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高考数学 考点19 抛物线练习


考点 19
2

抛物线
).

1.(2010·四川高考文科·T3)抛物线 y ? 8x 的焦点到准线的距离是(

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 【命题立意】本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程、抛物线标准方程及点到直线的距离公式. 【思路点拨】先求出焦点坐标和准 线方程,再利用点到直线的距

离公式求解. 【规范解答】 选 C. 抛物线的焦点坐标为 F (2, 0) , 准线方程为 x ? ?2 , 焦点到准线的距离为

2? (? 2) ?4

.

2.(2010·上海高考理科·T3)动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距 离相等,则点 P 的轨 迹方程为 . 【命题立意】本题考查求满足条件的动点的轨迹方程的思路和方法. 【思路点拨】按求动点的轨迹方程的步骤进行. 【规范解答】设点 P 的坐标为(x,y) ,由题意可得 即为点 P 的轨迹方程. 【答案】 y ? 8 x
2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? x ? 2 ,化简得 y 2 ? 8 x ,

3.(2010·全国高考卷Ⅱ文科·T15)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l ,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p=_________.

【命题立意】本题考查直线与抛物 线的位置关系及直线的斜率公式的运用. 【思路点拨】利用 M 点为中点可以用 p 表示 A ,B 点的横坐标,把 B 点的横坐标代入抛物线 C:y2=2px, 可以求得 B 点的纵坐标.又已知直线斜率,解关于 p 的方程可以解决.

p p 【规范解答】由题意得 A 点横坐标为- 2 ,则 B 点横坐标为 2 +2,代入抛物线 C:y2=2px 得 B 点纵坐标
4p ? p 2 ? 0 ? 3 p ? 2 ?1 , 2 得 p=2.



4 p ? p2

.由直线 MB 的斜率为

【答案】2 【方法技巧】 直线与抛物线问题要结合图象的几何特征, 抓住点的坐标关系, 用所求的参数列出方程 (组) , 此题 用 p 表示直线斜率,代入斜率公式计算. 4.(2010·重庆高考文科·T13)已知过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,
2

|AF|=2,则|BF|= . 【命题立意】本小题考查抛物线的定义和性质及直线与抛物线的位置关系,体现了数形结合的思想方法. 【思路点拨】设直线 AB 的方程,首先考虑斜率不存在的情形,再考虑斜率存在的情形. 【规范解答】抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的坐标是(1,0) ,则当直线 AB 的方程是 x ? 1 时, y ? 4 ,所以
2 2

y ? ?2 ,符合题意|AF|=2,此时有|BF|=2;当直线 AB 的斜率存在时,所得的|AF|的值大于 2
-1-

或小于 2,不会等于 2. 【答案】2

??? ? ??? ? 2 y ? 4 x AF ? 3 FB 5.(2010·重庆高考理科·T14)已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A,B 满足 ,则
弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 【命题立意】本题考查抛物线的定义和性质,考查向量的知识及应用,体现了转化的思想方法. 【思路点拨】 易得抛物线的准线方程, 根据抛物线定义将抛物线上的点到准线的距离转化为向量的模 和

??? ? AF

??? ? FB

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AF ? 3 FB 【规范解答】 因为 AF ? 3FB ,所以弦 AB 是过焦点 F 的弦,且 .
设点 A,B 到准线 x ? ?1 的距离分别是 点 A,B 的横坐标分别是 所以

,再根据有关平面几何的性质求解.

d1 , d2 ,那么 d1 ? 3d2 ,

d1 ? 1 ? 3d2 ? 1 , d 2 ? 1,

yA2 ? 4(3d2 ?1) , yB 2 ? 4(d2 ?1) .如图所示,

所以

4(3d2 ? 1) ? 3 4(d2 ? 1)

,解得

d2 ?

4 3.

O

所以 d1=4, 根据梯形中位线的性质可得弦 AB 的中点到准线的距离为

1 4 8 ( ? 4) ? 2 3 3.
8 【答案】 3
【方法技巧】本题是一道 综合题,综合的知识点有(1)抛物线的定义、性质.(2)平面向量相等的性质. (3)梯形中位线的性质.(4)相似三角形的性质.本题的关键是根据梯形中位线性质,把“弦 AB 的中点到 准线的距离”转 化为抛物线上的点到准线的距离,再根据抛物线定义转化为到焦点 F 的距离. 6. (2010· 全国卷Ⅰ理科· T21) 已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F, 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A , B
2

两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (1)证明:点 F 在直线 BD 上.

??? ? ??? ? 8 FA?FB ? 9 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . (2)设
【命题立意】 “看似寻常却艰辛”.本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直 线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知 识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、 运算能力和解决问题的能力, 同时考查了数形结合思 想、设而不求思想. 【思路点拨】本题可设过点 K (?1, 0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) 但需要对 k 进行讨论,为了简化解答过程

-2-

我们设直线方程为 x ? m y ? 1(m ? 0) ,将其代入抛物线 C : y ? 4x 化简求解.
2

【规范解答】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), D( x1 ,? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) .
2 2 (1)将 x ? m y ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,

? y1 ? y2 ? 4m, ? y y ?4 从而 ? 1 2 ①.
y ? y2 ? y 2 ? y1 ? ( x ? x2 ) x 2 ? x1 ,

直线 BD 的方程为

y ? y2 ?
即 令 y ? 0 ,得

y2 4 ? (x ? 2 ) y 2 ? y1 4 .
x? y1 y 2 ?1 4 .

所以点 F (1,0) 在直线 BD 上.
1 ? 1) ? (my2 ? 1) ? 4m ? 2 , (2)由(1)知, x1 ? x2 ? (my 2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? 1 .
因为 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

FA? FB ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2 ,
8 ? 4m 2 ?


4 8 m?? 3. 9 ,解得

所以 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

又由(1)易知

y 2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3 ,

4 3 ?? y ? y1 7, 故直线 BD 的斜率 2
因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0 . 因 为 KF 为 ? BKD 的 平 分 线 , 故 可 设 圆 心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的 距 离 分 别 为

-3-

3t ? 1 3t ? 1 , 5 4 . 3t ? 1


5

?

3t ? 1 4


t?

1 9 ,或 t ? 9 (舍去),

1 4 (x ? )2 ? y 2 ? 9 9. 故圆 M 的方程为

-4-


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