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江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试卷+Word版含解析


扬州市 2016—2017 学年度第二学期期末检测试题 高一数学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题 卷相应的位置上)
1. 【答案】 【解析】由二倍角公式可得: 2. 不等式 【答案】 【解析】不等式即: 的解为_____________ ______________

.

, .
,则

据此可得不等式的解集为:
3. 中,

______________

【答案】 【解析】由余弦定理可得:

.
4. 已知圆锥的母线长为 ,侧面积为 【答案】 【解析】∵圆锥的母线长是 5,侧面积是 20π, ,则此圆锥的体积为_____________

设圆锥的半径为 r, ∴有 ∴圆锥的高为 ∴圆锥的体积为
5. 已知 【答案】 【解析】由题意可得: , ,则

, , . ______________



则:

.

点睛:熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉 三角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联 系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形.
6. 设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为

___________
【答案】 【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域,目标函数 标函数,令 最优解为 ,作直线 , 的最小值为 ,由于 . 为截距型目 得

, 表示直线的截距,平移直线

7. 若等差数列

的前 项和为 ,



,则使得 取最大值时的正整数

______________ 【答案】3 【解析】由等差数列的性质可得:

, ,

数列的公差:

据此可得,数列

单调递减,且:
3.



使得 取最大值时的正整数 8. 已知 , ①如果 ②如果 ③如果 ④如果

, 是三个平面, , 是两条直线,有下列四个命题: , , , , ,那么 ,那么 ,那么 , ; ; ,那么 . ;

其中正确的命题有______________(写出所有正确命题的序号) 【答案】①④ 【解析】由题意可得: ①由面面垂直的判断定理,如果 ②如果 ③如果 ④如果 , , , ,可能 ,可能 , , ,那么 ;该说法正确;

;该说法错误; ;该说法错误; ,那么 .该说法正确;

综上可得:正确的命题有①④.
9. 已知 【答案】 【解析】 且 ,则 ______________

, , .

由同角三角函数基本关系可得: 则:

点睛:运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相对性,要 注意升幂、降幂的灵活运用.

10. 若数列 【答案】6 【解析】

的前 项和为 ,若

,则正整数 的值为_____________

, 则: ,解得: .

... ,

则:

11. 已知正数 【答案】4

满足

,则 的最小值为______________

【解析】由题意可得:

,即:



当且仅当

时等号成立,故 的最小值为 4.

点睛: 一是在应用基本不等式求最值时, 要把握不等式成立的三个条件, 就是“一 正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽 略了某个条件,就会出现错误. 二是在利用不等式求最值时, 一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次 使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
12. 如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 ,∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°;已知山高 BC= 300 米,则山高 MN=__________米

【答案】450 【解析】在 RT△ ABC 中,∠CAB=45°,BC=300m,所以 AC=

m.

在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, 在 RT△ MNA 中, 得
13. 在数列 立,其中常数 中, .若关于 的不等式 ,则实数 的取值范围是______________

,因此

m.

m,∠MAN=60°,由 m.
对任意 的解集为 成

【答案】 【解析】由递推关系可得:

两式作差可得:

,则: ,

递推公式中令 则不等式变形为: 则: 对于

可得:

, , 恒成立, .

据此可得实数 的取值范围是

点睛:对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; (2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
14. 在 中, 角 的对边分别为 . 若 , , 则

的最小值是______________ 【答案】 ...

【解析】由余弦定理

,即

,则:

由均值不等式的结论可得: 则
的最小值是 .



二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤)

15. 已知: (1)求 (2)若 【答案】 (1) ; (2) . 【解析】试题分析: 的值; ,求



的值.

(1)利用题意结合同角三角函数基本关系可得 (2)利用题意首先求得 试题解析:
(1)

的值为; .

,则

,∴ (2)∵ ∴ ,解得:

16. 已知:三棱锥 (1)求证: (2)若

中,平面 平面 ;

平面



, , 分别为 , 的中点.

,求证:

平面



【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析:

(1)利用题意证得 (2)利用题意可得: 试题解析:

,由线面平行的结论有 ,

平面

; 平面 .

,结合线面垂直的结论则有

(1)∵ , 分别为 , 的中点

∴ ∵ ∴ 平面 平面 , ... , 为 的中点 平面

(2)∵ ∴ ∵平面 ∴ ∵ ∴ 平面 , 平面

平面

,平面

平面

, 平面

平面 ∴ , 平面 ,

∴ .



平面

点睛:注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条 直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”
17. 已知正项等比数列 (1)求数列 (2)设 的前 项和为 ,且 , .

的通项公式; ,求数列 的前 项和 . .

【答案】 (1) ; (2) 【解析】试题分析:

(1)由题意求得首项和公比,则数列 (2)结合(1)的结果错位相减可得 试题解析:
(1) 设正项等比数列 ∴ 的公比为 , 若 , , 则 解得:

的通项公式为 .



, 不符合题意; 则



(2) ① ②



②得:



bn}的前 点睛:一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an· n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比, 然后作差求解.
18. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,满足 .

(1)求角 的大小; (2)若 (3)若函数 【答案】 (1) ; ( 2) ; (3) 【解析】试题分析: , 的面积 ,求 . ,求 的值;

的取值范围.

(1)由题意结合正弦定理可得

;... 的值为 7; .

(2)由题意得到关于 b+c 的方程,解方程可得 (3)化简三角函数式,结合角的范围可得 试题解析:
(1)根据正弦定理 得: ∵ ∴ (2)∵ ∵ ∴ ∴

的取值范围是



∵ (3)







为锐角三角形 ∴

,又









的取值范围为 且

. )个单位的营 ,

19. 水培植物需要一种植物专用营养液.已知每投放 (

养液, 它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)变化的函数关系式近似为 其中

,若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度为每

次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和, 根据经验, 当水中营养液的浓度不低于 4 (克 /升)时,它才能有效. (1)若只投放一次 4 个单位的营养液,则有效时间可能达几天? (2) 若先投放 2 个单位的营养液, 3 天后投放 个单位的营养液. 要使接下来的 2 天中, 营养液能够持续有效,试求 的最小值. 【答案】 (1) ; ( 2) 【解析】试题分析: .

(1)由题意得到关于 x 的不等式,求解不等式可知营养液有效时间可达 4 天. (2)利用题意结合对勾函数的性质可得 的最小值为 试题解析:
(1)∵营养液有效则需满足 , 所以营养液有效时间可达 4 天. (2) 设第二次投放营养液的持续时间为 天, 则此时第一次投放营养液的持续时间为 天,且 ;设 为第一次投放营养液的浓度, 为第二次投放营养液的浓度, 为 ,则 或 ,解得

.

水中的营养液的浓度; ∴ , 在 ∴ 令 又 所以 的最小值为 . 在 上恒成立 , ,当且仅当 , ,即 时,取等号; ... . , . , 上恒成立

答:要使接下来的 2 天中,营养液能够持续有效, 的最小值为 20. 已知数列 (1)若 (2)若 ① 求数列 ② 是否存在 满足:对于任意 ,求证: . 的通项公式; ,使得 为数列 且 为等比数列; 时,

中的项?若存在,求出所有

满足条件的 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)详见解析; (2)① 【解析】试题分析: ,② .

(1)由等比数列的定义可证得 (2)由题意累加可得

为常数

,则

为等比数列;

(3)假设存在实数 k,得到关于 k 的不等式组,求解不等式组可得存在 题意. 试题解析:
(1)当 ∴ ∴ (2)①当 ∴ 为等比数列 时, 时, 为常数 且

满足

…………



∵ 又

∴ 满足上式,所以 . , (*)

② 假设存在满足条件的 ,不妨设 ∴ ∴ ∴ 由(1)得 若 ∴ ∴ ∵ ∴ 可取 且 即 ∴ (舍) ∴ ∴ ∴



,代入(*) ,解得: 即

...

代入(*)检验,解得: ∴存在 满足题意.


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