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定积分练习题(竞赛)


定积分练习题(竞赛)
1、 (1) ?
a 0

a 2 ? x 2 dx

(2) 、 ? sin xdx
??

?

2、差别 ? ln(1 ? x)dx 和 ?
0

1

1 0

arcta

n x dx 的大小。 1? x

3、证明: 1 ? ? e x dx ? e
2

1

0

4 、 设

f


b

g
2

在 区 间 [a , b] 上 连 续 , 证 明
1 2 2 1 2

?

b a

f ( x) g ( x)dx ? ( ? f ( x)dx) ( ? g ( x)dx)
a

5

曲线 y ? x( x ? 1)(2 ? x) 与 x 轴围成的面积可表示为 A、 ? ? x( x ? 1)(2 ? x)dx
0 1 2 0 1 2

B. ? x( x ? 1)(2 ? x)dx ? ? x( x ? 1)(2 ? x)dx
0 1

1

2

C. ? ? x( x ? 1)(2 ? x)dx ? ? x( x ? 1)(2 ? x)dx 6

D.

?

2

0

x( x ? 1)(2 ? x)dx
1

设 f(x) 在区间 [0 , 1] 上可微,且满足条件 f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx . 试证:存在
0

? ? (0,1) ,使 f (? ) ? ?f ' (? ) ? 0
提示:令 F ( x) ? xf ( x)
1 1 F (1) ? f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx ? 2?1 f (?1 )( ? 0) ? ?1 f (?1 ) ? F (?1 ) ?1 ? [0. ] ? [0,1] 0 2 2
1

由罗尔定理 存在 ? ? (?1 ,1) ? (0,1) 使 F ' (? ) ? 0 .

即 f (? ) ? ?f ' (? ) ? 0

1

7

设 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且

1 b f ( x)dx ? f (b) . b ? a ?a

求证:在(a,b)内至少存在一点 ? ,使 f ' (? ) ? 0 证:由积分中值定理 有 f(x)在[a,b]上连续

f (?1 ) 1 b f ( x)dx ? (b ? a) ? f (?1 ) ? f (b) ? b?a a b?a

?1 ? [a.b]
使 f ' (? 2 ) ? 0

(1) 当 ?1 ? b 时,由罗尔定理

存在 ? 2 ? (?1 , b)

(2) 当 ?1 ? b 时,由于 f(b)为中值 1) f ( x) ? f (b) 2) f ( x) ? f (b) 则 f ' ( x) ? 0 设 m ? min f ( x) ? f (b) M ? max f ( x) ? f (b) m<f(b)<M 设 f ( x1 ) ? m, f ( x2 ) ? M , ( x1 ? x2 ) 即存在 ? ? x1或x 2 ,使 f ' (? ) ? 0

这时 f ' ( x1 ) ? 0 或 f ' ( x 2 ) ? 0 8
2 2 0 0

已知 f ' ( x)? f ( x)dx ? 8 ,且 f(0)=0. 求 ? f ( x)dx 及 f(x).

9

当 x 为何值时,函数 I ? ? te?t dt 有极值?
2

x

0

10 求下列极限 (1)

lim
x ?o

?

x

0

cos t 2 dt x

(2)

lim
x ?o

( ? e t dt) 2
2

x

? te
0

0 x

2t 2

dt

2

11. 设 f ( x) ? {

x 2 x ? [0,1) x x ? [1,2]

求 ? ( x) ? ? f (t )dt 在 [0,2] 上的表达式,并讨论
0

x

?( x) 在[0,2]上的连续性

12. 设 f ( x) 在[ a,b]上连续,在(a,b)内可导且 f ' ( x) ? 0 , 设 F ( x) ?
1 f (t )dt x?a? a
x

证明:在(a,b)内有 F ' ( x) ? 0

13.设 f 在[a,b]上连续,且 f(x)>0,x ? [a,b], F ( x) ? ? f (t )dt ? ?
a b

x

x

1 dt , x ? [a,b] f (t )

证明 (1) F ' ( x) ? 2

(2)方程 F ( x) ? 0 在(a,b)内有且只有一个根.

14.设 f 在 (??,??) 上连续,且 F ( x ) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0

x

证明 (1)若 f ( x) 是偶函数,则 F ( x) 也是偶函数 (2)若 f ( x) 单调递减,则 F ( x) 也单调递减

15.求函数 y ? ? t (t ? 1) 3 dt 的定义域,单调区间和极值点.
0

x

3

16.试确定 a,b 的值,使

dt a ? t lim 0 ?1 x ?0 bx ? s i n x

?

x

t2

17.设 f ( x) 是连续函数,且 f ( x) ? x ? 2 ? f (t )dt ,则 f ( x) =________
0

1

18.设 f ( x) 在[0,1]上连续且递减,证明: 0 ? ? ? 1 时, ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx
0 0

?

1

19.设变量 x 与 y 关系如下 x ? ?
0

y

1 1 ? 4t 2

dt

证明:

d3y dy ?4 ?0 3 dx dx

20.设 f ( x) 为 x 的连续函数,且满足方程 ? f (t )dt ? ? t 2 f (t )dt ?
0 x

x

1

x 16 x 18 ? ?c 8 9

求 f ( x) 及常数 c

4

定积分换元法 1).证明

?

1 0

x m (1 ? x) n dx ? ? x n (1 ? x) m dx
0

1

2).证明

?

?
0

sin n x dx ? ? 2 sin n x dx
0

?

? 1 x ? 3).设 f(x)= ?1 ? e 1 ? ? x ?1

x?0


x?0

?

2 0

f ( x ? 1)dx

4).设 f 在[a,b]上连续,且 ? f ( x)dx ? 1 ,求 ? f (a ? b ? x)dx
a a

b

b

5).证明 若 f 在 (??,??) 上连续 ①若 f(x)为奇函数,则 ? f (t )dt 是偶函数
0 x

②若 f(x)为偶函数,则 ? f (t )dt 是奇函数
0

x

5

6).证明

?

a 0

x 3 f ( x 2 )dx ?

1 a2 xf ( x)dx ,其中 f 为连续函数 2 ?0

2 1 1 7).已知 f (2) ? , f ?(2) ? 0, 及 ? f ( x)dx ? 1 ,求 ? x 2 f ??(2 x)dx 0 0 2

8).若 f ( x) ?

1 1 1 ? 1 ? x 2 ? f ( x)dx ,则 ? f ( x)dx ? __________ ________ 2 0 0 1? x

9).设 f ( x) 有一个原函数

? sin x ,则 ? ? xf ?( x)dx ? __________ __________ x 2

10).立体底面为抛物线 y ? x 2 与直线 y ? 1 围城的图形,而任一垂直与 y 轴的截 面都分别是: ①正方形 ②等边三角形 求各种情况下的立体体积. ③半圆形

6

11).设抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过原点,当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又知该抛物线与 x 轴
1 及直线 x=1 所围城的图形面积为 ,试确定 a,b,c,使此图形绕 x 轴旋转一周而成 3 的体积 v 最小.

12).设曲线方程为 y ? e ? x ( x ? 0 ) ①把曲线 y ? e ? x ,x 轴,y 轴和直线 x ? ? (? ? 0) 所围城的平面图形绕 x 轴
1 lim v(? ) 的 a . 2 ? ??? ②在此曲线上找一点,使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形面积最大, 并求出该面积.

旋转一周,得一旋转体,求此旋转体的体积 v(? ) ;求满足 v(a) ?

1).当 k 为何值时,广义积分 ?

?? 0

1 dx 收敛? 当 k 为何值时发散? x(ln x) 2

7

2).求函数 f ( x) ? ? (2 ? t )e ?t dt 的最大值和最小值.
0

x2

3).已知 lim (
x ??

?? x?a x ) ? ? 4 x 2 e ?2 x dx ,求 a . a x?a

4).设 f ( x) , g ( x) 在区间[-a,a] ( a>0)上连续, g ( x) 为偶函数, 且 f ( x) 满足条件 f ( x) ? f (? x) ? A , ①证明 ?
a ?a

f ( x) g ( x)dx ? A? g ( x)dx
0

a

②利用①的结论计算定积分 ?

?
2 ?

?
2

sin x arctan e x dx

8


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