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高中奥林匹克物理竞赛解题方法 六 递推法 针对训练


针对训练
1.一物体放在光滑水平面上,初速为零,先对物体施加一向东的恒力 F,历时 1 秒钟,随即 把此力改为向西,大小不变,历时 1 秒钟,接着又把此力改为向东,大小不变,历时 1 秒钟,如此反复,只改变力的方向,共历时 1 分钟. 在此 1 分钟内 ( ) A.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置之东 B.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置 C.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末继续向东运动 D.物体一直向东运动,从不向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置之东 2.一小球从距地面为 H 的高度处由静止开始落下. 已知小球在空中运动时所受空气阻力为 球所受重力的 k 倍 ( k < 1) ,球每次与地面相碰前后的速率相等,试求小球从开始运动到 停止运动, (1)总共通过的路程; (2)所经历的时间. 3.如图 6—14 所示,小球从长 L 的光滑斜面顶端自由下滑,滑到底 端时与挡板碰撞并反弹而回,若每次与挡板碰撞后的速度大小为 碰撞前的 4/5,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共 通过的路程. 4.如图 6—15 所示,有一固定的斜面,倾角为 45°,斜面长为 2 米,在斜面下端有一与斜面垂直的挡板,一质量为 m 的质点, 从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为 1 米/秒. 质点沿斜面下 滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的滑 动摩擦因数为 0.20. (1)试求此质点从开始运动到与挡板发生第 10 次碰撞的过程中通过的总路程; (2)求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程. 5.有 5 个质量相同,其大小可不计的小木块 1,2,3,4,5 等距 离地依次放在倾角 θ = 30° 的斜面上(如图 6—16 所示).斜面 在木块 2 以上的部分是光滑的,以下部分是粗糙的,5 个木块 与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是 ,开 始时用手扶着木块 1,其余各木块都静止在斜面上. 现在放手, 使木块 1 自然下滑,并与木块 2 发生碰撞,接着陆续发生其他 碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求 取何值时 木块 4 能被撞而木块 5 不能被撞. 6.在一光滑水平的长直轨道上,等距离地放着足够多的完全 相同的质量为 m 的长方形木块,依次编号为木块 1,木块 2,…,如图 6—17 所示. 在木块 1 之前放一质量为 M=4m 的大木块,大木块与
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木块 1 之间的距离与相邻各木块间的距离相同,均为 L. 现在,在所有木块都静止的情况 下,以一沿轨道方向的恒力 F 一直作用在大木块上,使其先与木块 1 发生碰撞,设碰后 与木块 1 结为一体再与木块 2 发生碰撞,碰后又结为一体,再与木块 3 发生碰撞,碰后 又结为一体,如此继续下去. 今问大木块(以及与之结为一体的各小木块)与第几个小木 块碰撞之前的一瞬间,会达到它在整个过程中的最大速度?此速度等于多少? 7. 有电量为 Q1 的电荷均匀分布在一个半球面上, 另有无数个电量均为 Q2 的点电荷位于通过 球心的轴线上,且在半球面的下部. 第 k 个电荷与球心的距离为 R 2 k 1 ,且 k=1,2,3, 4,…,设球心处的电势为零,周围空间均为自由空间. 若 Q1 已知,求 Q2. 8.一个半径为 1 米的金属球,充电后的电势为 U,把 10 个半径为 1/9 米的均不带电的小金 属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走,然后把这 10 个充了电了小金属球彼此分隔摆 在半径为 10 米的圆周上,并拿走大金属球. 求圆心处的电势. (设整个过程中系统的总 电量无泄漏) 9.真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,它们的半径 分别为 R,R/2,R/4,R/8,R/16,彼此内切于 P 点(如图 6—18).球心分别为 O1,O2,O3,O4,O5,求 O1 与 O5 间的 电势差. 10.在图 6—19 所示的电路中,三个电容器 CⅠ,CⅡ,CⅢ的电容 值均等于 C,电源的电动势为 ε ,RⅠ,RⅡ为电阻,S 为双掷 开关. 开始时,三个电容器都不带电.先接通 Oa,再接通 Ob, 再接通 Oa,再接通 Ob……如此反复换向,设每次接通前都 已达到静电平衡,试求: (1)当 S 第 n 次接通 Ob 并达到平衡后,每个电容器两端的 电压各是多少? (2)当反复换向的次数无限增多时,在所有电阻上消耗的 总电能是多少? 11.一系列相同的电阻 R,如图 6—20 所示连接,求 AB 间的等效电阻 RAB.

12.如图 6—21 所示,R1=R3=R5=…=R99=5Ω,R2=R4=R6=…=R98=10Ω,R100=5Ω, ε =10V 求: (1)RAB=? (2)电阻 R2 消耗的电功率应等于多少? (3) Ri (i = 1,2,3, ,99) 消耗的电功率;
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(4)电路上的总功率. 13.试求如图 6—22 所示,框架中 A,B 两点间的电阻 RAB,此框架 是用同种细金属丝制作的,单位长的电阻为 r,一连串内接等边 三角形的数目可认为趋向无穷,取 AB 边长为 a,以下每个三角 形的边长依次减少一半. 14.图 6—23 中,AOB 是一内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌 面(图中纸面)上,夹角 α = 1° (为了能看清楚,图中的是 夸大了的). 现将一质点在 BOA 面内从 C 处以速度 v = 5m / s 射出,其方向与 AO 间的夹角 θ = 60° ,OC=10m. 设质点与 桌面间的摩擦可忽略不计,质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都 是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短,可忽略不计,试求: (1)经过几次碰撞质点又回到 C 处与 OA 相碰? (计算次数时包括在 C 处的碰撞) (2)共用多少时间? (3)在这过程中,质点离 O 点的最短距离是多少?

六,递推法答案
1.D 2.

H 2H 1 + k + 1 k 2 2H 1 k + 1 k 2 , + k (1 k ) g 2k (1 + k ) g 2k
4.9.79m 50m 5. 0.597 < < 0.622 6.21 块

3.

41 L 9
Q1 2

FL 49 m48

7.

8.0.065U 9.24.46K

q R

10. (1)I: 11. R AB

2 1 1 1 1 Cε [1 ( ) n ], Ⅱ Ⅲ: Cε [1 ( ) n ] (3) Cε 2 3 4 3 4 3 20 = ( 3 + 1) R 12. (1)10Ω (2)2.5W (3) i +1 (i = 1,3,5, ,99) , 2

10 (i = 2,4, ,98) (4)10W 13.40Ω 2i 1 14. R AB = ( 7 1) ra 15. (1)60 次 (2)2s (3) 5 3m 3

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