
2
2

?

?

所以直线 QN 的方程为 y ? (k ? 1) ? ?

1 ( x ? k ? 1) k

1 ? 2 1 ? y ? (k ? 1) ? ? ( x ? k ? 1) 2 1 2 由? , x ? x ? 1 ? ? (1 ? k ) ? 0 k k k ?y ? x2 ?
2 ? ? 1 1 ? ? 得 N ?1 ? k ? , ?1 ? k ? ? ? ? k ? k? ? ? ?

所以直线 MN 的斜率为 k MN

1? 1? ? ? ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? ? k? k? ? ? ? ?? 1? ? 1? k ? ?1 ? k ? ? ? ?1 ? ? k? ? k? ?
1? ? k?

2

2

过点 N 的切线的斜率为 2?1 ? k ?
2

? ?

1? ? ?1 ? k ? ? ?1? 5 1? k? ? ? 所以 ? 2?1 ? k ? ? ,解得 k ? 2 k k? ?

故存在实数 k=

?1? 5 使命题成立. 2


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