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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第58讲 双曲线 Word版含解析


第58讲 双曲线

1.(2012· 泉州四校二次联考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( C ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 解析:双曲线的方程 2x2-y2=8 可化为 - =1,则 a=2,故实轴长 2a=4,故选 C. 4 8 2.(2012· 北京市西城区第一学期期末)若双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0),则

实数 k=( B ) 1 1 A. B. 16 8 1 1 C. D. 4 2 1 1 解析:因为双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0),故 1+ =9,所以 k= ,故选 B. k 8 3.(2013· 四川省成都 4 月模拟)已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3, 则|PA|的最小值为( C ) 1 3 A. B. 2 2 7 C. D.5 2 解析:由|PA|-|PB|=3 知 P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线一支(以 B 为焦点的一 3 7 支),因为 2a=3,2c=4,所以 a= ,c=2,所以|PA|min=a+c= ,故选 C. 2 2 4.(2012· 唐山市上期期统考 )已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0), (4,0),则双曲线方程为( D ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 8 24 12 4 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 24 8 4 12 y2 x2 y2 解析:根据题意设双曲线方程为 x2- =λ(λ>0),即 - =1, 3 λ 3λ 则 a2=λ,b2=3λ, 所以 c2=a2+b2=4λ=16?λ=4, x2 y2 所以双曲线方程为 - =1,故选 D. 4 12 x2 y2 5.(2012· 山东省青岛市 3 月质量检测)已知双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± 3x, a b 则它的离心率为 2 . b b b 解析:由题知 = 3,则( )2=3,故 e= 1+? ?2=2. a a a x2 y2 6.(2012· 广东省高州市第一次模拟)已知 F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,PQ 是过 16 9 焦点 F1 的弦,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值是 16 . 解析:由双曲线方程得,2a=8. 由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=8,① |QF2|-|QF1|=2a=8,② ①+②,得 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16, 所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. x2 y2 7.(2013· 武昌区 2 月调研)双曲线 - =1 的右顶点为 A, 右焦点为 F, 过点 F 平行于 9 16

双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

32 15

.

4 解析:双曲线右顶点 A(3,0),右焦点 F(5,0),双曲线一条渐近线的斜率是 ,直线 FB 的 3 4 32 1 方程是 y= (x-5),与双曲线方程联立解得点 B 的纵坐标为- ,故△AFB 的面积为 3 15 2 1 32 32 ×|AF||yB|= ×2× = . 2 15 15 8.求与圆(x+2)2+y2=2 外切,并且过定点 B(2,0)的动圆圆心 M 的轨迹方程. 解析:圆(x+2)2+y2=2 的圆心为 A(-2,0),半径为 2. 设动圆圆心为 M,半径为 r.

?|MA|=r+ 2 由已知条件,知? ?|MA|-|MB|= 2, ?|MB|=r 所以点 M 的轨迹为以 A、B 为焦点的双曲线的右支, 2 7 且 a= ,c=2,所以 b2= . 2 2 2 x y2 所以 M 点的轨迹方程为 - =1(x>0). 1 7 2 2
→ → 9.已知两定点 F1(- 2,0),F2( 2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2 的点 P 的轨迹是曲 线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点. (1)求 k 的取值范围; → (2)如果|AB|=6 3,求 k 的值. 解析:(1)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1(- 2,0),F2( 2,0)为焦点的双曲线 的左支,且 c= 2,a=1,易知 b=1, 故双曲线 E 的方程为 x2-y2=1(x<0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组: ?y=kx-1 ? ? 2 ,消去 y 得(1-k2)x2+2kx-2=0, 2 ?x -y =1 ? 又已知直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,有

?Δ=?2k? +8?1-k ?>0 ? 2k <0 ?x +x =1- -k -2 ? ?x x =1-k >0
2 2 1 2 2 1 2 2

1-k2≠0

,解得- 2<k<-1.

(2)因为|AB|= 1+k2· |x1-x2| 2 2 = 1+k · ?x1+x2? -4x1x2 -2k 2 -2 = 1+k2· ? ? -4· 2 1-k2 1-k =2 ?1+k2??2-k2? . ?1-k2?2

?1+k2??2-k2? =6 3, ?1-k2?2 整理后得 28k4-55k2+25=0, 5 5 5 所以 k2= 或 k2= ,但- 2<k<-1,所以 k=- . 7 4 2 依题意得 2


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