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2.4.1 抛物线及其标准方程


2.4.1

抛物线及其标准方程

引入课题:抛物线

知识探究:抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线.

探求:求抛物线方程(建、设、限、代、化)
<

br />以过F且垂直于 l 的直线为x
轴,

定直线

y

垂足为K.以F,K的中点O为
坐标原点建立直角坐标系
K l

p O

定点
F x

xOy.

标准方程:y2=2px
焦点到准线的距 离

知识探究:焦点位置对方程的影响 根据上述方程的推导过程,试写出下列抛物线的方程 .

y

y

y x O x




O x O



知识点:抛物线的标准方程
图象 开口 标准方程 焦点 准线

﹒ o ﹒o ﹒ o
y

x

向右 y2=2px(p>0)

y

x

2=-2px(p>0) y 向左

y

x

向上 x2=2py(p>0)

y


o

x

向下 x2=-2py(p>0)

(1)方程中 一次项系 数为焦点 非零坐标 的4倍; (2)准线与 焦点非零 坐标互为 相反数.

典例分析

1、定型 2、定量

【解析】(1)焦点在x轴上,且(-2)×4=-8
∴方程为y2=-8x; (2)焦点在y轴上,且1×4=4 ∴方程为x2=4y;

典例分析
(3)过点A(2,3); 方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0), 将点A(2,3)的坐标代入,得 32=m· 2或22=n· 3,

【解析】 点A在第一象限,∴抛物线开口向右或者向上

典例分析

【解析】

跟踪训练
根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)经过点(-3,-1); 开口向左或向下

(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
(4,0),(0,-3)为 抛物线的焦点

典例分析
已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,
又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时
y 利用定义转化 d

P点坐标.

P A

【解析】
O l F

x

跟踪训练
已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,

2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
( ).

答案:A

典例分析

跟踪训练
抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36 短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3, 求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 焦点在x轴上 答案:抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,

其准线方程分别为x=-3和x=3.

典例分析
过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A、B,若
|AB|=7,求AB的中点M到抛物线准线l的距离.
焦点弦长,联想定义 A1

【解析】

y

A

N
l B1 O

M F B x

跟踪训练
若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B 两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长. 解:由已知,抛物线的准线方程为x=-1 则AB的中点到准线的距离为3 由抛物线定义可知,|AB|=2×3=6.

典例分析
一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的
隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m, 求使卡车通过的a的最小整数值.
利用方程 y O x B

【解析】

A

典例分析

跟踪训练
某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5米时,

水面宽8米,一木船宽4米,高2米,载货的木船露在水
面上的部分为0.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少

时,木船开始不能通航?
解:以桥的拱顶为坐标原点, 拱高所在的直线为y轴 建立直角坐标系. 设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)

由题意知A(4,-5)在抛物线上,

跟踪训练

归纳小结
1.求抛物线方程,通常用待定系数法,

若能确定抛物线的焦点位置,则可设出
抛物线的标准方程,求出p值即可.

若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.
焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),

焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).

归纳小结
2.抛物线的定义在解题中的作用, 就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的转化,另外要注意平面几何 知识的应用,如两点之间线段最短,三角形 中三边间的不等关系,点与直线上点的连线 线段最短等.

归纳小结
3.在建立抛物线的标准方程时,

常以抛物线的顶点为坐标原点,
对称轴为一条坐标轴建立坐标系, 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点,方程不含常数项, 形式更为简单,便于应用.

当堂训练
C

2.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心, 以|PF|为半径的圆与准线l( B ) A.相交 C.相离 B.相切 D.位置由F确定

当堂训练
3.经过点P(2,4)的抛物线的标准方程是( C ) A.y2=8x C.y2=8x或x2=y B.x2=y D.无法确定


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