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广西河池市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年广西河池市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.命题“? x∈R,sinx+cosx≤ ”的否定是( ) A.? x∈R,sinx+cosx> B.? x∈R,sinx+cosx≤ C.? x∈R,sinx+cosx≥ D.? x∈R,sinx+cosx> 2.设 a>b>0,c≠0,则下列不等式恒成立的为( ) A. > B.ac>bc C. > D. >

3.下列各组空间向量相互垂直的是( ) A. =(0,1,﹣2) B. , =(2,0,﹣1) C. =(0,﹣1,﹣2) , =(0,﹣2,4) D. 4.在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,A= A.4 B.2 C.3 D.2

=(3,﹣1,1) , =(﹣1,0,3) =(3,﹣1,1) , =(﹣3,1,﹣1) ,C= ,a=2 ,则 b 等于( )

5.在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=﹣2, <d< ,则数列{an}的前 n 项和为 Sn 中最小 的是( ) A.S5 B.S6 C.S7 D.S8 6.“x≤2 或 x≥5”是“x2﹣7x+10>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.抛物线 y= ( ) A.6 B.5 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,点 O 为坐标原点,若|PF|=5,则|PO|等于

C.5

D.4 =3,若 an≤100,则 n 的最大值为( )

8.已知数列{an}中,a1=2, A.4 B.5 C.6 D.7

9.已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=ax+y(a>0)取得最小值时

的最优解有无穷个,则实数 a 等于( A.1 B. C. D.2



10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,面积为 S,若 S≥ ab,b2+ac=a2+c2, 则 a:b:c 等于( ) A.3:4:5 B.1:1:

C.1:



D.1:

:2

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11.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形,∠BAD= ∠ADC=90°,E 为 CB 的中点,AB=PA=AD=2CD,则 PA 与平面 PDE 所成的角的正弦值为 ( )

A.

B.

C.

D.

12.已知点 P(1, )是椭圆 =3 ,则直线 AB 的斜率为( B.﹣ C.

+ ) D.

=1 上一点,点 A,B 是椭圆上两个动点,满足

+

A.﹣

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+ 14.在△ABC 中,若 A= , ? ,则 a4= . .

=﹣2,则△ABC 的面积 S=

15.已知点 F(

,0)是双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点,且点 F 到双曲线的 .

渐近线的距离等于 2,则过点 F 且与此双曲线只有一个交点的直线方程为 16.给出以下命题: ①方程 4x2﹣8x+3=0 的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率; ②若向量 =(m,﹣2,3)与 =(5,m2,1)的夹角为锐角,则﹣ <m<3;

③在正项等差数列{an}中, ④当 x>0 时,函数 f(x)=x2+ 其中正确命题的序号是

+

=1;

﹣8x﹣ +22 的最小值是 4. .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知 p:0≤m≤3,q: (m﹣2) (m﹣4)≤0,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求实数 m 的 取值范围. 18.已知双曲线 M: ﹣ =1 与抛物线 N:y2=2px(p>0)的一个交点为 A(4,m) .

(1)求抛物线 N 的标准方程;
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(2)设双曲线 M 在实轴上的顶点为 C、D,求 ? 的值. 19.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2+n,数列{bn}满足 b1=1,bn+1=( (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{an}满足 cn=an(bn+1) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 20.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 =

)an.

(1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ABC 面积最大时 a,b 的值. 21.如图,四棱锥 B﹣ADEF 中,平面 ABD⊥平面 ADEF,其中 AB⊥AD,ADEF 为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1. (1)若 C 是线段 DF 的中点,求证:DF⊥平面 ABC; (2)若二面角 A﹣BF﹣D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.

22.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

,0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

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2015-2016 学年广西河池市高二(上)期末数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.命题“? x∈R,sinx+cosx≤ ”的否定是( ) A.? x∈R,sinx+cosx> B.? x∈R,sinx+cosx≤ C.? x∈R,sinx+cosx≥ D.? x∈R,sinx+cosx> 【考点】命题的否定. 【分析】由带量词的命题否定规则可得. 【解答】解:∵命题“? x∈R,sinx+cosx≤ ”是一个全称命题, 又∵全称命题的否定是特称命题, ∴原命题的否定为“? ∈R,sinx+cosx> ” 故选:D 2.设 a>b>0,c≠0,则下列不等式恒成立的为( A. > B.ac>bc C. > D. > )

【考点】不等式的基本性质. 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论. 【解答】解:∵a>b>0,c≠0, ∴ , ,ac 与 bc, 与 的大小关系与 c 的正负有关系,

故选:C. 3.下列各组空间向量相互垂直的是( ) A. =(0,1,﹣2) B. =(3,﹣1,1) , =(2,0,﹣1) , =(﹣1,0,3) C. =(0,﹣1,﹣2) , =(0,﹣2,4) D. =(3,﹣1,1) , =(﹣3,1,﹣1) 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【分析】根据 ? =0,即可判断 ⊥ 成立. 【解答】解:对于 A, ? =0+0+2=2≠0,∴ ⊥ 不成立; 对于 B, ? =﹣3+0+3=0,∴ ⊥ 成立; 对于 C, ? =0+2﹣8=﹣6≠0,∴ ⊥ 不成立; 对于 D, ? =﹣9﹣1﹣1=﹣11≠0,∴ ⊥ 不成立. 故选:B.

4.在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,A= A.4 B.2 C.3 D.2

,C=

,a=2

,则 b 等于(



【考点】正弦定理.
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【分析】由已知利用三角形内角和定理可得 B 的值,利用正弦定理即可求 b 的值. 【解答】解:∵A= ∴B=π﹣A﹣C= , =4. ,C= ,a=2 ,

∴由正弦定理可得:b= 故选:A.

5.在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=﹣2, <d< ,则数列{an}的前 n 项和为 Sn 中最小 的是( ) A.S5 B.S6 C.S7 D.S8 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由题意和等差数列的性质可得前 5 项为负数,从第 6 项开始为正数,可得结论. 【解答】解:∵在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=﹣2, <d< , ∴数列{an}是递增数列,a5=a1+4d<0,a6=a1+5d>0, ∴等差数列{an}中前 5 项为负数,从第 6 项开始为正数, ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn 中最小的是 S5, 故选:A 6.“x≤2 或 x≥5”是“x2﹣7x+10>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】x2﹣7x+10>0,解得 x>5 或 x<2.即可判断出结论. 【解答】解:x2﹣7x+10>0,解得 x>5 或 x<2. ∴“x≤2 或 x≥5”是“x2﹣7x+10>0”的必要不充分条件. 故选:B.

7.抛物线 y=

的焦点为 F,点 P 在抛物线上,点 O 为坐标原点,若|PF|=5,则|PO|等于

( ) A.6 B.5 C.5 D.4 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点和准线方程,设出 P 的坐标,运用抛物线的定义,可得|PF|=d (d 为 P 到准线的距离) ,求出 P 的坐标,即可得到所求值. 2 【解答】解:抛物线 x =4y 的焦点 F(0,1) ,准线 l 为 y=﹣1, P m n 设抛物线的点 ( , ) , 则由抛物线的定义,可得|PF|=d(d 为 P 到准线的距离) , 即有 n+1=5, 解得,n=4, ∴P(±4,4) ,
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∴|PO|=4 故选:D.



8.已知数列{an}中,a1=2, A.4 B.5 C.6 D.7

=3,若 an≤100,则 n 的最大值为(



【考点】数列递推式. 【分析】 =3,可得数列{an﹣1}是公比为 3,首项为 1 的等比数列,利用等比数列

的通项公式即可得出. 【解答】解:∵ =3,∴数列{an﹣1}是公比为 3,首项为 1 的等比数列,

∴an=3n﹣1+1, ∵a5=82,a6=244, ∴an≤100,则 n 的最大值为 5. 故选:B.

9.已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=ax+y(a>0)取得最小值时

的最优解有无穷个,则实数 a 等于( A.1 B. C. D.2



【考点】简单线性规划. 【分析】由题意作出可行域,变形目标函数,平移直线 y=﹣ax,结合直线重合斜率相等可 得结论.

【解答】解:作出不等式组

所对应的可行域(如图△ABC) ,

变形目标函数可得 y=﹣ax+z,a>0,平移直线 y=﹣ax 可知, 当直线和 AB(即直线 x+2y﹣2=0)重合时,会使得目标函数取得最小值时的最优解有无穷 个, 故﹣a=﹣ ,解得 a= 故选:C

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10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,面积为 S,若 S≥ ab,b2+ac=a2+c2, 则 a:b:c 等于( ) A.3:4:5 B.1:1:

C.1:



D.1:

:2

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】利用三角形面积公式表示出 S,代入已知不等式确定出 sinC 的值,进而求出 C 度 数,利用余弦定理列出关系式,求出 B 的度数,进而确定出 A 的度数,求出 a,b,c 的比 值即可. 【解答】解:∵S= absinC,且 S≥ ab, ∴ absinC≥ ab,即 sinC≥1, ∵﹣1≤sinC≤1, ∴sinC=1,即 C= ,

∵b2+ac=a2+c2,即 a2+c2﹣b2=ac, ∴cosB= = ,即 B= ,

在 Rt△ABC 中,A= 则 a:b:c=1: 故选:D.

,即 a= c,

:2,

11.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形,∠BAD= ∠ADC=90°,E 为 CB 的中点,AB=PA=AD=2CD,则 PA 与平面 PDE 所成的角的正弦值为 ( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出 PA 与平面 PDE 所成的角的正弦值. 【解答】解:以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角 坐标系, 则 P(0,0,2) ,D(2,0,0) ,B(2,1,0) ,E(1, ,0) ,A(0,0,0) , =(0,0,2) , =(﹣2,0,2) , =(﹣1, ,0) ,

设平面 PDE 的一个法向量为 =(a,b,c) ,



,取 a=3,得 =(3,2,3) ,

设 PA 与平面 PDE 所成的角为 θ, sinθ= = =

∴PA 与平面 PDE 所成的角的正弦值为 故选:C.



12.已知点 P(1, )是椭圆 =3 ,则直线 AB 的斜率为( B.﹣ C.

+ ) D.

=1 上一点,点 A,B 是椭圆上两个动点,满足

+

A.﹣

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由向量知识求出 A,B 代入椭圆方程,利用点差法能求出直线 AB 的斜率. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
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,把

∵ ∴ ∴

+

=3

,点 P(1, ) , =3(﹣1,﹣ ) , ,

把 A,B 代入椭圆方程,得: , 两式相减,得:3(x1+x2) (x1﹣x2)+4(y1+y2) (y1﹣y2)=0, ∴ =﹣ ,

∵x1+x2=﹣1, =﹣



∴ 故选:A.

=﹣ .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+ 【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】由 a1=1,an+1=an+ ,可得 a2=a1+ , . =2,同理可得:a3,a4. ,则 a4= .

【解答】解:∵a1=1,an+1=an+ ∴a2=a1+ 故答案为:

=2,同理可得:a3= ,a4=

14.在△ABC 中,若 A=



?

=﹣2,则△ABC 的面积 S=



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】先根据向量的数量积公式求出| 【解答】解:∵△ABC 中,A= ∴ ∴| ? =| |?| |=4, |cos ,

|? | ?

|=4,再根据三角形的面积公式计算即可.

=﹣2,

=﹣2,

|?|

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∴S= |

|?| .

|sinA= ×4×

=

故答案为:

15.已知点 F(

,0)是双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点,且点 F 到双曲线的 或 y=

渐近线的距离等于 2, 则过点 F 且与此双曲线只有一个交点的直线方程为 y=2x﹣2 ﹣2x+2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 设双曲线 ﹣

=1 的渐近线方程为 y=± x, 运用点到直线的距离公式可得 b=2,

解方程可得 a=1,求得渐近线的斜率,由直线与渐近线平行时只有一个交点,可得所求直线 的方程. 【解答】解:设双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x,

由题意可得 c= ,即 a2+b2=5, 点 F 到双曲线的渐近线的距离等于 2, 即为 =2,解得 b=2,a=1,

双曲线的方程为 x2﹣

=1,

渐近线方程为 y=±2x, 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个交点. 即有直线的方程为 y=±2(x﹣ ) . y=2x 2 y= 2x 2 故答案为: ﹣ 或 ﹣ + . 16.给出以下命题: ①方程 4x2﹣8x+3=0 的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率; ②若向量 =(m,﹣2,3)与 =(5,m2,1)的夹角为锐角,则﹣ <m<3;

③在正项等差数列{an}中, ④当 x>0 时,函数 f(x)=x2+

+

=1;

﹣8x﹣ +22 的最小值是 4.

其中正确命题的序号是 ①②③④ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①求出方程的根,结合椭圆和双曲线离心率的关系进行判断. ②根据向量数量积的应用进行求解.
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③根据等差数列的性质进行求解. ④利用换元法结合基本不等式以及一元二次函数的性质进行求解. 【解答】解:①由 4x2﹣8x+3=0 得 x= 或 x= ,即方程的两个根可分别作为椭圆与双曲线 的离心率;故①正确, ②若向量 =(m,﹣2,3)与 =(5,m2,1)的夹角为锐角,则 向不相同) , ∴5m﹣2m2+3>0,即 2m2﹣5m﹣3<0,得﹣ <m<3;故②正确,

>0, (∵两个向量方

③在正项等差数列{an}中, ④当 x>0 时,函数 f(x)=x2+

+

=

=1,故③正确;

﹣8x﹣ +22=(x+ )2﹣8(x+ )+20,

设 t=x+ ,则 t≥2,此时函数等价为 y=t2﹣8t+20=(t﹣4)2+4, 故当 t=4 时,函数取得的最小值 4,故④正确, 故答案为:①②③④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知 p:0≤m≤3,q: (m﹣2) (m﹣4)≤0,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求实数 m 的 取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】先求出关于 q 中 m 的范围,结合 p∧q 为假,p∨q 为真,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解:对 q:由(m﹣2) (m﹣4)≤0, 解得:2≤m≤4, ∵p∧q 为假,p∨q 为真, ∴p,q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 0≤m<2, 若 p 假 q 真,则 3<m≤4, ∴m∈[0,2)∪(3,4].

18.已知双曲线 M:



=1 与抛物线 N:y2=2px(p>0)的一个交点为 A(4,m) .

(1)求抛物线 N 的标准方程; (2)设双曲线 M 在实轴上的顶点为 C、D,求

?

的值.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 (1)将 A 的坐标代入双曲线的方程,可得 m,再将 A 的坐标代入抛物线的方程可 p 得 ,即可得到抛物线的方程; (2)求得双曲线的顶点 C,D 的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,计算即可得到所求 值. 【解答】解: (1)将 A(4,m)代入双曲线的方程可得

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=1,解得 m=±



再将 A(4,± 15=8p,解得 p= 则 y2= x;

) ,代入抛物线的方程可得 ,

(2)双曲线 M 在实轴上的顶点为 C(﹣2,0) 、D(2,0) , 又 A(4,m) , 则 ? =(﹣2﹣4,﹣m)?(2﹣4,﹣m)=(﹣6)×(﹣2)+m2 =12+15=27. 19.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2+n,数列{bn}满足 b1=1,bn+1=( )an. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{an}满足 cn=an(bn+1) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 n=1 时,a1=S1;n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得数列{an}的通项公式;再由指 数的运算性质,可得数列{bn}的通项公式; (2)求得 cn=an(bn+1)=2n?2n=n?2n+1,再由数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列 的求和公式,化简整理,即可得到所求和. 【解答】解: (1)n=1 时,a1=S1=2; n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣(n﹣1)2﹣(n﹣1) =2n,对 n=1 也符合, 则数列{an}的通项公式为 an=2n; bn+1=( )an,即有 bn+1=2n, 可得 bn=2n﹣1; (2)cn=an(bn+1)=2n?2n=n?2n+1, 数列{an}的前 n 项和 Tn=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1, 2Tn=1?23+2?24+3?25+…+n?2n+2, 两式相减可得,﹣Tn=22+23+24+…+2n+1﹣n?2n+2, = ﹣n?2n+2,

化简可得,Tn=(n﹣1)?2n+2+4. 20.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ABC 面积最大时 a,b 的值. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数; =

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(2)利用余弦定理列出关系式,将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值, 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值,以及此时 a 与 b 的值即可. 【解答】解: (1)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: = ,

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即 4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) , ∵S= absinC= ab≤ , ,此时 a=b= . ,

∴当 a=b 时,△ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ABC 的面积最大为

21.如图,四棱锥 B﹣ADEF 中,平面 ABD⊥平面 ADEF,其中 AB⊥AD,ADEF 为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1. (1)若 C 是线段 DF 的中点,求证:DF⊥平面 ABC; (2)若二面角 A﹣BF﹣D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)推导出 AC⊥DF,AB⊥AD,从而 AB⊥平面 ADEF,进而 AB⊥DF,由此能 证明 DF⊥平面 ABC. (2)设 AB=a,以 F 为原点,AF 为 x 轴,FQ 为 y 轴,过 F 作平面 ADEF 的垂线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 AB 的长. 【解答】证明: (1)在直角梯形 ADEF 中,AD=AF=2, ∵C 是线段 DF 的中点,∴AC⊥DF, 又∵平面 ABD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,
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∴AB⊥平面 ADEF,DF? 平面 ADEF, ∴AB⊥DF, 又 AB∩AC=A,∴DF⊥平面 ABC. 解: (2)设 AB=a,以 F 为原点,AF 为 x 轴,FQ 为 y 轴, 过 F 作平面 ADEF 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 F(0,0,0) ,A(﹣2,0,0) ,E( ,0,0) ,D(﹣1, ∴ =(1,﹣ ,0) , =(2,0,﹣a) , ∵EF⊥平面 ABF,∴平面 ABF 的法向量为 =(0,1,0) , BFD = x y z 设平面 的法向量为 ( , , ) , 则 ,取 y=1,得 =( ) ,

,0) ,B(﹣2,0,a) ,

∵二面角 A﹣BF﹣D 的平面角的余弦值为 ,

∴|cos<

>|=

=

= ,解得 a=



∴AB=



22.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

,0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【分析】 (1)由题意可设椭圆的标准方程为:

,可得



解得即可得出. (2)当直线 l 的向量存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m,与椭圆方程联立化为(1+2k2) x2+4kmx+2m2﹣4=0,由△>0,化为 2+4k2﹣m2>0,设 A(x1,y1) ,

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B(x2,y2) ,P(x0,y0) .可得 x0=x1+x2,y0=y1+y2.代入椭圆方程.利用点到直线的距离 公式可得:点 O 到直线 l 的距离 d= = 即可得出.当直线 l 无斜率时时,由

对称性可知:点 O 到直线 l 的距离为 1.即可得出. 【解答】解: (1)由题意可设椭圆的标准方程为: ,



,解得 a=2,b2=2,

∴椭圆 M 的方程为



(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m, 联立 ,化为(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,

△=16k2m2﹣4(1+2k2) (2m2﹣4)>0,化为 2+4k2﹣m2>0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) . ∴x0=x1+x2= ,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m= .

∵点 P 在椭圆 M 上,∴





+

=1,化为 2m2=1+2k2,满足△>0.

又点 O 到直线 l 的距离 d=

=

=

=

.当且仅当

k=0 时取等号. 当直线 l 无斜率时时,由对称性可知:点 P 一定在 x 轴上,从而点 P 的坐标为(±2,0) , 直线 l 的方程为 x=±1, ∴点 O 到直线 l 的距离为 1.∴点 O 到直线 l 的距离的最小值为 .

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2016 年 7 月 30 日

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