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1.2.3抛物线——2.抛物线的简单几何性质(三)


复习练习:
1、已知抛物线 y ? 32 x ,若 ?ABC 的三个顶点都 在该抛物线上,且点A的纵坐标为8, ?ABC 的重心恰 在抛物线的焦点上,求直线BC的斜率。
2

2、过抛物线 y ? 2 px 的顶点O作两条互相垂直的 弦交抛物线于A、B两点。
2

(1)证明:直线AB过定点; (2)求AB中点M的轨迹方程; (3)求

?AOB 的面积的最小值; 2 (4)求证:以抛物线 y ? 2 px 的过焦点的弦为直径
的圆必定与此抛物线的准线相切。

抛物线的简单几何性质(三)
直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经 接触了一些,在我们看来就是三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合活思维.

这一节我们来做几个关于直线与抛物线 的问题……

判断直线与双曲线位置关系的操作程序

复习:

把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点)

y

与双曲线的 情况一样

O

x

二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离,无交点。

例:判断直线 y = x +2与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相离。

O

x

二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切,交与一点。

例:判断直线 y = x +1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相切。

O

x

二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行,相交与 一点。
例:判断直线 y = 6 y 与抛物线 y2 =4x 的 位置关系

O

计算结果:得到一 元一次方程,容易 x 解出交点坐标

二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行,相交 与两点。 例:判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得到一 元二次方程,需计 算判别式。相交。

O

x

三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一) 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行(重合)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交(一个交点)

相交

相切

相离

三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序(二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)

>0
相交

=0
相切

<0
相离

思考 1:(课本第 76 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

思考 1:(课本第 76 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

?

几何画板演示

思考 1:(课本第 76 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点? 解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x y 呢? 0 时,方程(Ⅰ)只有一解 当 k ? 你认为是消 ,∴直线与抛物线只有一个公共点 x 呢,还是消
1 ①当△=0 时,即 k ? 0 或 ? 2

当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k ? k ? 1)
2

……

……

……

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

思考 2: 2 若抛物线 y ? x 存在关于直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: ?2 ? k ? 0

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.

课外思考: 1.求抛物线 y ? 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 (即在抛物线的内部) 的轨迹方程. x ? 2 ( y ≥ 2 2 ) 2.若抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 . 线 y ? x ? m 对称,且 x1 x2 ? ? ,则 m ? _____ 2 2

直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交 : 直线与抛物线交于两个不同点 , 或直线与抛物线 的对称轴平行; 相切 : 直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且直线不平 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 ? 直线与抛物线相交或相切(1 个公 共点; ②方程组有两组解 ? 直线与抛物线相交(2 个公共点); ③ 方程组无解 ? 直线与抛物线相离


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