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高一升高二讲义1


层层飞跃,挑战巅峰

函数的值域与最值
1、常见函数的值域:
(1)、一次函数 y=ax+b (a ? 0)的值域为 R。 (2)、二次函数 y=ax2+bx+c (a ? 0),当 a>0 时值域为 [

4ac ? b2 4ac ? b2 ,??) ;当 a<0 时值域为 (??, ]。 4a 4a

/>
(3)、指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的值域为 (0,?? ) 。 (4)、对数函数 y ? log x (a>0 且 a ? 1)的值域为 R。

a

(5)、反比例函数 y ? (6)、分式函数 y ?

k (k ? 0) 的值域为 ?x | x ? 0, 且x ? R?。 x

ax ? b 的值域为 ?x | x ? a, 且x ? R?。 x?c

(7)、正弦函数 y ? sin x ,余弦函数 y ? cos x 的值域都是 [?1,1] 。 (8)、正切函数 y ? tan x(其中x ? k ? ? (9),对勾函数.
?

2

, k ? Z ) 的值域为 R。

2、函数值域和最值的常用求法: 配方法,判别式法,换元法,数形结合法,均值不等式法,单调性法,等。(无论哪种方 法都要在定义域范围内)

? . 由局部到整体法:


②y?

1 , x ? ?4,5? x?3
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③ ④

f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1?

? .单调性法:
x

y ? 16 ? 4x

首先确定函数的定义域,然后再根据其单调性求函数的值域。

b 常用到函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 的单调性:增区间为 (??,? b )和( b ,??) ,减区间为

a

a

(?

b b b ,0)和(0, ) 。函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 在 (??,0) 上单调递增,在 (0,?? ) 上也单调递增。 x a a

4 , x ? ?1,3? 的值域为 x 9 函数 y ? 2 x ? , x ? ?1,3? 的值域为 x
函数 y ? x ?

若函数 y ? f ( x) 的值域是 [

1 1 的值域是 ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x) 2
D. [3,

1 [ ,3] A. 2

B. [2,

10 5 10 ] C. [ , ] 3 2 3

10 ] 3

设函数 f ( x ) ? 2 x ? A.有最大值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x

) D.是减函数

B.有最小值

C.是增函数

求 y= x ?

9 ,(0<x≤2 ) 的值域。 x

例题 1:(全国Ⅰ卷 10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值 范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C)

(3, ?? )

(D)

[3, ?? )

例题 2:求函数 ? ( x) ?

( x ? 1)2 4 ? (? x) ? ? 1 )的值域。 ? 1?1 ? x ? 0, (1 0 ? x ? 4,? 0 ? x 1? x 1? x

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练习:求函数 f ( x) ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值。

求类对勾函数的值域: 我们在解决此类问题的时候要通过凑项,凑系数等方法把函数式化成对勾函数的形式再利用其性质解题。 凑项 例 1. 已知 x 分离
2 x ?x 1 7 ?0 例 2. 求 y ? ( ≠ )的值域。 x ? 1 x 1 ?

?

5 1 ,求函数 f( )? x 2 的最大值。 x 4? ? 4 4? x 5

评注:分式函数求最值,通常化成 y m ? ?g () x

A ?( ? m ) B 0 ? ,g(x)恒正或恒负的形式, A ,0 g () x

然后运用对勾函数来求最值。

函数

y ? x?

4 ( x ? 1) 的值域为 x ?1
)

定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 [ a, b] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为( A. [a ? 1, b ? 1] ;B. [ a, b] ;C. [a ? 1, b ? 1] ;D.无法确定

已知函数 f ( x) ? x ? A.

4 ( x ? [2, 6]) ,则函数的最大值为 x ?1
B.

( D.



0.4

1

C. 2

2.5

求函数 y ? x ?

1 (1 ? x ? 9) 的值域。 x

(2010 重庆文数)(12)已知 t ? 0 ,则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为____________。 t
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? 换元法:

常用代数(针对无理式,且只有一个根号的时候)或三角换元,把所给的函数代换成

值域容易确定的另一个函数,从而求得原函数的值域。形如 y ? ax ? b ? cx ? d (a, b, c, d均为常数且a ? 0) 的 函数常用此法。在有关圆或椭圆的最值问题的时,常用到三角换元(主要针对 a ? b ? 1 )这样的形式。
2 2

(只要是换元,都需要注意新元的取值范围的变化) 例题:

y ? x ? 4 1? x

换元法(代数换元法):

练习:求函数

y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。(注意新元的范围)

1? ? ? ??, ? 2? ?

三角换元法:

y ? x ? 1 ? x2 ;

练习:函数 f(x)= x+ 1-x的值域为________.

函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域为____. 已知 a, b ? R, a 求函数 求函数
2

? 2b2 ? 6,则a ? b 最小值是

y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。 y = 2x +1 + x - 1 的值域。

已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 A.

m 的值为( M



1 4

B.

1 2

C.

3 2 D. 2 2
( )
14

函数 y ?

x2 ? 8 ( x ? 0) 的最大值与最小值情况是 x ?1

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A.有最大值为8,无最小值 C.无最大值,有 最小值为 求函数

B.有最大值为8,最小值为4 D.无最大值,有最小值 为4

9 2

y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

求函数 求函数

y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。

y ? x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。

? 利用函数的有界性:
例 1. 求函数

y?

1 ? 2x 1 ? 2 x 的值域。

练习:
①求函数

y?

2cos x ? 1 的值域。 3cos x ? 2 2 ? sin x 的值域。 2 ? sin x

1? ? , ? ??, ? ? ? 3 ?? ? 5? ?
?1 ? ? 3 , 3? ? ?

②求函数

y?

③y?

10 x ?10? x 10 x ?10? x

变式----分子分母三角函数名不同时,用化一公式

y?

2 ? cos x 2 ? sin x

? . 判别式法

:针对分式型

2 a ? bx ? c ,尤其是分母中含有 x 时常用此 y? x (其中a 2 ? m 2 ? 0) m x 2 ? nx ? p

2

法。通常去掉分母转化为一元二次方程,再由 ? ? 0 求得 y 的范围。
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y?
例题
2

2x2 ? x ? 2 ; x2 ? x ? 1

解:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。

2x2 ? x ? 2 2 由y? 2 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ∴ ? ? ( y ? 1)
2 2

? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 ,

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1, 5] 。

①求函数

y?

2x ?1 ?1 ? 的值域。 ? ??, ?1? ? ? , ?? ? 2 x ? 2x ? 2 ?2 ?

②y?

2x2 ? x ? 2 ;[1,5] x2 ? x ? 1

③y?

x2 ? x ? 1 2x2 ? 2 x ? 3

注意:1.一般用在定义域为 R 的情况下,如果定义域不是 R,也可用,但需对最后的结果进行检验、既对 y 取得等号值的时候对应的 x 值是否在定义域范围内。 2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论 3.若对自变量有其他限制,就不好用判别式法了 如y?

2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) 2x ?1 2

x2 ? x ? 2 4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法,要先化简。如求函数 y= 的值域。 x2 ?1

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原函数可化为 y=

( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 2) = ( x ? ?1 ), 即 ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)

y=1+

3 1 1 ? 0, y ? 1 , 又? x ? 1, 所以 y ? . ( x ? ?1 ),? 2 x ?1 x ?1

已知函数 f ( x) ?

ax ? b 2 的值域是[-1,4 ],则 a b 的值是_____________ x2 ? 1

? 数形结合法
下列区间中,函数 (A) (??,1]

:分析函数解.析式表示的几何意义,根据图象特点确定函数的值域。由数形结

合,转化斜率、距离等求值域;如:

f ( x) ? lg(2 ? x) ,在其上为增函数的是(
(B)

)

? 4? ? ?1, 3 ? ? ?

(C) 例题 1:

3 [0, ) 2

(D) [1, 2)

??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??) 。

例题 2:函数

y?

sin x 的值域。 2 ? cos x

可以把上式看成两点的斜率式即 A(-2,0),B( cos x, sin x )

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变式----分子分母三角函数名不同时,用化一公式 例题 3

y?

2 ? cos x 2 ? sin x

y?

1 ? sin x 。 2 ? cos x
解:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,

∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ?
2

?

1 1 ? y2

,sin ? ?

y 1 ? y2

),

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,

∴ |1 ? 2 y |? ∴ 3y
2

1 ? y2 ,

? 4y ? 0,

∴0 ?

4 y? , 3
4 ]。 3
?| x ?3| 2

∴原函数的值域为 [0,

若关于 x 的方程 (2 ? 2

) ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围.

已知点 P ( x, y ) 在圆 x

2

? y 2 ? 1上,求

y 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2

y ? x?2 ? 4? x

点评:上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,在现行的中学数学要求中,求值域要 求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的讨论。

练习: (1) y ? x ? 1 ? x ? 2 (零点分段法或者数形结合) ;

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(2) y ? (3)

y?2 x y sin x 2 2 ;(斜率或三角有界性)变形:已知 x ? y ? 1 ,求 和 ? 最值 2 ? cos x x ?1 3 4
改成减号呢、点到点距离 可知函数定义域为 R,

y ? x 2 ? 2x ? 5 ? x 2 ? 2x ? 2
2

(4)y= x ? x ? 1 , x (5) (6)

? R (配方法);x ? ?? 1,3? ; -----定轴定区间

y ? x2 ? 2ax ? 3, x ?[2, 4] -------动轴定区间 y ? x2 ? 2x ? 3, x ?[t , t ? 2] ----------定轴动区间

? 分离常数法:
子)等。 例题: 函数

cx ? d 除了上述一次分式型 y ? (a ? 0) 外,还包括: ax ? b

y?

x ? x2 (分离分 x2 ? x ? 1

y?

3x ? 1 的值域. x?2
y? 1? x 2x ? 5 的值域。

例题:求函数

练习:

y?

2x ? 3 ; x ?1

? 配方法:
只有偶此方的时候、 求函数

针对二次函数型 F ( x) ? a

2 f ( x) ? bf ( x) ? c ,其关键是配成完全平方式。或者四次函数

y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域

题型一:二次函数的值域: 配方法(图象对称轴)
例 1. 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域(值域是:[4,8])
2

变式 1:求 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 的值域。

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变式 2:求 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 在 ?? 1, 上的值域 1?

题型二:三角函数的值域.在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一 个新问题(相对来说,对自己较熟悉的),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法,我 们称之为“转化的思想方法”.解题的过程就是“转化”过程.“转化”是解数学题的重要思想方法之 一.转化的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化,以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解 决.

例 2. 求函数

y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , x ? ?? 12 , 2 ? 的值域。 ? ?
1 1 1 sin x cos x ? (t 2 ? 1) y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2 2 , 故所求函数的值域为

?

? ??

解:令 sin x ? cos x ? t ,则
?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? 4 2 2 ? ?。 ? ?

题型三:指数、对数函数的值域: 采用换元法 例 3:求 f ( x) ? log2 x 2 ? 2x ? 6 的值域(值域为 ?log2 5,??? ) 例 4:求 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 6 的值域(值域为 ?6,??? ) 题型四:利用“平方开方法”转化为二次函数 例 7:求函数 f ( x) ? b ? x ? x ? a ( x ? [a, b] , a ? b )的值域.(值域为 [ b ? a , 2(b ? a)] .)

?

?

变式:求函数 f ( x) ? b ? kx ? kx ? a ( x ? [ , ] , a ? b , k ? 0 )的值域.

a b k k

? 复合函数法

:对函数 y ? f (u ), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域,

从而求出 y ? f (u ) 的值域的方法。求函数

y ? log 1 (?2x2 ? 5x ? 3) 的值域。
2

千万注意:函数的值域必须重视定义域对值域的限制和影响.

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