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空间直角坐标系


中国国家大剧院

空间直角坐标系
空间中两点的距离公式

问题1:

数轴上的点M的坐标用一个实数x表示, 它是一维坐标; 平面上的点M的坐标用有序实数对(x,y) 表示,它是二维坐标. y
(x,y)

O x

x O
x

>空间内点位置能用两个数来描述吗? 该如何描述呢?

怎样确切的表示室内灯泡的位置?

下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3

墙 墙 地面
4

1

(4,5,3)
5

O 1

y

x

从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有单 位长度的数轴,这样就 建立了空间直角坐标系 0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xOy平面、 yOz平面、和 zOx 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向,若中 指指向z轴的正方向,则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: ☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
x o

z

y

空间直角坐标系的画法:
z

1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x


yOz

z
zOx





Ⅰ Ⅵ Ⅴ


xOy



o

y

Ⅶ Ⅷ

x

坐标面把空间分成 八个部分 每一个部分叫卦限

合作探究:
有了空间直角坐标系,那空间中的 任意一点M怎样来表示它的坐标呢?
z
c

M
a

O
M’

b

y

经过M点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序数组(a,b,c)叫做点 M的坐标.

x

记为:M(a,b,c)

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q 和R,分别过P、Q和R各作一个平面,分别垂直于x 轴、 y 轴和z 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x,y,z)确定的点M.

z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的位置可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

例题选讲:

例1在空间直角坐标系作出点(5,4,6).
分析:
从原点出发沿x轴 O P1 正方向移动5个单位

z
P(5,4,6)


o 沿与y轴平行的方向 5 P1 P P1 向右移动4个单位
2


y
P2

P 沿与z轴平行的方向 P x 向上移动6个单位
2

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建 立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

z A(0,0,0)
A' B' A B C C' D'

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5) C(12,8,0) C’(12,8,5)
D

D(0,8,0)
y

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建 立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。
z

在平面xOy的点有哪些?

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5)
D

y

C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。
z

在平面yOz的点有哪些?

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5)
D

y

C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。
z

在平面xOz的点有哪些?

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5)
D

y

C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

总结:
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点,xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点?

x轴上的点的坐标的特点: y轴上的点的坐标的特点: z轴上的点的坐标的特点: xOy坐标平面内的点的特点: xOz坐标平面内的点的特点: yOz坐标平面内的点的特点:

P(x,0,0) P(0,y,0) P(0,0,z) P(x,y,0) P(x,0,z) P(0,y,z)

长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?

d a
2 2

c b
2

d ? a ?b ?c

在空间直角坐标系中点O(0,0,0)到 点P(x0,y0,z0)的距离,怎么求?

z d y0
P z0 x0

O x

y

d?

x ? y ?z
2 0 2 0

2 0

在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)到 点xOy平面的距离,怎么求?

z

d xOy ? z
O y x P z x y

d yOz ? x d xOz ? y

在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到 坐标轴的距离,怎么求? z
d y0 P z0 x0

dx ?
y

y ?z
2 0

2 0 2 0 2 0

O x

dy ? dz ?

x ?z
2 0 2 0

x ?y

(1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离:
z

| OP |? x ? y ? z
2 2

2

如果 OP 是定长r, 那么x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形?
O

P(x,y,z)
y

P`(x,y,0)
x

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

(1) 在空间直角坐标系中,任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:

|P ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 ) 1P 2 |?
2 2

2

z

P1(x1,y1,z1)
O

P2(x2,y2,z2) H

M

y

N

x

二、空间中点坐标公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? y1 ? y 2 ? ?y ? 2 ? z ? z 1 2 ?z ? ? 2 ?

例3:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解: AB ?

?1 ? 2? ? ?5 ? 3? ? ?2 ? 4?
2 2

2

?3

BC ? AC ?

?2 ? 3? ? ?3 ? 1? ? ?4 ? 5?
2 2

2

? 6 ? 29

?1 ? 3? ? ?5 ? 1? ? ?2 ? 5?
2 2

2

例4:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)BC边上中线AM的长。 解:
2?3 5 ? ?x ? 2 ? 2 ? 3 ?1 ? ?5 9? ? 2 ? M ? ,2, ? ?y? 2 ?2 2? ? ?z ? 4 ? 5 ? 9 ? 2 2 ?
2 2

9? 70 ? 5? ? 2 AM ? ?1 ? ? ? ?5 ? 2? ? ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2? ?

例5:求证以 M1 (4,3,1) , M 2 (7,1,2) , M 3 (5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解: M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,
M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ? (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2 2

2

? M 2 M 3 ? M 3 M1 , 原结论成立.

例6:设P在x轴上,它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍,求点P的坐标。 解: 因为 P 在 x 轴上, 设P点坐标为( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ?

x ? 11,
2

PP2 ? x ? ?? 1? ? 1 ?
2 2 2

x ? 2,
2

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1, 所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

例7:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z),满足条件:

? AB ? AC ? BC
? ? ?

? ? ?

3 ? 3 ? ?3 ? 1? ? 3 2 ? 2
2 2

?

?

?

2

? ? ? 3 ? 0? ? ?1 ? y ? ? ? 2 ? z ?
3 ? 0 ? ?3 ? y ? ? 3 2 ? z
2 2 2 2 2

2

例4:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
? y?4 ? y?0 ?? 或? ?z ? 2 ?z ? 3 2 ? C 0,4, 2 或 0,0,3 2

?

? ?

?

所以存在一点C,满足条件.

练习
1、在空间直角坐标系中,求点A、B的中点,并 求出它们之间的距离: (1)A(2,3,5) B(3,1,4) (2)A(6,0,1) B(3,5,7)

2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等。

练习
2、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长.
z
D` A` C` B` M

O
A x

C

N
B

y

再想一想?各个卦限中的点的符号是怎样的呢?



z

yoz面


zox 面


xoy面
Ⅶ Ⅷ
Ⅰ(+,+,+) Ⅴ(+,+,-) Ⅱ(-,+,+) Ⅵ(-,+,-) Ⅲ(-,-,+) Ⅶ(-,-,-)

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

Ⅳ(+,-,+) 总结(1)在上方卦限Z坐标为正; Ⅷ(+,-,-)
(2)在下方卦限Z坐标为负.

例题选讲:

例3 结晶体的基本单位称为晶胞,下图是食盐晶 胞的示意图(可看成是八个棱长为0.5的小正方体 堆积成的正方体),其中色点代表钠原子,白点 代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz,试写出全 z 部钠原子所在位置的坐标.

O y
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标.

x

z
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 1 1 ( , ,0). 2 2

O

中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

x

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2


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