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相似三角形


相似三角形
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双槐树中学
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数学

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1.在比例尺为1:2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm, 则A、B两地间的实际距离为( C ) A.10m B.25m C.100m D.10000m

>考点:比例线段. 专题:计算题. 分析:设A、B两地间的实际距离为xm,根据比例线段得 = ,然后解方程即可. 解答: 解:设A、B两地间的实际距离为xm, 根据题意得 = , 解得x=100. 所以A、B两地间的实际距离为100m. 故选C. 点评:本题考查了比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它 们的长度比)与另两条线段的比相等,如a:b=c:d(即ad=bc),我们就说这四条线段是 成比例线段,简称比例线段.

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课 前 预 习
2.(2015?荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断 △ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( D )

考点:相似三角形的判定. 分析:分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可. 解答:解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B、 当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C、当 = 时, 又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误; D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确. 故选:D. 点评:此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.
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3.(2015?重庆)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2 :3,则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 2:3 .

考点:相似三角形的性质. 分析:相似三角形对应边上中线的比等于相似比,根据以上性质得 出即可. 解答:解:∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2:3, ∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2:3,故答案为:2:3. 点评:本题考查了相似三角形的性质的应用,能理解相似三角形的 性质是解此题的关键,注意:相似三角形对应边上中线的比等于相 似比.
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课 前 预 习
4.(2015?沈阳)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且 △ABC的面积等于△DEF面积的 ,则AB:DE= 2:3 .
考点:位似变换. 分析:由△ABC经过位似变换得到△DEF,点O是位似中心,根据位似图形的性质,即可得 AB∥DE,即可求得△ABC的面积:△DEF面积= ,得到AB:DE═2:3. 解答: 解:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O, ∴△ABC∽△DEF, ∴△ABC的面积:△DEF面积=( )2= , ∴AB:DE=2:3, 故答案为:2:3. 点评:此题考查了位似图形的性质.注意掌握位似是相似的特殊形式,位似比等于相似 比,其对应的面积比等于相似比的平方.

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课 前 预 习
5.(2015?天津)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D 、E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为 3.6 .

考点:相似三角形的判定与性质. 分析:根据平行线得出△ADE∽△ABC,根据相似得出比例式,代入求出即可. 解答:解:∵AD=3,DB=2,∴AB=AD+DB=5,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ ∵AD=3,AB=5,BC=6, ∴ ,



∴DE=3.6. 故答案为:3.6. 点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,关键是求出相似后得出比例式,题目比较 典型,难度适中.
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考 点 梳 理
2.相似三角形 (1)定义:对应角相等,

对应边

成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的判定定理 ①相似三角形的判定定理 1:两角对应相等的两个三角形相似;②相似三角形的判定 定理 2: 三边对应成比例的两个三角形相似;③相似三角形的判定定理 3:两边对应成比例且 夹角相等的两个三角形相似.④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相 交, 所构成的三角形与原三角形相似. ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形 与 原 三 角 形 相 似 . 补 充 : 若 CD 为 且 (3)性质: ①相似三角形的对应角 相等 ③相似三角形的周长比等于 . . . ②相似三角形的对应线段(边,高,中线,角平分线) 成比例 斜边上的高(如下图) ,则

相似比

,面积比等于 相似比的平方

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考 点 梳 理
3.相似多边形 (1)定义:各角对应相等,各边对应成比例,的两个多边形叫做相 似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比. (2)性质: ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4.图形的位似 (1)位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在 直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点 叫位似中心,此时相似比又称位似比. (2)位似图形的性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离比等于 位似比 ,位似图形周长的比等于 位似比 ;面积 比等于 位似比的平方 .
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考点1
比例线段

1.下列长度的各组线段中,能构成比例线段的是( B ) A.2,5,6,8 B.3,6,9,18 C.1,2,3,4 D.3,6,7,9 考点:比例线段. 分析:分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积,然后 根据比例线段的定义进行判断. 解答:解:∵3×18=6×9,∴3,6,9,18成比例.故选B. 点评:本题考查了比例线段:判定四条线段是否成比例,只要把四 条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比 是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的 结果与所选取的单位无关系.
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课 堂 精 讲
考点2
相似三角形的判定

3.(2015)如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD?AC D. =

)D

考点:相似三角形的判定. 分析:根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似,分别判断得出即可. 解答:解:A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;B、 ∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;C、∵AB2=AD?AC, ∴ = ,∠A=∠A,△ABC∽△ADB,故此选项不合题意; D、 = 不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意. 故选:D. 点评:本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对 应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
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课 堂 精 讲
4.(2015)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂 足为E. (1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形; (2)选择(1)中一对加以证明.

考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定. 分析:(1)利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符 合题意的答案;(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判 定方法分别得出即可.

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课 堂 精 讲

解答:解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD; (2)证明:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为角平分线, ∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A, 在△ADE和△BDE中 ∵ , ∴△ADE≌△BDE(AAS); 证明:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD为角平分线, ∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A, ∵∠C=∠C, ∴△ABC∽△BCD. 点评:此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定,正确把握判定方法是解题关 键.
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课 堂 精 讲
5.已知:如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的 一个动点(不与B,C点重合),∠ADE=45°. 求证:△ABD∽△DCE.

考点:相似三角形的判定. 专题:证明题. 分析:先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°,再利用 三角形内角和得到∠1+∠2=135°,利用平角定义得到 ∠2++∠3=135°,则∠1=∠3,于是可根据有两组角对应相等的两 个三角形相似得到结论.

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课 堂 精 讲

解答:证明:∵∠BAC=90°,AB=AC=1, ∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°, ∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°, ∵∠ADE=45°,∴∠2+∠3=135°, ∴∠1=∠3, ∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE. 点评: 本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相 似.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.

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课 堂 精 讲
考点3
相似三角形的性质

6.(2015)如果两个相似三角形对应边的比为2:3,那么这两个相 似三角形面积的比是( )C A.2:3 B. : C.4:9 D.8:27 考点:相似三角形的性质. 分析:根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,据此即可求 解. 解答:解:两个相似三角形面积的比是(2:3)2=4:9.故选C. 点评:本题考查对相似三角形性质的理解.(1)相似三角形周长 的比等于相似比;(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方; (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 都等于相似比.
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7.已知△ABC∽△AED,AB=8cm,AC=6cm,DE=4cm,D为AB的中点 ,求AE和BC.

考点:相似三角形的性质. 分析:先根据△ABC∽△AED,得出 = ,在由D为AB的中点, 可求出AD的长,故可得出AE的长,由 = 即可得出BC的长.

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课 堂 精 讲
解答:解:∵△ABC∽△AED,∴ = , ∵D为AB的中点,AB=8cm,AC=6cm,DE=4cm, ∴AD=DB=4cm, ∴AE= = = ,
又∵ = , ∴BC= = =6cm. 点评:本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形的对应边 成比例是解答此题的关键.

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课 堂 精 讲
8.(2015)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且 (1)求证:△ACD∽△CBD; (2)求∠ACB的大小. = .

考点:相似三角形的判定与性质. 分析:(1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即 可证明△ACD∽△CBD;(2)由(1)知△ACD∽△CBD,然后根据 相似三角形的对应角相等可得:∠A=∠BCD,然后由 ∠A+∠ACD=90°,可得:∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.

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课 堂 精 讲
解答:(1)证明:∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°, ∵ = .

∴△ACD∽△CBD; (2)解:∵△ACD∽△CBD, ∴∠A=∠BCD, 在△ACD中,∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°, 即∠ACB=90°. 点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:熟记相似三 角形的判定定理与性质定理.
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课 堂 精 讲
考点4
位似图形

9.(2015)如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若 AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为( )B A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6 考点:位似变换. 分析:利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比. 解答:解:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA ,∴OA:OD=1:2,∴△ABC与△DEF的面积之比为:1:4. 故选:B. 点评:此题主要考查了位似图形的性质,得出位似比是解题关键.

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课 堂 精 讲
10.(2015)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2 ,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B坐标 为(5,0),则点A的坐标为( ) B
A.(2,5) C.(3,5) B.(2.5,5) D.(3,6)

考点:位似变换;坐标与图形性质. 分析:利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标. 解答:解:∵以原点O为位似中心,在第一象限内,将线段CD放大 得到线段AB,∴B点与D点是对应点,则位似比为:5:2,∵C(1 ,2),∴点A的坐标为:(2.5,5)故选:B. 点评:此题主要考查了位似变换,正确把握位似比与对应点坐标的 关系是解题关键.
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走 近 中 考
11. (广东)将下图中的箭头缩小到原来的
得到的图形是( B ) 解析:∵图中的箭头要缩小到原来的 ,



A. B. C. D.

∴箭头的长、宽都要缩小到原来的
选项B箭头大小不变;



选项C箭头扩大;选项D的长缩小、而宽没变.

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走 近 中 考
12.(2015?梅州)已知:△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边 上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个 条件是 AF= AC或∠AFE=∠ABC .(写出一个即可)

考点:相似三角形的判定. 专题:开放型. 分析:根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进 行解答;由于没有确定三角形相似的对应角,故应分类讨论.

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走 近 中 考
解答:解:分两种情况:①∵△AEF∽△ABC, ∴AE:AB=AF:AC,即1:2=AF:AC,∴AF= AC; ②∵△AFE∽△ACB, ∴∠AFE=∠ABC. ∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,则AF= AC或 ∠AFE=∠ABC. 故答案为:AF= AC或∠AFE=∠ABC.

点评: 本题很简单,考查了相似三角形的性质,在解答此类题目时要找出 对应的角和边.

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走 近 中 考
13. 正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的 两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直 .

证明:Rt△ABM∽Rt△MCN.
解析:要证三角形ABM和三角形MCN相似,就需找出两组对应 相等的角,已知了这两个三角形中一组对应角为直角,而∠BAM 和∠NMC都是∠AMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得 出两三角形相似.

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走 近 中 考
答案:证明: 在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°, ∵AM⊥MN, ∴∠AMN=90°, ∴∠CMN+∠AMB=90°. 在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=90°,

∴∠CMN=∠MAB,
∴Rt△ABM∽Rt△MCN.

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走 近 中 考
14. 如图,矩形ABCD中,以对角 线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF 过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积 为S3,则S1 S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空); (2)写出如图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.

解析:(1)根据S1=
出答案.

S矩形BDEF,S2+S3=

S矩形BDEF,即可得

(2)根据矩形的性质,结合图形可得: △BCD∽△CFB∽△DEC,选择一对进行证明即可.
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走 近 中 考
答案:(1)∵S1= BD×ED,S矩形BDEF=BD×ED, S矩形BDEF,

∴S1= S矩形BDEF,
∴S2+S3= ∴S1=S2+S3. (2)答:△BCD∽△CFB∽△DEC. 证明△BCD∽△DEC; 证明:∵∠EDC+∠BDC=90°,∠CBD+∠BDC=90°, ∴∠EDC=∠CBD,

又∵∠BCD=∠DEC=90°,
∴△BCD∽△DEC.
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走 近 中 考
15.(2015?广东)若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面 积比是 4:9 .

考点:相似三角形的性质. 分析:根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比,再根据相 似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可. 解答:解:∵两个相似三角形的周长比为2:3,∴这两个相似三角 形的相似比为2:3,∴它们的面积比是4:9. 故答案为:4:9. 点评:本题考查了相似三角形的性质,是基础题,熟记性质是解题 的关键.

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走 近 中 考
16. 如图,D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若 AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,求AC的长. 解析:可证明△ACD∽△ABC,则 ,

即得出AC2=AD?AB,从而得出AC的长. 答案:解:在△ABC和△ACD中, ∵∠ ACD=∠B,∠A=∠A, . ∴△ABC∽△ACD, ∴ . 即AC2=AD?AB=AD?(AD+BD)=2×6=12, ∴AC=2
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17. (2011广州)如图,以点O为位似中心 ,将五边形ABCDE放大后得到五边形 A′B′C′D′E′,已知OA=10cm,OA′ =20cm,则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的 比值是 1:2 . 解析:∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似,OA=10cm,

OA′=20cm,
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,且相似比为:OA: OA′=10:20=1:2,

∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为:
OA:OA′=1:2.
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走 近 中 考
18. 如图,已知△OAB与△OA′B′是相似比为1:2

的位似图形,点O为位似中心,若△OAB内一点P(x
,y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点,则P′ 的坐标是(﹣2x,﹣2y) .

解析:∵P(x,y),相似比为1:2,点O为位似中心,
∴P′的坐标是(﹣2x,﹣2y).

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