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江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期第三次阶段测试试题 理


2016 年春学期高二年级阶段测试(三) 数学(理)试卷
一、填 空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡 ... 相应的位置 上。 ..... 1、 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 4 : 3 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽 取 名学生. 2、

如图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据 此样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 [6,10)内的频数为_________. 3 、 若 空 间 直 角 坐 标 系 中 点

在 n2 ? , C ( ? 5 ,?B 1? , ?? 1 ? m , 4 ,? ? 同一条直线上,则 m ? n ? . ? 3 7 4、 (2x - ) 的展开式中常数项是__________. x 5、 已知 P、Q 分别是极坐标方程分别为 ρ =cosθ 与 ρ =sinθ 的 曲线上的点,则 PQ 的取值范围为__________. 6、 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组 成 没 有 重 复 数 字 的 四 位 数 的 个 数 为 ___________. 7 、 . 8、 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人 , 每人 2 张, 不同的获奖情况有_____种 (用 数字作答). 9、 设非零常数 d 是等差数列 x1,x2,x3,…,x19 的公差,随机变量 ξ 等可能地取值 x1,x2,x3,…,x19,则随机变量 ξ 的标准差 为________ 10、已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的 x 不 小于 55 的概率为 .

A? 2 ?,

3 ,

3 ,

)

? ? ? ? a ? (2, ?3, 3), b ? (?1,0,0) ,则 a, b 的夹角为

9 10 11、若多项式 x ? x = a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1) ,则 a8 ? ______.
2 10

12、将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中 标号为 1 , 2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 ___________种. 13、一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从 P 点处进,Q 点处出, 沿图中线路游览 A,B,C 三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇 点 O 外)的不同游览线路有__________种. 14、回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121, 3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,…,99.3 位回文数有 90 个:101, 111,121,…,191,202,…,999.则 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有 个.

1

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 15、甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他们将扑克 牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1) 设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况; (2) 若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3) 甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则乙胜.你认为此游戏 是否公平,说明你的理由.

16 、已知极坐标方程为 ρ cos θ + ρ sin θ - 1 = 0 的直线与 x 轴的交点为 P ,与椭圆 ? ?x=2cosθ , ? (θ 为参数)交于点 A、B. ?y=sinθ ? (1)求点 P 的直角坐标; (2)求 PA·PB 的值.

2

17、如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 1 , AA1 ? h . (1)若 h ? 2 ,求 AC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值; (2)若二面角 A1 ? BD ? C 的大小为 3 ? ,求 h 的值. 4
B1

A1 C1

D1

A B
(17 题)

D
C

18、某中学在高一开设了数学史等 4 门不同的选修课,每个学生必须选修,且只能从中选一 门.该校高一的 3 名学生甲、乙、丙对这 4 门不同的选修课的兴趣相同. (1) 求 3 个学生选择了 3 门不同的选修课的概率; (2) 求恰有 2 门选修课这 3 个学生都没有选择的概率; (3) 设随机变量 X 为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数,求 X 的分布.

3

19、如图,正方体 ABCD-A1B1C1 D1 的所有棱长都为 1,M、N 分别为线段 BD 和 B1C 上的两个 动点. (1)求线段 MN 长的最小值; D1 C1 B1 (2)当线段 MN 长最小时,求二面角 B-MN-C 的大小. A
1

N D A M B C

20、设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,…,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满 足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.

4

高二数学(理)阶段测试(三)参考答案 1、20 8、60 2、64 3、 -10 10、 4、14 5、 ? 0, 2 ? 2 2 ?

?

?

6、180

7、

2? 3

3 n 11、45 12、18 13、27 14、9 ? 10 . 8 15、 解: (1) 甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示)为(2, 3)、 (2, 4)、 (2, 4′)、 (3,2)、(3,4)、(3,4′)、(4,2)、(4,3)、(4,4′)、(4′,2)、(4′,3)、(4′,4), 共 12 种不同情况.………………………………4 分 (2) 甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4′. 2 因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 .…………………………………8 分 3 (3) 由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)(4′,2)、(4′,3)共 5 种, 5 7 即甲胜的概率 P1= ,乙获胜的概率 P2= .…………………………………12 分 12 12 5 7 又 < ,则此游戏不公平.…………………………………14 分 12 12 16、解: (1)直线过点 P(1,0),…………………………………4 分 2 x=1- t, 2 (2)直线参数方程为 (t 为参数).…………………………………6 分 2 y= t 2
9、 30|d|

? ? ? ? ?

x 2 代入椭圆方程 +y =1, 4 5 2 整理得 t + 2t-3=0,………………………………10 分 2 设点点 A、B 对应的参数分别为 t1,t2 6 则 PA·PB=|t1t2|= .……………………………… …14 分 5 17、 解:如图,以点 A 为坐标原点, AB , AD , AA1 分别 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,……………………………2 分
0 0) , D(0,, 1 0) , A1 (0,, 0 2) , C1 (1,, 1 2) , (1)当 h ? 2 时, B(1,,

2

???? ? ???? ???? ? 则 AC1 ? (1,, 1 2) , A1B ? (1 ,, 0 ? 2) , A1D ? (0,, 1 ? 2) ,
b c) , 设平面 A1 BD 的法向量 n ? (a,,

????? ? A1 B ?n ? 0, ?a ? 2c ? 0, ? 则由 ?????? 得, ? ? ?b ? 2c ? 0, ? ? A1 D ?n ? 0
5

2 1) , …………………… ………4 分 不 妨 取 c ? 1 , 则 a ? b ? 2 , 此 时 n ? (2,,


???? ? ???? ? AC1 ? n ? cos ? AC1, n > ? ????? ? 6 ? 6 ,………………………… 6 ?3 3 AC1 ? n

z
A1 D1 C1

……6 分 所 以 AC1 与 平 面 A1 B D 所 成 角 的 正 弦 值 为
B1

? ;………………………………7 分 ? ???? ???? ? 0 h) 得, A1B ? (1 (2)由 A1 (0,, ,, 0 ? h) , A1D ? (0,, 1 ? h) ,
y z) , 设平面 A1 BD 的法向量 m ? ( x,,

A B x
C
(17 题)

D

????? ? ? x ? zh ? 0, ? A1 B ?m ? 0, 则由 ?????? 得, ? ? ? y ? zh ? 0, ? ? A1 D ?m ? 0
不妨取 z ? 1 ,则 x ? y ? h ,
h 1) , 此时 m ? (h,, ………………………………10 分

y

又平面 CBD 的法向

???? 量 AA1 ? (0,, 0 h) ,
???? ???? AA1 ? m h 故 cos ? AA1, m > ? ????? ? ? 2 ,………………………………12 分 2 2 AA1 ? m 1 ? 2h ? h

解得 h ? 2 . 2

………………………………14 分
3

A4 3 18、解:(1) 3 个学生选择了 3 门不同的选修课的概率:P1 = 3= . ………………4 4 8 分 C4·C3·A2 9 (2) 恰有 2 门选修课这 3 个学生都没有选择的概率:P2= = . … ……8 分 3 4 16 3 27 (3) X=0,1,2,3,则有 P (ξ = 0 ) = 3= ;………………………………10 分 4 64 P (X= 1) = 分 C3·3 27 C3·3 9 = ; P (X= 2 ) = 3 = ;………………………………12 3 4 64 4 64
1 2 2 3 2 2 2

6

C3 1 P (X= 3 ) = 3= .………………………………14 分 4 64 ∴ X 的概率分布表为: X P 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

3

………………………………16 分

??? ? ???? ???? ? 19、解: (1)以 DA, DC , DD1 为单位正交基底,如图建立空间直角坐标系.

?

?

设 DM ? mDB, CN ? nCB1 ,则 M ? m, m,0? , N ? n,1, n ? . ∴ MN ? ? n ? m,1 ? m, n ? . ∴
2 2 ???? ?2 m? 3? 2? 1 2 2 ? 2 2 2 MN ? ? n ? m ? ? ?1 ? m ? ? n ? 2n ? 2mn ? 2m ? 2m ? 1 ? 2 ? n ? ? ? ? m ? ? ? . 2 ? 2? 3? 3 ?

???? ?

??? ? ??? ?

????

???? ?

………………………………6 分

2 m ? ? m? n? ?0 ? ? ???? ?2 1 ? ? 3 2 ∴当 ? ,即 ? 时,有 MN ? . min 3 ?m ? 2 ? 0 ?n ? 1 ? ? 3 3 ? ?
3 ∴线段 MN 长的最小值为 .………………………………8 分 3
A1

D1

z
B1 N D C M B C1

???? ? ? 1 1 1? (2)由(1)可知,当 MN 取得最小值时, MN ? ? ? , , ? . ? 3 3 3?
又 DB ? ?1,1,0? , B1C ? ? ?1,0, ?1? , ∴ MN ? DB ? ? ? ? 0 ? 0, MN ? B1C ?

A

y

??? ?

???? ?

x

???? ? ??? ?

1 1 3 3

???? ? ???? ?

1 1 ? 0 ? ? 0. 3 3
7

∴ DB ? MN , B1C ? MN .

???? ???? ???? ???? ? ∴二面角 B-MN-C 的大小等于向量 MB 与向量 NC 的夹角,即向量 DB 与向量 B1C 的
夹角.

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DB ? B1C ?1 ∵ cos ? DB, B1C ?? ??? ,………………………………12 分 ? ???? ? ? 2 DB ? B1C

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? ? DB, B1C ???0,? ? ,∴ ? DB, B1C ?? . 3
∴二面角 B-MN-C 的大小为

?
3

.………………………………16 分

20 、解: (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为: ({1},{2}) , ({1},{3}) , ({2},{3}) , ({1},{2 ,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ;………………………………4 分 (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,…,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 ,………………………………10 分 C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

B 中必不含元素 1,2,…,k,另元素 k ? 1,k ? 2,…,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 (7 分) ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 .…16 分 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

8


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