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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学11-7


2 1.(2011· 三门峡模拟)若二项式( x-x)n 的展开式中第 5 项是常数项,则 自然数 n 的值可能为( A.6 [答案] C
n- 4

) C.12 D.15

B.10

4 [解析] ∵T5=Cn( x)

2 · x)4=24· 4 x 2 (- Cn

n-12

n-12 是常数项,∴ =0, 2

∴n=12. 2.(2011· 烟台月考)如果(3x- 1 则展开式中 3的系数是( x 1 3 )n 的展开式中二项式系数之和为 128,

x2

)

A.7 B.-7 C.21 D.-21 [答案] C

[解析] ∵2n=128,∴n=7, ∴Tr+1=Cr (3x)7-r· (- 7 1 3 x2 5r ,令 7- =-3 得 r=6, 3 )r

=(-1) · 3

r

7-r

7- · r· 3 C7 x

5r

1 ∴ 3的系数为(-1)6· C7=21. 3· 6 x 3.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则 a0 +a1+a2+…+a11 的值为( )

A.2 B.-1 C.-2 D.1 [答案] C

[解析] 令 x+2=1,为 a0+a1+a2+…+a11,则 x=-1,∴a0+a1+ a2+…+a11=-2,故选 C. 4.若(x+1)2n 的展开式中,x 的奇次项系数和与(x+1)n 展开式的各项 系数和的差为 480,则(x+1)2n 的展开式中第 4 项是( A.120x4 B.210x4 C.120x7 D.210x6 [答案] C )

[解析] 由题意得 22n-1-2n=480,即 22n-2·n-960=0,(2n-32)(2n 2 +30)=0, ∴2n=32.∴n=5,从而(x+1)2n=(x+1)10,它的展开式中第四项为 T4
3 =T3+1=C10x10-3·3=120x7.故选 C. 1

5.(2010· 浙江金华十校联考)在( x+ 整数的项共有( A.3 项 [答案] [解析] C

1 3 x

)24 的展开式中,x 的幂指数为

) B.4 项 C.5 项 D.6 项

5r ? 1 ? 12- ? r 24-r ? r 6 , 展开式第 r+1 项 Tr+1=C24( x) ·3 ? =C24· x ? ? x?

r

5r ∵12- 为整数,0≤r≤24 且 r∈N, 6 ∴r=0,6,12,18,24,故选 C. 1 6.(2011· 辽宁沈阳质检)若(3x-x)n 展开式中各项系数之和为 32,则该 展开式中含 x3 的项的系数为( )

A.-5 B.5 C.-405 D.405

[答案]

C

[解析] 令 x=1 得 2n=32,所以 n=5, 1 于是(3x-x)5 展开式的通项为 1 r r Tr+1=(-1)rC5(3x)5-r(x)r=(-1)rC535-rx5-2r, 令 5-2r=3,得 r=1, 于是展开式中含 x3 的项的系数为
1 (-1)1C534=-405,故选 C.

2 7.(2011· 广东理,10)x(x-x)7 的展开式中,x4 的系数是________.(用 数字作答) [答案] 84 2 [解析] x4 的系数,即(x-x)7 展开式中 x3 的系数, 2 Tr+1=Cr ·7-r· x)r (- 7x =(-2)r· r ·7-2r, C7 x 令 7-2r=3 得,r=2, ∴所求系数为(-2)2C2=84. 7 8.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则 a0+a1+2a2+ 3a3=________. [答案] 5 [解析] 法 1:令 x=-2 得 a0=-1. 令 x=0 得 27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此 a1+2a2+4a3=14. ∵C0(2x)3·0=a3·3. 3 x 3 ∴a3=8.

∴a1+2a2+3a3=14-a3=6. ∴a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 法 2:由于 2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3
1 =8(x+2)3-4C3(x+2)2+2C2(x+2)-1, 3

故 a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1. 故 a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5.

1.(2011· 重庆理,4)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的 系数相等,则 n=( )

A.6 B.7 C.8 D.9 [答案] B

[解析] 展开式通项:Tr+1=Cr (3x)r=3rCr xr n n
5 6 由题意:35C5 =36C6 即 Cn=3Cn, n n

n! 3· n! ∴ = 5!?n-5?! 6!?n-6?! 1 3 ∴ = n-5 6 ∴n=7.选 B. 2.已知 a、b 为常数,b>a>0,且 a、- 的展开式中所有项的系数和为 64,则 a 等于( A.- [答案] 1 1 3 B. C.-1 D. 2 2 2 B 3 3 、b 成等比数列得 ab= , 2 4 3 、b 成等比数列,(a+bx)6 2 )

[解析] 由 a、-

由(a+bx)6 展开式中所有项的系数和为 64 得

(a+b)6=64,

? 3 ∴?ab=4 ??a+b? =64
b>a>0
6

? 3 >a>0 ?4a ,∴? 3 ?a+4a=2 ?

1 ,∴a= . 2

x 1 3.(2011· 银川模拟)在( - )n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数 2 3 x 最大,则展开式中常数项是( )

A.-7 B.7 C.-28 D.28 [答案] B

1 r x [解析] 由条件知 n=8,∴Tr+1=C8( )8-r· (- )r 2 3 x =(-1) · 2
r r-8

8- · r· 3 C8 x

4r

4r 令 8- =0 得,r=6, 3

∴展开式的常数项为(-1)6·6-8· 8=7. 2 C6 4.(2011· 河北石家庄一模)多项式 x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+ a10(x-1)10,则 a8 的值为( A.10 C.-9 [答案] [解析] B
1 2 x10 =[1+(x-1)]10=1+C10(x-1)+C10 (x-1)2+…+C10(x- 10

) B.45 D.-45

1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10 对任意实数 x 都成立,∴a8
8 =C10=C2 =45. 10

3 5. 在(1+x)3+(1+ x)3+(1+ x)3 的展开式中, 的系数为________(用 x 数字作答). [答案] 7 [解析]
1 2 3 C3+C3+C3=23-1=7.

6.(2011· 广东六校联考)若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,且 a5= 56,则 a0+a1+a2+…+a8=________. [答案] 256 [解析] (x-a)8 的展开式的通项公式为

Tr+1=Cr ·8-r· (-a)r=(-1)rCr ·r·8-r, 8x 8a x 令 8-r=5,则 r=3, 于是 a5=(-1)3C3·3=56,解得 a=-1, 8a 即(x+1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 令 x=1 得 a0+a1+a2+…+a8=28=256. 1 7.(2010· 广西柳州铁一中高考冲刺)若(2x2- 3)n 的展开式中含有常数 x 项,求最小的正整数 n. [答案] 5 [解析] 2n 得 r= , 5 ∵r∈Z,故最小的正整数 n=5. 1 8.已知( +2x)n. 2 (1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求 展开式中二项式系数最大的项的系数; 1 Tr+1=Cr (2x2)n-r· 3)r=(-1)r·n-r· r x2n-5r,令 2n-5r=0, (- 2 Cn n x

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的 项. [解析]
5 (1)∵C4 +C6 =2Cn, n n

∴n2-21n+98=0,∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, 1 35 ∴T4 的系数=C3( )423= , 7 2 2
4 1 T5 的系数=C7( )324=70. 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. 1 ∴T8 的系数=C7 ( )727=3432. 14 2
2 (2)由 C0 +C1 +Cn=79,可得 n=12,设 Tk+1 项的系数最大. n n

1 1 ∵( +2x)12=( )12(1+4x)12, 2 2
?Ck 4k≥Ck-14k-1, ? 12 12 ∴? k k ∴9.4<k<10.4,∴k=10, k+1 k+1 ? ?C124 ≥C12 4 .

∴展开式中系数最大的项为 T11. 1 T11=( )12C10410x10=16896x10. 12 2

3 1.在(3 x-2 x)11 的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为 α,则?1xαdx=(
?0

)

1 6 8 12 A. B. C. D. 6 7 9 5

[答案]

B

[解析] 因为展开式一共 12 项, 3 其通项公式为 Tr+1=Cr · x)11-r· (-2 x)r 11 (3 =Cr ·11-r· (-2)r· x 11 3
33-r 6 ,r=0,1,…,11.

其中只有第 4 项和第 10 项是有理项, 2 1 6 6 1 故概率 α= = ,∴?1x6 dx= x6 |0= . 12 6 7 7 ?
0

1

7

? 1? 5 2.若?x2+ax?6 的二项展开式中,x3 的系数为 ,则二项式系数最大的 2 ? ?

项为________. [答案] 5 3 x 2
? ?

?1? [解析] ∵Tr+1=Cr (x2)6-r?ax?r=Cr a-rx12-3r, 6 6

5 3 令 12-3r=3,得 r=3,∴C6a-3= ,解得 a=2. 2 1 5 故二项式系数最大的项为 T4=C3(x2)3( )3= x3. 6 2x 2 3 3.(2011· 上海十三校第二次联考)在二项式( x+x)n 的展开式中,各项 系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A+B=72,则 n=________. [答案] 3 [解析] 由题意可知,B=2n,A=4n,由 A+B=72,得 4n+2n=72, ∴2n=8,∴n=3.

4.(2010· 山东日照市模考)设 a 为函数 y=sinx+ 3cosx(x∈R)的最大 值,则二项式(a x- [答案] -192 [解析]
? π? y= sinx+ 3 cosx= 2sin ?x+3? 的 最 大 值 为 a= 2, 二 项 式 ? ?

1 6 ) 的展开式中含 x2 项的系数是________. x

? ? 1? 1? ?2 x- ?6 的展开式中第 r+1 项 Tr+1=Cr (2 x)6-r· ?- ?r=(-1)r·6-r· r x3 2 C6 6 x? x? ? ?
-r

1 ,令 3-r=2,则 r=1,∴x2 项的系数为(-1)1×25×C6=-192.

5.(2011· 安徽宣城模拟)在(x-2)5( 2+y)4 的展开式中 x3y2 的系数为 ________. [答案] 480 [解析] (x-2)5 的展开式的通项为 Tr+1=Cr x5-r(-2)r, 5

令 5-r=3 得 r=2,得 x3 的系数 C2(-2)2=40; 5
r ( 2+y)4 的展开式的通项公式为 Tr+1=C4( 2)4-ryr, 2 令 r=2 得 y2 的系数 C4( 2)2=12,

于是展开式中 x3y2 的系数为 40×12=480.


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