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刘佃峰制分类计数与分步计数原理ppt


第十二章

计数原理

考纲分解解读

1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理; (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解 决一些简单的实际问题. 2.排列与组合 (1)理解排列、组合的概念. (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简

单的实际问题.

3.二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理. (2)会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问

题.

知识体系构建

备考方略

排列与组合是高中数学中,从内容到方法都比较独特的一 部分.其重点是在熟练应用公式的基础上,运用两个基本原 理,解决计数应用题. 二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应 用. 本章内容高考所占比重不大,经常以选择题、填空题的形

式出现,但对思维能力要求较高,在复习中,要注意通过典
型例题,掌握分析问题的方法,总结解题规律. 备考策略如下: 立足基本知识和基本方法,恰当选取例题,构建思维模式: (1)把分类计数、分步计数原理作为复习的重点之一.

(2)注意运用分类讨论思想解决排列组合实际问题,突破
“不

重不漏”难点. (3)熟记二项式定理、二项式通项及求系数和的方法. (4)加强数学思想方法训练.数学思想方法是高考的重要内 容,分类讨论、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想在 本章试题中经常考查,如把(a+b+c)n常常转化为[(a+b)+c]n 来处理,复习中应该常归纳总结.

第一节

分类计数与分步计数原理

课前自主学案

知识梳理
1.分类加法计数原理 做一件事,完成它可以有两类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2 种不同的方法,那 么完成这件事共有N=m1+m2种不同的办法. 定义拓展:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类 办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2 种不同的 方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成 这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的办法.

2.分步乘法计数原理 做一件事,完成它需要分成两个步骤,做第一步有m1种不 同的方法,做第二步有m2种不同的方法,那么完成这件事共

有N=m1· 2种不同的方法. m
定义拓展:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……, 做 第 n 步 有 mn 种 不 同 方 法 , 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N = m1· 2· mn种不同的方法. m …·

基础自测
1.有三种不同的颜色填涂如图 3×3方格中的9个区域,要求每行、 每列的三个区域都不同颜色,则不同

的填涂方法种数共有(
A.48 C.12

)
B.24 D.6

解析:如下图所示 ,先涂第一行,a有3种涂法,b有2种涂法,c有一种涂法,

由分步计数原理,第一行的涂法数为3×2×1=6种;
第二步涂第一列的d和e,涂法数为2×1=2种; 第三步涂剩下的四个方格,涂法唯一,只有一种方法. 由分步计算原理,不同的涂法种数共有6×2=12种. 答案:C

1 2 . (2 0 0 9 年 武 汉 模 拟 )若 x ∈ A , 则 ∈ A ,就 称 A 是 伙 伴 关 系 x 集合, 合 M= 集
? ?- ? ? 1 1 1, 0, , , 1, 2, 3, 4?的 所 有 非 空 子 集 中 , 3 2 ?

具有伙伴关系的集合的个数为( A. 15 B. 16

) C. 2
8

D. 2

5

1 1 解 析 : 具 有 伙 伴 关 系 的 元 素 组 有 - 1 ,1 , 、 2 , 、 3 共 四 组 , 2 3 它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合, 个 数 为 C 4+ C 4+ C 4+ C 4= 1 5 , 选 A . 答案:A
1 2 3 4

课堂互动探究

分类加法计数原理的应用 如右图所示,在连接正八边形的三个 顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边 的三角形有________个.

解析:把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32个; 第二类,有两条公共边的三角形共有8个. 由分类加法计数原理知,共有32+8=40个. 答案:40

变式探究
1.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…, 18的18名火炬手.若从中选出3人,其编号能组成单调递增的 等差数列个数为( ) A.18 B.36 C.72 D.144 分析:等差数列的基本量有两个:首项和公差,分类的标 准可以以这两个量展开. 解析:法一:首项和公差可确定一个等差数列,以首项进 行分类. 首项为1时,公差可为1,2,…,8共8种; 首项为2时,公差可为1,2,…,8共8种; 首项为3时,公差可为1,2,…,7共7种; 首项为4时,公差可为1,2,…,7共7种; …

首项为15(或16)时,公差只能取1,数列分别为15,16,17(或
16,17,18). 由分类加法计数原理:可构成2(8+7+…+1)=72个等差数

列.
法二:首项和公差可确定一个等差数列,以公差进行分类. 公差为1时,首项可取1,2,…,16;

公差为2时,首项可取1,2,…,14;
… 公差为8时,首项可取1,2. 由分类加法计数原理:可构成16+14+12+…+2=72个等 差数列.

法三:等差数列也可由任意两项确定,由于号码的有界性, 考虑所构造数列的首尾项,a1 +a3 =2a2 ,a1 和a3 奇偶性相

同,因此共有 C2+C2=72 种. 9 9
答案:C

分步乘法计数原理的运用 有五种不同颜色给图中四个区域涂 色,每个区域涂一种颜色. (1)共有多少种不同的涂色方法?

(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,
那么共有多少种不同的涂色方法? 解析:(1)由于1至4号区域各有5种不同涂法,依分步乘法 计数原理,不同的涂法共有54=625(种). (2) 分 两 类 计 数 : 第 一 类 , 1 号 与 3 号 区 域 同 色 , 有 5×4×1×4=80种涂法;第二类,1号区域与3号区域异色, 有5×4×3×3=180种涂法. 由分类加法计数原理,共有不同的涂色方法80+180= 260

变式探究
2.把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形 涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少种不同的涂 法? 解析:依题意,可分三步(如下图)来完成, 第一步涂A区域,有5种不同涂法,第二步涂B 区域,有4种不同涂法,第三步涂C区域,有3 种不同涂法, 根据分步乘法计数原理,得不同涂色方法数 是:5×4×3=60(种).

先分类再分步计数 (2008年陕西卷)某地奥运火炬接力传递路线共分6 段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只 能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、 乙两人中产生,则不同的传递方案共有________种.(用 数字作答). 解析:分两类计数:第一类,丙传第一棒时,最后一棒 有2种方法共有2×4×3×2×1=48(种)方法; 第二类,当甲、乙之一传第一棒时,另一人传最后一棒 时,不同的方法共有2×4×3×2=48(种) 因此总共有48+48=96(种)不同方法. 答案:96

变式探究
3.(2009年成都模拟)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有 重 复 数 字 的 5 位 数 中 , 大 于 23145 且 小 于 43521 的 数 共 有 ( ) A.56个 B.57个 C.58个 D.60个

解析:万位为3的共计A=24个均满足;

万位为2,千位为3,4,5的除去23145外都满足,共3×A
-1=17个;万位为4,千位为1,2,3的除去43521外都满足 共3×A=17个;以上共计24+17+17=58个. 答案:C

分步计数时其中一步要分类

(2008年重庆卷)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯
泡足够多),要在右图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上 各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种

颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有________种(用数
字作答).

解析:第一步,先排底面A1、B1、C1,从4种颜色的灯泡
中任选3种排在顶点 A1 、B1 、C1 处,共有排法4×3×2= 24(种);

第二步,将第4种颜色的灯泡排在底面A、B、C中的任意
一个顶点处,有3种排法. 第三步,排定第4种颜色的灯泡之后,如排在A处, 如右图,若B与A1同色,则C处只有1种排法; 若B与A1不同色,则C处有2种排法. 即B、C处的不同排法有1×1+1×2=3种. 由分步乘法计数原理,不同的安装方法共 有24×3×(1×1+1×2)=216(种). 答案:216

变式探究
4.(2008年全国卷Ⅰ) 如右图,一环形花坛分成A,B,C,D

四块,现有4种不同的花供选种,要求
在每块里种1种花,且相邻的2块种不 同的花,则不同的种法总数为( A.96 B.84 C.60 ) D.48

解析:分三类:种两种花有A种种法;种三种花有2A种种法; 种四种花有A种种法.共有A+2A+A=84. 另解:按A-B-C-D顺序种花,可分A、C同色与不同色 有4×3×(1×3+2×2)=84. 答案:B

温馨提示

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基

本原理,它贯穿于全章学习的始终,体现了解决问题时将其
分解的两种常用方法,即把问题分类解决和分步解决,是本 章学习的重点.

2.两个原理的联系与区别
共同点:都是计算完成一件事的所有不同的方法种数. 不同点:一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成一 件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论 哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成 这件事情的方法种数,就用分类加法计数原理;如果完成一 件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依 次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各



若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步乘
法计数原理. 简而言之:两个原理都是指完成一件事的方法种数而言 的.区别在于:(1)分类计数原理是“分类”,分步计数原 理是“分步”;(2)分类计数原理中每类办法中的每一种方 法都能独立完成一件事,分步计数原理中每步中每种方法都 只能做这件事的一步,不能独立完成这件事. 3.对两个原理的诠释 分类加法计数原理中,“完成一件事,有n类办法”,是说 每种办法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件事, 同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类

办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一种方
法,

都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用分类 加法计数原理,否则不可以. 分步乘法计数原理中,“完成一件事,需要分成n个步骤”, 是说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤,彼此间也不

能有重复和遗漏.
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需 要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,

即相对于前一步的每一种方法,下一步都有mi种不同的方法,
那么完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数原理.

题型展示台

如下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们 称这样的图案为L形,那么在由3×5个小方格组成的方格纸 上可以画出不同位置的L形图案的个数有________.(注:其 他方向的也是L形)

解析:每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案,

该图中共有8个这样的小正方形.故可画出不同的位置的L型
图案的个数为4×8=32. 答案:32

(2009年浙江卷)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,
若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是________(用数字作答). 解析:对于7个台阶上每一个只站一人,则有A种;若有 一个台阶有2人,另一个是1人,则共有2 C1A
3 7

种,因此共有不

同的站法种数是336种. 答案:336






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