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函数y=f(sinx,cosx)值域的常见题型及解题策略


第27卷第2期 2005年6月

湘潭师范学院学报(自然科学版)
Journal of Xianc3an Normal University(Natural Science Edition)

VoI.27 No.2

Jun.删

函数y=f(sin x,COS X)值域的常见题型及解题策


李正谋
(湖南省涟源工贸中专,湖南涟源417100)

摘要:三角函数是高考不可缺少的重要内容,利用正、余弦函数的性质是解决三角问题的基本方法。就求函数

y=,(sinx,cosx)值域的常见题型来探求解题方法。
关键词:函数;值域;题型;解题方法 中图分类号:TMl33 文献标识码:A 文章编号:1671—0231(2005)02—0121—02

三角函数是中学数学的一个重要内容,也是高考中不可缺少的组成部份;而正、余弦函数又是它最基 本的知识,因而利用正、余弦函数的性质是解决三角问题的基本方法。下面就求函数Y:.厂(sinz,COSX)值 域的常见题型来探求其解法。
1.Y


asin2+bsinx+c(ab≠0)型

命题

函数的最大值为厂(戈)=一吉一罟+acosx+sin2x(0≤戈≤詈)求实数口的值。
, .

解:八菇):一cosx~詈)2+笪二孚型,
因为0≤石≤zr/2,所以0≤cos戈≤1 当a/2>1,即a>2时,f(o)=2,则a=10/3; 当a/2<0,即a<0时,厂(rr/2)=2,则a=一6; 当0≤a≤2,则(a2一a+2)/4=2,得a=3或a=一2与0≤a≤2矛盾。 综上所述,a=10/3或a=一6。

解题策略:利用二次函数在区间[一1,1]的子集上的最值求法求解。
2.Y=a(sinx±COSX)+bsinxcosx(06≠0)型

命题求函数Y=msin2x+mcos2x一2sinxcosxcos2x的最大值。



解:令£=sin2x+cos2x,戈∈R时,£∈[一亿,拒],且sin2菇cos2菇:£},


从而八算):一告(f—m)2+H≠,
拒m—i1(m≥压)

n#(一应<m<拒)
--住m一—了1(m≤一拒)。 解题策略:利用sinx±COSX与sinxcosx(或sin2x)的相互关系及二次函数的最值求法求解。
3.Y=asincox+bcos(ox(口6≠0,∞>0)型 命题 已知函数Y=2sinx(sinx+COSX),求函数的最小正周期和最大值。

解:八戈)=sin2戈一c。s2髫+1=拒sin(2茗一号)+1
收稿日期:2005—03—02 作者简介:李正谋(1965一),男,湖南涟源人,中学一级教师,研究方向:数学教学。

万方数据  

命题求函数’,:/孺+/甄的值域。
解:设菇=2sina(i一号≤n≤号),则八石)=2v5sin口+2c。s口=4sin(口+詈)一号≤口+詈≤等
故函数的值域是:{Y I一2,5≤Y≤4}。 解题策略:这是第一种类型的推广,先将函数Y=asinx+bcosx化为Y= ̄/a2+b2sin(x+妒),再利用函 数y=Asin(x+P)的最值求法求解。
4.Y=(asinx+m)/(bcosx+n)(ab≠0)型

T=丌,最大值为1+√2。

命题求函数,,:尝型上{的值域。


解法1:由原函数化为sin(x+P)=弓攀
ZCOS戈一j

所以I掣l≤l


、/4,,2+1

解得:一唑丝≤y≤半
√4y‘+1

解法2:由万能公式可得:

(5y+2)£2+2t+Y+2=0(£=tan鲁)

(2)),≠一2/5,A=4—4(5y+2)(y+2)t>0一半一半,且y≠一2/5,[一半,
(1)Y=一2/5,COSX=一1;
一6+ ̄/21、




综上所述:原函数的值域[一鱼{丛,二鱼}丛]。
解题策略:将Y当作参变数,或者利用万能公式及判别式、函数单调性或均值定理或者利用正弦函数 的值域求解。

5.),=羔搿(口6≠o)型
令t:应sin(0+7r/4)

命题求实数n的取值范围,使得对任意实数菇任意臼∈[o,号],
恒有:(x+3+2sinocos日)2+(x+口sin0+。c。s口)2≥i1。

解:0∈[o,詈]号sin0+c。s0=拒sin(0+丌/4)∈[1,应]
易知原不等式 {÷(3+2sinOcosO—asinO—acosO)2 ≥i


甘n≥号器磐勘≤学器黜
甘n≥—■五矿i磊矿一,戥口≤
3 4-2sinOcosO

4-1/2击

三±2璺i坠曼旦Q璺旦=!』至
sinO+COSO

甘n≥t+丢?了1或者口≤t+吾?÷,
n≥i7,或n≤./g。

前者由函数在区间[1,拒]上的单调性后者由均值定理可知:

解题策略:利用凑配法将其化为函数八戈)=觚+詈(口6≠o),然后由其单调性及均值定理求解。
’122

万方数据  

函数y=f(sinx,cosx)值域的常见题型及解题策略
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 李正谋 湖南省涟源工贸中专,湖南,涟源,417100 湘潭师范学院学报(自然科学版) JOURNAL OF XIANGTAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 2005,27(2)

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