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12 分段函数


2.1.2 分段函数

新课引入:已知一个函数 y=f(x)的定义域为区间【0,2】 , 当 x?

?0,1? 时,对应法则为

y=x, 当 x ?

?1,2?

时,对应

法则为 y=2-x,试用解析法和图像法分别表示这个函数。

在函数的定义域内,对于自变量x的不 同的取值区间,有着不同的对应法则, 这样的函数通常叫做分段函数。
注意:分段函数是一个函数,而不是多个函数。

新课引入:已知一个函数 y=f(x)的定义域为区间【0,2】 , 当 x?

?0,1? 时,对应法则为

y=x, 当 x ?

?1,2?

时,对应

法则为 y=2-x,试用解析法和图像法分别表示这个函数。

解:

? x, 0 ? x ? 1 f ( x) ? ? 2 ? x,1 ? x ? 2 ? y
2 1

0

1

2

3

x

例 1、写出下列函数的解析式,写出函数的定义域,并作出函数的图像.

设函数 y ? f ( x ), 当 -1 ? x ? 0 时,f ( x ) ? ?1 ; 当 0 ? x ? 1 时,f ( x ) ? x 2 ;

当 1 ? x ? 2 , f ( x) ? x .

y

??1, ?1 ? x ? 0 ? 2 f ( x) ? ? x , 0 ? x ? 1 ? x,1 ? x ? 2 ?

2
1

-1

0

1
-1

2

x

题型二:分段函数求值

? x( x ? 0) 例 2 、已知函数 f ( x ) ? ? 2 , (1) 求值 f(f(-2)) . ? x ( x ? 0)
(2)若

f ?x0 ? ? 2 ,求 x0 .

题型三:求分段函数的值域 例 3、分区间表达函数并画出 f(x)的图像,指出函数值域。 (1) y ? x (2)f(x)= x ? 1

? x, x ? 0 y?? ?? x, x ? 0

? x ? 1, x ? ?1 f ( x) ? ? ?? x ? 1, x ? ?1

思考:(1)(2)两个图像之间有什么联系?

8、(选做)(本题 10 分)如何用分段函数的形式表示 下列函数的解析式,并画出它们的图像. (1) f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1

零点分段写成分段函数

??( x ? 2) ? ( x ? 1), x ? ?2 ? ?2 x ? 1, x ? ?2 ? ? f ( x) ? ?( x ? 2) ? ( x ? 1), ?2 ? x ? 1 ? ?3 , ?2 ? x ? 1 ?( x ? 2) ? ( x ? 1), x ? 1 ?2 x ? 1 , x ? 1 ? ?
思考:此函数在数轴 上有什么几何意义?

答:数轴上点x到2,1距离之和

例 4、在某地投寄外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,以此类推每封 xg(0<x ? 100)应付多 少分邮资?写出函数表达式,作出函数的图像,并求函数 的值域。

? 80,0 ? x ? 20 ? 160, 20 ? x ? 40 ? ? f ( x ) ? ? 240, 40 ? x ? 60 ? 320, 60 ? x ? 80 ? 400,80 ? x ? 100 ? ?


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