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2016届福建省福州格致中学(鼓山校区)高三上学期第五次月考(期末)数学(理)试题


2016 届福建省福州格致中学 (鼓山校区) 高三上学期第五次月考 (期 末)数学(理)试题
命题: 审核: 2016.1.22

第 I 卷 (选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=x
-1

) C

. y=x+ 1

B. y=( 1 )

x

2

x

D. y=ln(x+1)

2.函数 y ? (3 ? a)(a ? 6) (?6 ? a ? 3) 的最大值为( ) A.9 B.

9 2

C. 3

D.

3 2 2

3.已知直线 l⊥平面α ,直线 m?平面β ,有下面四个命题: (1)α ∥β ?l⊥m;(2)α ⊥β ?l∥m;(3)l∥m?α ⊥β ;(4)l⊥m?α ∥β . 其中正确的命题( A.(1)(2) ) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(3)(4)

4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 A. 3 B.

3 +6 2

C.

3 +4

D.

3 +6

5.执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88,则判断框内应填入的条件是 A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

6. 函数 y ? 2 sin x ? sin 2x 的最小正周期是
2

A.

? 4

B.

? 2

C.

?

D. 2?

? x ? 1, ? 7. 已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
A. 1 4
2 2

1 B. 2

C.1

D.2

8.已知圆 C: x +y =4 ,若点 P( x0 , y0 )在圆 C 外,则直线 l: x0 x+y0 y=4 与圆 C 的位置关系为
第 1 页(共 8 页)

A.相离

B.相切

C.相交

D.不能确定

9. ?ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a, b, c ,设向量

?? ? ? ?? n ? ( 3a ? c,sin B ? sin A) , m ? (a ? b,sin C) ,若 m / / n ,则角 B 的大小为
A.

? 6

B.

5? 6

C.

? 3

D.

2? 3

10.已知函数 f ( x) ? 不等式组 ? A.

1 3 x ? (1 ? b) x 2 ? a (b ? 3) x ? b ? 2 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则 3

? x ? ay ? 0 所确定的平面区域在 x2 ? y 2 ? 4 内的面积为 ? x ? by ? 0
B.

? 3

? 2

C. ?

D. 2?

11.已知点 F1 , F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,若椭圆上存在点 P 使得 PF1 ? 2 PF2 , 则此 a2 b2
1 ] 2
1 1 , ] 3 2

椭圆的离心率的取值范围是 A.(0, )

1 3

B.(0,

C.(

D.[

1 ,1) 3

12. 对于函数 f ( x ) ,若 ?a , b, c ? R , f (a ), f (b), f (c ) 为某一三角形的三条边,则称 f ( x ) 为“可构造三 角形函数” ,已知函数 f ( x ) ? 取值范围是 A. [0,? ?) B. [0,2] C. [1,2] D. [ , 2]

ex ? t ( e 为自然对数的底数)是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的 ex ?1

1 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? ?4 x ? 2, 直线 x ? 1 围成的封闭图形的面积为

14.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且数列 ?S n ? 是首项和公比都是 3 的等比数列,则 ?an ? 的通项公式 an = 15. ?ABC 外接圆半径为 3 ,内角 A,B,C 对应的边分别为 a, b, c ,若 A=60°, b ? 2 ,则 c 的值为

?ABC 是边长为 2 的正三角形, 16.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面, 面 SAB⊥面 ABC,
则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分) 已知数列 ?an ? 为等比数列,a1 ? 1, a6 ? 243.S n 为等差数列 ?bn ? 的前 n 项和,b1 ? 3, S5 ? 35.
第 2 页(共 8 页)

(Ⅰ)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? a1b1 ? a2 b2 ? ?? ? an bn ,求 Tn .

18. (12 分)某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分 别为 1,2,3,?,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为 三等奖,奖金 30 元;三球号码都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号码分别为 1,5,10 为一等奖, 奖金 240 元;其余情况无奖金。 (Ⅰ)求员工甲抽奖一次所得奖金ξ 的分布列与期望; (Ⅱ)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少?

19.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , AB ? AD , AB ? PA ,

BC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 BE ,平面 PAB ? 平面 ABCD .
(Ⅰ)求证:平面 PED ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 求二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值.
5 , 5

20.(12 分)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

x 2 y2 + = 1 (a>b>0)上一点,A、B 是椭圆 E 的左、右顶点, a 2 b2
1 . 2

直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=-

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E:

xx y y x 2 y2 + 2= 1 (a>b>0)上点 N( x0 , y0 )处切线方程为 02 + 02 =1 , 若 P 是 2 a b a b

直线 x=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C,D,求证直线 CD 恒过定点,并求 出该定点坐标. 21. ( 12 分 ) 已 知 函 数 f(x) = 1 + ln x 在 [1 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 且 θ ∈ (0 , π ) , x·sin θ

g ( x) ? tx ?

t ? 1 ? 2e ? ln x t∈R. x
第 3 页(共 8 页)

(Ⅰ)求θ 的值;

(Ⅱ)当 t=0 时,求函数 g(x)的单调区间和极大值; (Ⅲ)若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 g(x0)>f(x0)成立,求 t 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号.

22. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的 延长线交于点 E ,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F , 延长 AF 与 CB 的延长线相交 于点 P . (1)求证: BF ? EF ; (2)求证: PA 是圆 O 的切线.

23. (10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在极坐标系下,已知圆 O : ? ? cos? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (I )求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (II)当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 和圆 O 公共点的极坐标.

?
4

)?

2 . 2

24. (10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (I)求 a 的值; (II)若 f ( x) ? 2 f ( ) ≤k 恒成立,求 k 的取值范围.

x 2

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理科数学参考答案
一、选择题:1——5 DBCDB; 二、填空题:13. 三、解答题: 17. (1)) an ? 3n?1 (2) Tn ? n3n 3 分 ; bn ? 2n ? 1 12 分
3

6——10 CBCBB; 11——12 DD 15.

16 3

14. ?

?3, n ? 1 ?2 ? 3
n ?1

,n ? 2

6 ?1

16.

3 3

6分

18.Ⅰ)甲抽奖一次,基本事件总数为 C10 =120,奖金 ξ 的所有可能取值为 0,30,60,240. 一等奖的情况只有一种,所以奖金为 240 元的概率为 P(ξ=240)=

1 120 8 1 ? 120 15

三球连号的情况有 1,2,3;2,3,4;……8,9,10 共 8 种,所以 P(ξ=60)=

仅有两球连号中,对应 1,2 与 9,10 的各有 7 种;对应 2,3;3,4;……8,9 各有 6 种。 得奖金 30 的概率为 P(ξ=30)= ξ 的分布列为: ξ P 0 30 60 240

7? 2 ? 6? 7 7 1 1 7 11 ? 奖金为 0 的概率为 P(ξ=0)= 1 ? ? ? ? 120 15 120 15 15 24

11 24

7 15

1 15

1 120
6分

E? ? 0 ?

11 7 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 240 ? ? 20 24 15 15 120
11 13 ? 24 24

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P= 1 ? 四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数 η~B(4,

10 分

13 13 11 143 ? ? )故 D? ? 4 ? .12 分 24 24 24 144

19.法一(Ⅰ)取 AD 中点 F ,连接 BF ,则 FD / /BE ,∴四边形 FBED 是平行四

BA CB ? 2 ∴直角△ BAF ? 边形, ∴ FB // ED ∵直角△ BAF 和直角△ CBA 中, ? AF BA
直角△ CBA ,易知 BF ? AC ∴ ED ? AC 2分

∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB AB ? PA ∴ PA ? 平面 ABCD ∴ PA ? ED , 4分 5分 ∴平面 PED ? 平面 PAC . 6分

∵ PA ? AC ? A ∴ ED ? 平面 PAC .

(Ⅱ)设 ED 交 AC 于 G ,连接 PG ,则 ?EPG 是直线 PE 与平面 PAC 所成的角.设 BE ? 1
第 5 页(共 8 页)

由△ AGD ? △ CGE ,知

DG AD 2 3 3 5 2 5 , DG ? ? ? ,∵ AB ? AD ? 2 ∴ EG ? DE ? GE EC 3 5 5 5
9分

∵∴ PE ? 3 , AE ? 5 , PA ? PE 2 ? AE 2 ? 2

作 GH ? PC 于 H ,由 PC ? DE ,知 PC ? 平面 HDG ,∴ PC ? DG ,∴ ?GHD 是二面角 A ? PC ? D 的平 面角. ∵△ PCA ? △ GCH ,∴ ∴ tan ?GHD ? 10 分

PA PC 6 5 PA ? GC 30 ,而 GC ? CE 2 ? EG 2 ? ∴ GH ? ? ? GH GC 5 PC 5

6 15 15 ,∴ cos ?GHD ? ,即二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为 .12 分 3 5 5

法二: (Ⅰ)∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , AB ? PA ∴ PA ? 平面 ABCD 又∵
AB ? AD ,故可如图建立空间直角坐标系 o ? xyz

2分

由已知 D(0, 2, 0) , E (2, 1, 0) , C (2, 4, 0) , P(0, 0, ? ) ( ? ? 0 )
???? ??? ? ???? ∴ AC ? (2, 4, 0) , AP ? (0, 0, ? ) , DE ? (2, ? 1, 0)

???? ???? ???? ??? ? ∴ DE ? AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 , DE ? AP ? 0 ,∴ DE ? AC , DE ? AP ,∴ ED ? 平
面 PAC . 4 分∴平面 PED ? 平面 PAC 6分

???? ??? ? (Ⅱ)由(Ⅰ) ,平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ? 1, 0) , PE ? (2, 1, ? ? )
??? ? ???? 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ? ,∴ sin ? ? | cos ? PE , DE ? | ? | 4 ?1 5 5??
2

|?

5 , ? ? ?2 5

∵ ? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P(0, 0, 2)

8分

???? ??? ? 设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 ) , DC ? (2, 2, 0) , DP ? (0, ? 2, 2)

???? ??? ? 2 x0 ? 2 y0 ? 0 由 n ? DC , n ? DP ∴ ? ,令 x0 ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, ? 1) ?
??2 y0 ? 2 z0 ? 0

10 分

???? ∴ cos ? n , DE ? ?

2 ?1 3? 5

?

15 5

11 分

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角,

∴二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为

15 5

12 分

第 6 页(共 8 页)

sin θ· x-1 1 1 21. 解: (1)由已知得 f ′(x)=-sin θ· +∞)上恒成立, 即 sin θ· +∞)上恒成立, x2+x ≥0 在[1, x2 ≥0 在[1, 2 分∵θ∈(0,π),∴sin θ>0,∴sin θ· x-1≥0 在[1,+∞)上恒成立,只需 sin θ· 1-1≥0,即 sin θ≥1,∴ π sin θ=1,由 θ∈(0,π),知 θ=2. 4分

-1+2e (2)∵t=0,∴g(x)=- -ln x,x∈(0,+∞), x 2e-1 1 2e-1-x ∴g′(x)= x2 - x = , x2 5分

令 g′(x)=0,则 x=2e-1∈(0,+∞),∴x,g′(x)和 g(x)的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (0,2e-1) + ↗ 2e-1 0 极大值 (2e-1,+∞) - ↘

即函数的单调递增区间是(0,2e-1), 单调递减区间是(2e-1, +∞), 极大值是 g(2e-1)=-1-ln(2e-1). 7 分 t+2e (3)令 F(x)=g(x)-f(x)=tx- x -2ln x, t 2e 当 t≤0 时,由 x∈[1,e]有 tx-x≤0,且-2ln x- x <0,∴此时不存在 x0∈[1,e]使得 g(x0)>f(x0)成立 9 分 t+2e 2 tx2-2x+t+2e 当 t>0 时, F ′(x)=t+ x2 -x = , ∵x∈[1, e], ∴2e-2x≥0, 又 tx2+t>0, ∴F′(x)>0 x2 t t 4e 在[1,e]上恒成立,故 F(x)在[1,e]上单调递增,∴F(x)max=F(e)=te-e-4,令 te-e-4>0,则 t> 2 11 e -1 分

? 4e ? 故所求 t 的取值范围为 e2-1,+∞ . ? ?

12 分

第 7 页(共 8 页)

22.证明: (1) 因为 BC 是圆 O 的直径, BE 是圆 O 的切线,所以 EB ? BC .又因为 AD ? BC ,所以

△DGC , △FEC ∽ △GAC , 可知△BFC ∽ 所以 AD ∥ BE ,

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? , 所以 . DG CG AG CG DG AG

因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG ,所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF . ???5 分 (2)如图,连接 AO,AB ,因为 BC 是圆 O 的直径,所以 ?BAC ? 90° 在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点, 所以 AF ? FB ? EF ,所以 ?FBA ? ?FAB . 又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO . 因为 BE 是圆 O 的切线,所以 ?EBO ? 90° . 因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , 所以 PA 是圆 O 的切线. 23.解: (1) 圆 O : x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 直线 l 方程为 x ? y ? 1 ? 0 (2)极坐标为(1, 5分 10 分 ???10 分

2分

? ) 2

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