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3[1].2.1几种常见函数的导数


3.2导数的计算

3.2.1几种常 见函数的导数

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求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点 (x0,y0 )附近的变化规律; 1) |F’(x)|越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡” 2) |F’(x)|越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”

点(x,y) ?求函数y=3x2在x=x0 处的导数.

解:Δf=Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 解:Δf=Δy=f(x+Δx)-f(x)
=3(x+ Δx)2-3x0 =3(x0+ Δx)2-3x2 2

=3(2x0 +Δx)Δx =3(2x+Δx)Δx

? ?f f ? 3(2 x0 x ? ?? ? 3(2 x ?? ?) x) ? ?x x ? y? y ? 6 x lim 又 又limx?0 ? 6 x 0 ? ? x ?0 ? x? x ' ' f ) ? 6x ?? f ( x( x0 ) ? 6 x0

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

f ( x) ? 3 x
f(x)在x=x0处的导数

2

关系
'

f(x)的导函数

f ' ( x0 ) ? 6 x0

f ( x) ? 6 x

x=x0时的函数值

二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
?y 解 : y ? f ( x) ? C , ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? C ? C , ? 0, ?x ?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ?0 ?x

公式1: C? ? 0 (C为常数) .

请同学们求下列函数的导数:
2) y ? f ( x ) ? x, 3) y ? f ( x ) ? x ,
2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1

y' ?1
y ' ? 2x
y ' ? 3x 1 y' ? ? 2 x
n-1
2

这又说明什么?

4)y ? f ( x ) ? x

3

1 5) y ? f ( x ) ? , x
'

猜想? 当f ( x) ? x n 时

f(x)=nx f(x)=?

n?R

例1.已知y ? x,1),求y ?;
4

2)求曲线在点(11 , )处的切线方程. 3 1 3 ? 1 4 ' y ? x? y ? x 4 4 4
例2.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2 的切线方程。

看几个例子:

1 y ? x? 4

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx n-1 (n ? R )

3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx 5.若f(x)=a ,则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ,则f(x)=e
' x ' x x ' x '

'

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x

看几个例子: ? log x,求曲线在点 例3.已知y 2

x ? 2处的切线方程.
1 2 y? ? ( x ? 2) 2 2 ln 2

例4.已知y ? cos x,求曲线在点 5? x? 处的切线方程. 6 3 1 5π
? ? (x ? ) 2 2 6
例5:求下列函数的导数 1 (1). y ? 4 ; x (2). y ? x x.

y?

y ? ?4 x 1 3 2 ' y ? x 2
'

?5

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x)?g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

例4:求下列函数的导数:

1 2 答案: (1) y? ? ? 1 ? 4 ; (1) y ? ? 2 ; x2 x3 x x 1 ? x2 x ( 2) y ? ? ; 2 2 (1 ? x ) (2) y ? ; 2 1? x 1 ?? ( 3) y ; (3) y ? tan x; 2
cos x

1 4 例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= t 4 3 2

-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?( t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?( t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

练 习
求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x=2所围城的三角形的面 积。


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