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高中数学:必修2课件--4.2.1《直线与圆的位置关系》


4.2.1直线与圆的位置关系

实例引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响?
y

为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度.

港口

O

轮船

x

实例引入
这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:

x ? y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

y 港口

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点.
O

轮船

x

直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

(1)

(2)

(3)

直线与圆的位置关系

在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关 系?现在,如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系? 先看几个例子,看看你能否从例子中总结 出来.

(1)

(2)

(3)

典型例题
3 例1 如图,已知直线l: x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.

典型例题
3 例1 如图,已知直线l: x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得:

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0.
消去y,得:

x 2 ? 3x ? 2 ? 0
因为: ? ? (?3) 2 ? 4 ? 1? 2 =1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共 点.

典型例题
3 例1 如图,已知直线l: x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0可化为 x ? ( y ?1) ? 5.
2 2

2

2

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离

5,点C (0,1)到

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 32 ? 12

5 ? ? 5 10

所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.

典型例题
3 例1 如图,已知直线l: x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解: 由 x 2

? 3x ? 2 ? 0 ,解得:

x1 ? 2, x2 ? 1


x1 ? 2,代入方程①,得 y1 ? 0 x2 ? 1



x1 ? 把, x2 ? 1代入方程① ,得 y2 ? 3. 2
所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是:

A(2,0),B(1,3)

典型例题
例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得:

x ? ( y ? 2) ? 25
2 2

如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为

4 5 2 5 ?( ) ? 5 2
2

即圆心到所求直线的距离为

5.

典型例题
例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:因为直线l 过点 M (?3,?3) ,
所以可设所求直线l 的方程为:y ? 3 ? k ( x ? 3)

即: kx ? y ? 3k ? 3 ? 0
根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离:

d?
因此:

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ?1
k ?1
2

| 2 ? 3k ? 3 |

? 5

典型例题
例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:即: 3k ? 1 |? |

5 ? 5k 2
2

两边平方,并整理得到: 2k ? 3k ? 2 ? 0

1 解得: k ? ? ,或k ? 2 2
所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为: 1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2

即:

x ? 2 y ? 9 ? 0,或2x ? y ? 3 ? 0

直线与圆的位置关系

回顾我们前面提出的问题:如何用直线和 圆的方程判断它们之间的位置关系?
判断直线与圆的位置关系有两种方法:

方法一:判断直线l与圆C的方程组成的方程组是 否有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.有两组实 数解时,直线l与圆C相交;有一组实数解时,直线l与 圆C相切;无实数解时,直线l与圆C相离.
方法二:判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半 径r的关系.如果d< r ,直线l与圆C相交;如果d= r , 直线l与圆C相切;如果d> r ,直线l与圆C相离.

知识小结
有无交点,有几个.

判断直线与圆 的位置关系

直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解,有几个解.

判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系(大 于、小于、等于).


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