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02 函数的概念及其基本性质(教师版)


函数的概念及其基本性质 考查内容:函数的概念及其基本性质。 补充内容:抽象函数的基本性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性,用数形结 合思想研究分段函数。 (天津卷经典考题模型)
2 ? ?1 ? x , x ? 1 1、设函数 f ?x ? ? ? 2 ,则 ? x ? x ? 2 , x ? 1 ?

? 1 ? f? ? 的值为( A ) ? f

(2) ?

A、

15 16

B、 ?

27 16

C、

8 9

D、 18

?1? 2、已知函数 f ?x? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? x? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( C ) ? ?

A、 ?? 1,1?

B、 ?0,1?

C、 ?? 1,0? ? ?0,1?

D、 ?? ?,?1? ? ?1,???
f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 的解集为 ( D ) x

3、 设奇函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上为增函数, 且 f ?1? ? 0 , 则不等式 A、 ??1,0? ? ?1,??? C、 ?? ?,?1? ? ?1,??? B、 ?? ?,?1? ? ?0,1? D、 ?? 1,0? ? ?0,1?

4、下列函数既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是( C ) A、 f ( x) ? sin x B、 f ( x) ? ? x ? 1 C、 f ( x) ? ln
2? x 2? x

D、 f ( x) ?

1 x ? a ? a? x ? 2

5、已知定义域为 R 的函数 f ?x? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ? x ? 8? 为 偶函数,则( D ) A、 f ?6? ? f ?7 ? B、 f ?6? ? f ?9? C、 f ?7 ? ? f ?9? D、 f ?7 ? ? f ?10?

6、若函数 f ( x) ? 3 x ? 3? x 与 g ( x) ? 3 x ? 3? x 的定义域均为 R ,则( D ) A、 f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C、 f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数 B、 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D、 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

7、设函数 f ? x ? 和 g ?x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( A ) A、 f ?x? ? g ?x? 是偶函数 B、 f ?x? ? g ?x? 是奇函数
-1-

C、 f ?x? ? g ?x? 是偶函数

D、 f ?x? ? g ?x? 是奇函数

8、函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( D ) A、 f ? x ? 是偶函数 B、 f ? x ? 是奇函数 C、 f ( x) ? f ( x ? 2) D、 f ( x ? 3) 是奇函数 9、 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,

? ? 5 ?? 则 f? ? f ? 2 ?? ? 的值是( A ) ? ? ??
A、0 B、

1 2

C、1

D、

5 2

10、定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在 ??1,0? 上单调递增,设 a ? f (3) ,
b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是( D )

A、 a ? b ? c

B、 a ? c ? b

C、 b ? c ? a

D、 c ? b ? a

11、定义在 R 上的函数 f ?x? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函 数 f ?x ? ( B ) A、在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B、在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C、在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D、在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 12、定义在 R 上的偶函数 f ?x? 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ,都 有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 成立,则当 n ? N * 时,有( C ) A、 f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) C、 f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) B、 f (n ?1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D、 f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

13、设函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 ( s, f (t ))( s, t ? D ) 构 成一个正方形区域,则 a 的值为( B ) A、 ? 2 B、 ?4 C、 ?8 D、不能确定
-2-

解析: | x1 ? x2 |? f max ( x) ,

b2 ? 4ac 4ac ? b2 , | a |? 2 ?a , a ? ?4 。 ? a2 4a

14、对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且

x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,下列结论中正确的是( C )
A、若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 B、若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,且 g ( x ) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C、若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 D、若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 解析:对于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有 ?? ?
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? , x2 ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k ,有 ?? ? k ? ? ,不妨设 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 , x2 ? x1

即有 ??1 ? k f ? ?1 , ?? 2 ? kg ? ? 2 ,因此有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 , 因此有 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 。 15、给出下列三个命题: ①函数 y ?

1 1 ? cos x x 与 y ? ln tan 是同一函数; ln 2 1 ? cos x 2 1 g ? x ? 的图 2

②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称, 则函数 y ? f ? 2 x ? 与 y ? 象也关于直线 y ? x 对称;

③若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则函数 f ? x ? 为周期函数。其中真命题 是( C ) A、①② B、①③ C、②③ D、②

16、若函数 f ? x ? 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ( x ? 1) 。若 f ( a ) ? ?2 ,则实数
a?

。答案:—1
-3-

17、设定义在区间 2 2?a ? 2,2 a ?2 上的函数 f ?x ? ? 3 x ? 3? x 是奇函数,则实数 a 的值 是 。答案:2

?

?

18、 定义: 区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 , 已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b ? , 值域为 ?1, 2 ? , 则区间 ? a, b ? 的长度的最大值与最小值的差为 答案:1。 19、若函数 y ? mx2 ? x ? 5 在 ? ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是
? 1? 答案: ?0, ? ? 4? 。





20、对于任意 a ? ?? 1,1?,函数 f ?x? ? x 2 ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,那么 x 的取值范围是 。答案: (??,1) ? (3,??) 。

21、 (2011 上海卷理工类 13)设 g ( x ) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数,若函数
f ( x ) ? x ? g ( x ) 在区间 [3, 4] 上的值域为 [ ?2, 5] ,则 f ( x) 在区间 [?10,10] 上的

值域为

。答案: ?? 15,11? 。

22、 (分段函数的概念及其实际应用)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单
? c ,x ? A ? ? x 位:分钟)为 f ( x ) ? ? 。 ( A、c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟, c ? ,x ? A ? ? A

组装第 A 件产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别 是 。

解析:由条件可知, x ? A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段 函数,即 f (4) ?
c 60 ? 30 ? c ? 60 , f ( A) ? ? 15 ? A ? 16 。 4 A

?? log2 x, x ? 0 23、 (分段函数与解不等式)已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? 0 的 2 ?1 ? x , x ? 0
解集为
-4-

。答案: (?1,1)

?1 ?x ,x ? 0 1 ? 24、 (分段函数与解不等式)若函数 f ?x ? ? ? ,则不等式 f ( x) ? 的解集 x 3 1? ?? ? ? ,x ?0 ? ?? 3 ?
为 。答案: ? ?3,1?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 25、 (分段函数与解不等式)设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x ) ? f (1) 的解集 ? x ? 6, x ? 0 ,
是( A ) A、 (?3,1) ? (3,??) C、 (?1,1) ? (3,??) B、 (?3,1) ? (2,??) D、 (??,?3) ? (1,3)

? x ? 2, x ? 0 26、 (分段函数与解不等式)已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? x 2 的 ?? x ? 2, x ? 0
解集为 答案: [ ?1,1] 。 《审题要津与解法研究》 P19 。

?? x ? 1, x ? 0 27、 (分段函数与解不等式)已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 ? x ? 1, x ? 0
x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 1 的解集为



答案: (??, 2 ?1] 。 《审题要津与解法研究》 P21
2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 28、 (分段函数与单调性)已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 2 ,则实数 a 的取 ? ?4 x ? x , x ? 0 ,

值范围是( C ) A、 (??, ?1) ? (2, ??) B、 (?1,2) C、 (?2,1) D、 (??, ?2) ? (1, ??)

log x, x?0 ? ? 2 29、 (分段函数与单调性)设函数 f ? x ? ? ?log ? ? x ? , x ? 0 ,若 f ?a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取 1 ? ? 2
值范围是 答案: ? ?1,0? U?1,??? 。

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 30、 (分段函数与单调性)已知函数 f ( x) ? ? 是 ?? ?,???上的减函数,那么实 ?loga x, x ? 1
-5-

数 a 的取值范围是( C ) A、 ?0,1?
? 1? B、 ? 0, ? ? 3? ?1 1 ? C、 ? , ? ?7 3 ? ?1 ? D、 ? ,1? ?7 ?

?2 x 2 ? 8ax ? 3, x ? 1 31、 (分段函数与单调性)已知函数 f ( x) ? ? 在 x ? R 内单调递 ?loga x, x ? 1
减,则实数 a 的范围是( C )

? 1? A、 ? 0, ? ? 2?

?1 ? B、 ? ,1? ?2 ?

?1 5? C、 ? , ? ?2 8?

?5 ? D、 ? ,1? ?8 ?

? ax 2 ? 1, x?0 ? 32、 (分段函数与单调性)已知函数 f ( x ) ? ? 2 在 (??, ??) 上单 ax ? ?( a ? 1)e , x ? 0

调,则实数 a 的取值范围是( A ) A、 ? ?,? 2 ? 1, 2

?

? ? ?

B、 ? 2,?1 ? 2,??

?

? ?

?

C、 1, 2

?

?

D、

? 2,???

33、 (分段函数与单调性)已知函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的

? f ( x), f ( x) ? K , 1 正数 K ,定义函数 f K ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? 2? x ,当 K ? 时,函 2 ? K , f ( x) ? K . ,
数 f K ( x) 的单调递增区间为( C ) A、 (??, 0) B、 (0, ??) C、 (??, ?1) D、 (1, ??)

?log (1 ? x), x ? 0 34、 (分段函数与周期性)定义在 R 上的函数 f ( x) 满 f ( x) ? ? 2 , f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0 ?
) 的值为 则 f (2009



答案:1。 《审题要津与解法研究》 P42
a, b} 表示 a , b 两数中的最小值, 35、 (分段函数与对称性) 用 min{ 若函数 f ( x) ? min{x , x ? t } 的

1 图象关于直线 x ? ? 对称,则 t 的值为 2
答案:1。 《审题要津与解法研究》 P20



a, b, c} 表示 a, b, c 三个数中的最小值,设 36、 (分段函数与最值)用 min{

f ( x) ? min{ 2x , x ? 2,10 ? x}( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为
-6-



答案:6。 《审题要津与解法研究》 P59 37、 (分段函数与方程)已知函数 f1 ( x) ? x ?1, f 2 ( x) ? ? x 2 ? 6x ? 5 ,
g ( x) ? max{f1 ( x), f 2 ( x)},若方程 g ( x) ? a 有四个不同的实数解,则实数 a 的取值范围

是 答案: (3,4) 。



? lg x ,0 ? x ? 10 ? 38 、 ( 分 段 函 数 与 不 等 式 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 , 若 a , b, c 互 不 相 等 , 且 ? x ? 6 , x ? 10 ? ? 2
f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc的取值范围是



答案: (10,12) 。 《审题要津与解法研究》 P22
? ? g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? , 39、 (分段函数与值域)设函数 g ? x ? ? x 2 ? 2 ( x ? R ) , f ? x ? ? ? ? ? g ? x ? ? x, x ? g ? x ? ,

则 f ? x ? 的值域是
? 9 ? 答案: ?? ,0? ? ?2,??? 。 《审题要津与解法研究》 P22 ? 4 ?



2 ? ?x , x ? 1 40、 (分段函数与值域)设 f ( x) ? ? , g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 [0,??) , ? ? x, x ? 1

则 g ( x) 的值域是 答案: [0,??) 。 《审题要津与解法研究》 P21



, b ? ? ,1 ?aa 41、 (分段函数与方程)对实数 a 与 b ,定义新运算“ ? ” : a ?b ? ? , 1 . ?b, a ? b ?

设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ?1), x ? R 。若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实 数 c 的取值范围是 答案: (?2,?1] ? (1,2] 。
, b ? ? ,1 ?aa 42、 (分段函数与方程)对实数 a 与 b ,定义新运算“ ? ” : a ?b ? ? , 1 . ?b, a ? b ?



设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? x 2 ) , x ? R 。若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则
-7-

实数 c 的取值范围是
3? ? 答案: ? ??, ?2? ? ? ?1, ? ? 。 4? ?



2 ? ?m 1 ? x , x ? (?1,1] 43、 (分段函数与方程)已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 , 1 ? x ? 2 , x ? ( 1 , 3 ] ? ?

若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围是( B )
? 15 8 ? ? A、 ? ? 3 , 3? ? ? ? 15 ? ? , 7 B、 ? ? 3 ? ? ?

? 4 8? C、 ? , ? ? 3 3?

?4 ? D、 ? , 7 ? ?3 ?

解析: 《审题要津与解法研究》 P24 。

-8-


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