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3.2.4 立体几何中的向量方法


3.2.4 立体几何中的向量方法
——夹角问题

线线角:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? (1) l , m的 夹 角 为 ? , c o s ? ? c o s ? a , b ?

l

l

? a

?

? b

m

? ? a ? b

m

线面角:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则
(2) l,?的 夹 角 为 ?,
? ? s in ? ? c o s ? a , u ?

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

cos(

π 2

? ? ? - θ ) = c o s < a, u >

?

cos(

π 2

?

? ? ? + θ ) = c o s < a, u >

面面角:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ? ? (3) ? , ? 的 夹 角 为 ? ,c o s θ = ? c o s < u , v >

? u

?

? v

?
?

面面角:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则
? ? (3) ? , ? 的 夹 角 为 ? , 则 c o s θ = ? c o s < u , v >

? u

?

? v
?
?

例1:

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .

解1

z
D1

A1
B1

C1
D

E

F
x

A y
B

C

例1:
解2 建立直角坐标系.
????? 则 B 1 C 1 ? (0, -1, 0 ),

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .

z
D1

A1
B1

???? ? D 1 B = (1 , 1 ,? 1 )

平 面 A B 1C 的 一 个 法 向 量 为

C1
D

E

???? ????? ? 0 ?1? 0 3 c o s B D 1, 1 C 1 ? B ? ? 3 1? 3

F
x

A y
B

C
3 3 。

所 以 B 1 C 1与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB
(2)求证:PB ? 平面EFD

P F
D A

E

(3)求二面角C-PB-D的大小。

C B

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB
(2)求证:PB ? 平面EFD

P F
D A

E

(3)求二面角C-PB-D的大小。

解1

设DC=1.
B

已 知 P B ? E F , 由 ( 2) 可 知 PB ? DF ,故 ?EFD是 二 面 角 C ? P B ? D的 平 面 角 。

C

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求二面角C-PB-D Z 的大小。 解2 如图所示建立 P 空间直角坐标系,设DC=1.

平面PBC的一个法向量为
???? 1 1 D E ? (0 , , ) 2 2

F
D
G

E

平面PBD的一个法向量为
???? ???? ? X cos ? DE1 , GC ?? ?1 / 2
???? 1 1 C G ? ( , ? , 0) 2 2

C B
?

A

Y

co s ? ? 1 / 2 , ? ? 6 0

解3 建立空间直角坐标系,设DC=1.
已 知 P B ? E F , 由 ( 2) 可 知 P B ? D F , 故 ? E F D 是 二 面 角 C ? P B ? D的 平 面 角 。

设点 F 的坐标为 ( x , y , z ), 则 PF ? ( x , y , z ? 1)

因为 PF ? k PB
所 以 ( x , y , z ? 1 ) ? k (1, 1, ? 1 ) ? (k , k , ? k )

Z

P F
D
B

即x ? k, y ? k, z ? 1? k
因为 PB ? DF ? 0

E

所以 (1,1, ? 1) ? ( k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0A 1 1 2 1 F( ,, ) X 所以 k ? 3 3 3 3

C

Y

点 F 的坐标为

1 1 2 ( ,,) 3 3 3

又点 E 的坐标为

1 1 (0, , ) 2 2

1 1 1 所以 FE ? ( ? , , ? ) 3 6 6
因为 cos ? EFD ? FE ? FD FE FD

???? 1 1 2 F D ? (? , ? , ? ) 3 3 3

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 6 6 3 3 3 ? 6 ? 1 ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所 以 ? E F D ? 6 0 , 即 二 面 角 C ? P B ? D的 大 小 为 6 0 .

?

?

例 3、在底面是直角梯形的
?

四棱锥 S ? ABCD 中,

? ABC ? 90 , SA ? 平面 ABCD , SA ? AB ? BC ? 1, AD ? 1 2 正切值 .
S

.求平面 SCD 与平面 SBA 所成的二面角的
z y

C B

A

D

x

练 1 .在 长 方 体 A B C D ?

A B C D 中 , AD
1 1 1 1

? A A1 ? 1,

A B ? 2,点 E 在 A B上 , 且 A E ? 2 ? D1 ? C E ? D的 余 弦 值

3, 求 二 面 角

z
D1
A1
D B1

C1

x

A

·
E

C y B

练 2 .如 图 , 棱 长 为 2的 正 方 体 A B C D ?

A B C D 中,
1 1 1 1

E 、 F 分 别 是 B B 1、 D D 1的 中 点 , 求 平 面 A E C 1 F 与 平 面 A B C D 所成角的余弦值

z
A1
B1
E

D1
C1 F ·

·
B

A

D y C

x

3
求 二 面 角 A - B D1 - C 的 大 小 .

的棱长为 1.

解1
D1 C1
D B1

A1

A

C

B

练3:
求 二 面 角 A - B D1 - C 的 大 小 .

的棱长为 1.

解2 建立直角坐标系.

z
D1

平面ABD1的一个法向量为
???? ? D A1 ? (0 ,1,1)

A1
B1

C1
D

平面CBD1的一个法向量为
???? ???? ? ? cos ? DA1 , DC1 ?? 1 / 2
co s ? ? ? 1 / 2, ? ? 1 2 0
?

???? ? D C 1 ? (1, 0 ,1)

A y
B

x

C

二 面 角 A - B D1 - C 的 大 小 为 1 2 0 .

?


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